专题01 集合+复数+平面向量-【考前3刷】（1刷真题2刷模考3刷预测）备战2024年高考数学考前3刷定天下（解析版）

第第页专题01集合+复数+平面向量一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2．（2023·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．【详解】因为，所以，即．故选：A．3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．4．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.5．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.6．（2022·全国·高考真题）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D7．（2022·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D8．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．9．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：求出集合后可求.【详解】[方法一]：直接法因为，故，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法代入集合，可得，不满足，排除A、D；代入集合，可得，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．10．（2022·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.11．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C12．（2021·全国·高考真题）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集的定义可求.【详解】由题设有，故选：B.13．（2021·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故故选：C.14．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.15．（2021·全国·高考真题）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.二、多选题16．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC三、填空题17．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则．【答案】【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.18．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，．【答案】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.一、单选题1．（2024·广东·一模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的元素特性，可得集合间的关系.【详解】由集合，，得.故选：D2．（2024·辽宁大连·一模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由补集和交集的定义运算.【详解】集合，集合，则，有.故选：C3．（2024·河北邯郸·二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简两个集合，再利用交集运算可得答案.【详解】由得，即，,所以.故选：B4．（2024·浙江杭州·二模）已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论.【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量与向量的夹角为，即.故选：B.5．（2024·浙江台州·二模）在复平面内，复数（为虚数单位），则（

）A．的实部为2 B．C． D．对应的点位于第一象限【答案】B【分析】根据除法化简复数，根据实部、模、共轭复数、复数对应点逐项判断即可.【详解】，故实部为1，，，对应的点位于第四象限故选：B6．（2024·河北邯郸·二模）已知复数满足，则（

）A．1 B． C．3 D．【答案】D【分析】设，根据条件得到，再利用模长的计算公式，即可求出结果.【详解】令，则，所以，解得，所以，故，故选：D.7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.【详解】因为，所以可以是，共8个，故选：D8．（2024·广东佛山·二模）已知与为两个不共线的单位向量，则（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.【详解】选项A：若，则，即，与与为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；选项B：设与的夹角为，则，，所以，故选项B说法错误；选项C：若，则，所以，，即，所以，又，所以，故选项C说法错误；选项D：因为，，所以，化简得，设与的夹角为，则，，所以，所以，即，所以，故选项D说法正确；故选：D9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知复数满足，，则（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】设出对应复数，利用复数的运算性质整体代值运算即可.【详解】设，，且，由已知得，，得，又，故，，同时平方得，，相加并化简得，而，.故选：D二、多选题10．（2024·辽宁沈阳·二模）设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】求解可得，再逐个选项判断即可.【详解】对A，由实系数一元二次方程求根公式知，则（与顺序无关），故A正确；对B，因为，所以，故B正确；对C，由A，，故C错误；对D，由韦达定理可得，故D正确．故选：ABD11．（2024·广东广州·一模）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．向量，在上的投影向量相等 D．【答案】BC【分析】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得.【详解】作向量，在中，，，由向量平分与的夹角，得是菱形，即，对于A，与不一定垂直，A错误；对于B，，即，B正确；对于C，在上的投影向量，在上的投影向量，C正确；对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.故选：BC12．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量满足且，则（

）A．的最小值为2B．的最大值为5C．的最小值为2D．的最大值为【答案】BD【分析】由向量方向间的关系，判断的最大值和最小值；由，通过的最值，计算的最值.【详解】当向量方向相同，与方向相反时，满足，此时有最小值，A选项错误；当向量方向相同时，满足，此时有最大值，B选项正确；，有，即，则，向量方向相同时，的最小值为0，的最小值为3，C选项错误；向量方向相反时，的最大值为2，的最大值为，D选项正确.故选：BD13．（2024·广东梅州·二模）设，是复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C． D．若，则【答案】ACD【分析】根据复数的模长的运算性质即可求解ACD，举反例即可判断B.【详解】对于A，，则，解得，即，故A正确；对于B，，，满足，但，故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，，则，即，即，故D正确．故选：ACD．三、填空题14．（2024·湖南·二模）已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是.【答案】【分析】解二次不等式化简集合，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解.【详解】因为，，又集合恰有两个元素，所以恰有两个元素1和2，所以.故答案为：.15．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为．【答案】【分析】根据锐角三角函数可得，即可由数量积的定义求解，结合和差角公式以及三角函数的性质即可求解最值.【详解】设，则，故，故，当时，，即时，此时取最小值.故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于的表达式，从而得解，一、单选题1．（2024·四川·模拟预测）设，则（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用分母实数化对进行化简，从而得到答案.【详解】由题意可得，所以．故选：B．2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】因为，，所以．故选：D．3．（2024·江苏苏州·模拟预测）记是虚数单位，复数满足，则（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】利用复数的除法法则得到，进而得到，求出模长.【详解】，故，故.故选：D4．（2024·全国·模拟预测）复数满足（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的乘除法运算法则计算即可.【详解】由，得，所以.故选:D.5．（2024·湖北武汉·模拟预测）复数的共轭复数的模是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念与求模公式计算即可.【详解】由，所以.故选：B6．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据补集的定义，即可求解.【详解】由题意知.由，得.故选：D.7．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出集合，根据集合交集运算可得结果.【详解】因为，所以．故选：A．8．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.【详解】设与的夹角为，则在上的投影向量为.故选：B.9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化为函数，求出取值范围即可.【详解】如图，作，以为原点，建立平面直角坐标系，易知，，，设，且，故，，故，而，.故选：C10．（2024·全国·模拟预测）已知向量与满足在上的投影向量为在上的投影向量为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题在上的投影向量为在上的投影向量为可得：，联立即可求解.【详解】方法一：设，且，则在上的投影向量为，即，，由在上的投影向量为，则，所以，，解得（负值已舍去），，方法二：

设，如图在上的投影向量为，点在上的投影为的中点，在上的投影向量为，点在上的投影为点，即，为等腰直角三角形，.故选：B.二、多选题11．（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是（

）A．B．的共轭复数为C．若，则D．使成立的，【答案】BD【分析】根据复数代数形式的减法运算求出，即可求出其模，从而判断A，根据复数代数形式的除法运算化简，从而得到其共轭复数，即可判断B，由，根据复数代数形式的除法运算化简即可判断C，首先、，再根据复数相等的充要条件得到方程，即可判断D.【详解】对于A，因为，，所以，所以，故A不正确；对于B，，其共轭复数为，故B正确；对于C，若，则，故C不正确；对于D，因为，，若，则，解得，故D正确．故选：BD．12．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量，则（）A．若，则 B．若，则C．的最大值为5