评价大联考2024年高三第二次模拟考试数学试卷含解析

评价大联考2024年高三第二次模拟考试数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行下面的程序框图，则输出S的值为（）

2.执行如图所示的程序框图，当输出的S=2时，则输入的S的值为（）

11

A.-2B.-1C.——D.-

22

3.已知集合人={%|〃为2%<1}，集合5={yly=J2-X卜则AB=()

A.(ro,2)B.(-oo,2]C.(0,2)D.[0,+oo)

22

4.已知斜率为-2的直线与双曲线C：'—3=1(。>0/〉0)交于A,8两点，若/(%，%)为线段AB中点且

自”=-4（。为坐标原点），则双曲线。的离心率为（）

D.迪

A.B.3c.G

4

1,x>0

5.已知符号函数sgnx=<0,x=0/(x)是定义在K上的减函数，g(x)=f(x)-f(ax)(a>l),贝！J()

-1,x<0

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn\f(x)]

2n<5

6.已知数列｛可｝满足：an=<（"eN*）诺正整数左（左25）使得a；+...+al成

"i"2'%-1,n..6

立，贝！I左=（）

A.16B.17C.18D.19

7.设函数f(x)(xeR)满足f(-x)=/(%),/(%+2)=/(x),则y=/(x)的图像可能是

A.

C.

8.在等差数列｛〃〃｝中，若S〃为前〃项和,2%=41+12,贝!I、？的值是（）

A.156B.124C.136D.180

7171

9.已知a、0E，。/万，则下列是等式sina—sin/=a-2/成立的必要不充分条件的是（）

A.sina>sinJ3B.sina<sin/3

C.cosa>cos0D.coscif<cosJ3

10.设公,工分别是双线0—p2=］（。〉0）的左、右焦点，。为坐标原点，以耳名为直径的圆与该双曲线的两条渐近

a

线分别交于A,8两点（A,8位于y轴右侧），且四边形。为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.x±y=0B.y/3x±y=0C.%±百》=0D.3x±y=0

27r

11.在ABC中，角AB,C所对的边分别为aS,c,已知。=彳，c=l.当。力变化时，若z=b+2a存在最大值,

则正数X的取值范围为

A.(0,1)B.(0,2)C.(于2)D.(1,3)

12.若直线2x+y+m=0与圆f+2x+y2—2y—3=0相交所得弦长为2君，则()

A.1B.2C.y/5D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设(九一2y)5=。0尤5+。］%4丁+。2龙3y2+。3X2丁3+4移4+。5y5,则4+&+%=.

14.设S.是公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和，且%=-2q,则法=.

15.一个四面体的顶点在空间直角坐标系。-孙z中的坐标分别是A(0,0,百)，8(6,0,0),。(0,1,0),。(君,

则该四面体的外接球的体积为.

16.曲线y=eft+2在点(0,3)处的切线方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设首项为1的正项数列｛”“｝的前n项和为S,.,数列的前”项和为乙,且T“="与一p),其中

P为常数.

(1)求P的值；

(2)求证：数列｛飙｝为等比数列；

(3)证明：“数列为，2坊+1,万丽+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x=L且y=2”.

18.(12分)如图，点C是以A5为直径的圆。上异于4、3的一点，直角梯形3CDE所在平面与圆。所在平面垂

直，ADEIIBC,DCLBC,DE=-BC=2,AC=CD=3.

—2

(1)证明：EO//平面AC£)；

(2)求点E到平面ABD的距离.

Clc,

19.(12分)已知函数/(X)=5X2+COSX(aeR),/(x)是/(x)的导数.

(1)当。=1时，令//(%)=/'(%)—x+InX,"(x)为/i(x)的导数.证明：，(x)在区间[0,'J存在唯一的极小值点；

2TC

(2)已知函数y=/(2x)—-/在0,-上单调递减，求。的取值范围.

3_2_

20.(12分)(本小题满分12分)已知椭圆C：,+三=.；：二匚Z.的离心率为F，连接椭圆四个顶点形成的四边

形面积为4、：.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点A(1,0)的直线与椭圆C交于点M,N,设P为椭圆上一点，且三-王=二三,二=：O为坐标原点，

当一-三：匚时，求t的取值范围.

21.(12分)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断

x=1+2r.

直线/：《(/为参数)与圆C:夕2+2285。—2夕5诂。=0的位置关系.

[y=l-2f

22.(10分)如图，在四棱锥P—LBC。中，四边形A8CO为平行四边形，BDLDC,△PC。为正三角形，平面PC。，

ABCD,E为PC的中点.

(1)证明：AP〃平面E5O；

(2)证明：BELPC.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.

【详解】

运行程序,

1，•C

s=—l,z=2,

5

121.,

s=—I-----1—=3,

552

123,11.,

s=—I----1------1---------.1=4,

55523

1234,111.二

s=—I----1----1-------1--------------.1=5,

5555234

1234111.^

s=—I----1----1-------1--------------A—59

5555234

12345,1111,^

s=—I----1-----1----1-----1-------------------,I—O,结束循环,

555552345

故输出5=—(1+2+3+4+5)-H+—+—+—+—j=3—通~43

60

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.

2、B

【解析】

1313

若输入S=—2,则执行循环得5=彳/=2;S=彳次=3;S=—2,左=4;S==,左=5;5=彳次=6;

3232

133

S=-2次=7;5=彳次=8;5=彳次=9;结束循环，输出5=；；,与题意输出的S=2矛盾；

322

若输入S=—1,则执行循环得S=工次=2;S=2,左=3;S=—1,左=4;S=▲，左=5;S=2,左=6;

22

S=-1次=7;S=工次=8;S=2,左=9;结束循环，输出S=2,符合题意；

2

若输入S=—则执行循环得S=［次=2;S=3#=3;S=—!/=4;S=：/=5;S=3«=6;

2323

12

S=—工,4=7;5=彳，A=8;S=3次=9;结束循环，输出S=3,与题意输出的S=2矛盾；

23

若输入S=」，则执行循环得S=2次=2;S=—1次=3;S=工次=4;S=2次=5;S=—1次=6;

22

S==水=7;S=2#=8;S=—1次=9;结束循环，输出S=—1,与题意输出的S=2矛盾；

2

综上选B.

3、D

【解析】

可求出集合A,B,然后进行并集的运算即可.

【详解】

解：A={x|0<x<2},B={v|y>0}；

AB=[0,.

故选。.

【点睛】

考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算.

4、B

【解析】

设4石,%）,5（々,当），代入双曲线方程相减可得到直线的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到的等式，求

出离心率.

【详解】

设则〈，

三一五=1

两式相减得（玉+：）,「％）_,+%）?「%）=0,

ab

・•.O=g=少3=2,上=8。、产=3.

玉一W。（％+a22

%）'y0aI4）ava

故选:B.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程

相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系.

5、A

【解析】

根据符号函数的解析式，结合/(X)的单调性分析即可得解.

【详解】

根据题意，g(x)=/(x)-fM,而/(x)是A上的减函数，

当x>0时，x<ax,则有/(x)>f(ax),则g(x)=f(x)-f(tzx)>0,此时sg〃[g(x)]=1,

当x=0时，x=axf则有f(x)=f(ax),则g(x)=f(x)-f(ax)=0,此时sgn[g(x)]=0,

当x<0时，x>ax,则有f(x)<f(ax),则g(x)=/(x)-f(〃x)<0,此时sgn[g(x)]=-1,

综合有：sg〃[g(x)]=sgn(x)；

故选：A.

【点睛】

此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.

6、B

【解析】

计算。6?+%2+...+〃，—〃什]—%〃—5,故％之+42+...+42=4+]+左-16=ak+i+1,解得答案.

【详解】

当〃之6时,a〃+1=a1a2an_lan-l=(an-i-l)an-l,即=%讨一%+b且4=31.

故线2+%2+...+a：=(%—4)+(例—%)+...+(。八+1—Q")+〃―5二。及+i—4+〃―59

aj+a2-+...+a：=ak+x+左一16=ak+1+1,故人=17.

故选：B.

【点睛】

本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.

7、B

【解析】

根据题意，确定函数y=/(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质.

由/(T)=于(x)得y=于(x)是偶函数,所以函数y=/(%)的图象关于V轴对称，可知B,D符合；由/(%+2)=/(%)

得丁=/(幻是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4,不符合，选项B的图像的最小正周期是2,符

合，故选B.

8、A

【解析】

因为%+〃]]=2〃9=。11+12,可得%=12,根据等差数列前〃项和，即可求得答案.

【详解】

%+41=2%=%+12,

%=12,

1313

S13=^'^^=13«7=13x12=156.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了求等差数列前九项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前〃项和公式，考查了分析能力和计

算能力，属于基础题.

9、D

【解析】

构造函数/z(x)=sinx—x,/(x)=sinx-2x,利用导数分析出这两个函数在区间，不曰上均为减函数，由

TT1T

sincz-sin〃=a-21得出sintz-a=sin/7-2/7,分&=0、<«<0>0<a<■三种情况讨论，利用放缩

法结合函数y=h(x)的单调性推导出-(尸<0或0<，<。<多再利用余弦函数的单调性可得出结论.

【详解】

构造函数/z(x)=sinx-x,/(x)=sinX—2x,

则/zr(x)=cosx-l<0,/r(x)=cosx-2<0,

所以，函数y=/(x)、y=〃(x)在区间上均为减函数，

当一工<x<0时，则/z(x)>M°)=。，/(x)>/(0)=0；当0<兀<工时，/z(x)<0,〃x)v0.

22

由sina—sin/?=a—2/?得sina—a=sin分一2/?.

①若夕=0,贝！|sin/?—2/?=0,即/(/?)=0n尸=0,不合乎题意；

②若—£<a<0,则一尸<0,则/z(a)=sina-a=sin£-2/>sin6一分二/z(£),

jr

此时，一5<1〈/<0,

由于函数丁=COSX在区间[-上单调递增，函数y=sinx在区间上单调递增，则sina<sin/?,

cosa<cosP；

③若0<o<g,则则/z(a)=sina-a=sin/?-2/vsin£-分=/z(A),

TT

此时0</3<a<—,

由于函数y=cosx在区间0,1上单调递减，函数y=sinx在区间0,胃上单调递增，则sin。＞sin,,

cosa<cosp.

综上所述，cos。＜cos，.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对a的取值范围进行分类讨论，考查推理能

力，属于中等题.

10、B

【解析】

由于四边形。为菱形，且10Kl=|Q4),所以AA。8为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.

【详解】

如图，因为四边形。为菱形，|明|=[Q4|=|O@,所以AAO鸟为等边三角形，NA。工=60°,两渐近线的斜

率分别为6和-6.

【点睛】

此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.

11、C

【解析】

27rabc222

因为。=＜，c=l,所以根据正弦定理可得一二=一w=一不=下，所以。=^sinA,b=-=sinB所以

3sinAsin5smC9

z=+=—7=sinB+—T^sinA=—j=[sinB+2sin(--B)]=—i=[(l----)sinB+

括g百3A/32

geos切=,小一$2+(?)2sin(B+0),其中tan0=普，0<B<|,

因为z=b+2a存在最大值，所以由5+。=3+2左兀左EZ,可得2左冗+二<。<2左兀+?/£Z,

262

所以tan,>去，所以手，解得g<X<2,所以正数彳的取值范围为(g,2),故选C.

12、A

【解析】

将圆的方程化简成标准方程，再根据垂径定理求解即可.

【详解】

圆V+2x+V一2y-3=0的标准方程(x+厅+(y-1)?=5，圆心坐标为(-1,1)泮径为小，因为直线2x+y+m=0

与圆/+2%+/一2y—3=0相交所得弦长为26,所以直线2x+y+m=0过圆心，得2*(—1)+1+/找=。,即m=1.

故选：A

【点睛】

本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、121

【解析】

在所给的等式中令x=l,丁=1,令兀=1,y=-l可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.

【详解】

令x=l,y=l得(1—2)=4+q+电+/+。4+。5=-1，令x=l,y=—1得

(1+2)=cig—q+a,—%+。4—。5=243>两式相加，得2(4+%+%)=242,所以a。+生+4=121.

故答案为：121.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，考查学生分析问题的能力，属于基础题，难度较易.

14、18

【解析】

先由%=-2卬，可得q=-2d,再结合等差数列的前九项和公式求解即可.

【详解】

解：因为。7=q+6d=_2q,所以〃i=—2d,昆二％,二％」+42)二."21=]

%a4%+3dd

故答案为：18.

【点睛】

本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前”项和公式，属基础题.

9万

15、一

2

【解析】

将四面体补充为长宽高分别为有,1,出的长方体，体对角线即为外接球的直径，从而得解.

【详解】

采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为6,1，6，长方体

的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线万而=3,所以球半径为5,体积为

4397r

—nr'=——.

32

【点睛】

本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.

16、5x+y-3=0.

【解析】

先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程.

【详解】

因为y'=-5e-s*,所以切线的斜率左=—56。=—5,所以切线方程是：y—3=—5(x—0),即y=—5x+3.

故答案为y=-5x+3.

【点睛】

⑴本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)函数

V=/(幻在点/处的导数/U)是曲线y=/(x)在P(x0,/(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程是

=/'(Xo)(x7o).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)p=2；(2)见解析(3)见解析

【解析】

(1)取”=1时，由］=4—(1—〃)得°=0或2,计算排除p=。的情况得到答案.

3

41924191

(2)Tn=---(2-Sn),则(+］=§—§(2—S“+J2,相减得到3a“+I=4-S,+LS,”再化简得到为=万口用，得

到证明.

(3)分别证明充分性和必要性，假设a“，2”“+i,万斯+2成等差数列，其中小y均为整数，计算化简得2，-万一2=1,

设《=》-(j-2),计算得到左=1,得到答案.

【详解】

(1)〃=1时，由1=4—(1—，)得p=0或2,若p=0时，T=4~S>1,

33

当"=2时，l+a,2(1+。2),解得“2=0或%=一1，

-32

而即>0,所以p=0不符合题意，故尸=2；

(2)当津=2时,7；=|-|(2-S„)20,则&工—；(2-S/②，

②-①并化简得3。〃+1=4-Sn+l-Sn®f则3G〃+2=4-Sn+2-Sn+l@f

④-③得4+2=；%

又因为所以数列｛斯｝是等比数列，且%=$7；

1124

=x

(3)充分性：若x=Ly2,由。〃=］知an,2an+i,2^“〃+2依次为1，-r9,,

214

x

满足2><上—i，即即，2an+i9万〃〃+2成等差数列；

222

必要性：假设斯，2S.+1,2V即+2成等差数列，其中x、y均为整数，又4=击，

所以22$=J+2匕J,化简得力力2=1,

显然x>y-2,设A=x-(y-2),

因为x、y均为整数，所以当行2时，2*-犷2>1或力-犷2<1,

故当左=1,且当x=L且y-2=0时上式成立，即证.

【点睛】

本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.

18、(1)见解析；(2)巫

41

【解析】

(1)取的中点证明。加〃47,£70//。。,则平面0加£〃平面47£),则可证EO//平面ACZ).

(2)利用VE-ABO=匕-EBD，AC是平面的高，容易求.S^BDE=；DExCD=gx2x3=3,再求S

ABD＞则点E

到平面ABD的距离可求.

【详解】

解：(1)如图:

取的中点M,连接OM、ME.

在ABC中，。是AB的中点，"是的中点，

r.OM〃AC,AC<z平面EMO,MOu平面EMO做AC〃平面EMO

在直角梯形5CDE中，DECB,且DE=CM,

二四边形MC£)£是平行四边形，EM//CD,同理CD〃平面

又CDcAC=C，故平面EMO〃平面ACZ),

又EOu平面EO〃平面AC£).

(2)QAB是圆。的直径，点C是圆。上异于4、B的一点，

:.AC±BC

又V平面BCDE±平面ABC,平面BCDEn平面ABC=BC

」.AC，平面3CDE,

可得AC是三棱锥A-BDE的高线.

在直角梯形3cDE中，SABDE=DExCD=^x2x3=3.

设E到平面4®的距离为〃，则/TB»=L-EBD，即:5AAB».力=35盘加-40

由已知得AB=5,3。=5,AD=3上,

由余弦定理易知：cosZABD=!|,则=gA3msinNABD=当^

解得〃=Mi,即点E到平面4»的距离为亚

4141

故答案为：小回.

41

【点睛】

考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.

19、(1)见解析；(2)a<\

【解析】

(1)设g(x)=/z'(x)=^-cosx,g'(x)=」+sinx,注意到g'(x)在j上单增，再利用零点存在性定理即可

xx"I2J

解决；

27r714

(2)函数y=/(2x)——/在0,-上单调递减，则y<0在0,-恒成立，即2ax—sin2x——在0,-上

3_2__2_3_2_

恒一成立，构，造函数皿%)=2以-sin4尤a3,求导讨论加%)的最值即可.

【详解】

(1)由已知，/'(%)=x-sinx,所以/z(x)=lnx-sinx,

1-1

设g(%)=/z(%)=——cosx,g(%)=—+sinx,

xx

当时，g'(x)单调递增，而g'(l)<0,且g(%)在1o，|^上图象连续

不断.所以g(x)在］0,1^上有唯一零点c，

当xe(0,。)时，g'(x)<0；当时，g'(x)>0；

.••g(x)在(0,a)单调递减，在［a,单调递增，故g(x)在区间上存在唯一的极小

值点，即方(x)在区间上存在唯一的极小值点；

(2)设左(％)=x-sinx,xG［0,+OO),kf(x)=l-cosx>0,

・・・左(%)在［0,+8)单调递增，k(x)>k(O)=O9

即％Nsinx,从而sin2x<2],

因为函数y=/(2x)-可2/在oTC-上单调递减，

4JI

/.m(x)=lax-sin2x——九3Vo在0,—上恒成立，

3_2_

令加(%)=2〃-2cos2%一4%2=p(%),

,:sin2x<2x,

:.p(x)=4sin2x-8x<0,

加(x)在0,—上单调递减，》i(x)111ax=m(0)=2。一2,

,71

当aWl时，〃2(x)<0,则根(x)在0,—上单调递减，m(x)<m(0)=0,符合题意.

,n

当4>1时，加(％)在0,—上单调递减，

m'(0)=2a-2>0所以一定存在/e(0,5],

当0Vx</时，m(%)>0,租(x)在[0,尤0)上单调递增，m(xo)>m(O)=0

与题意不符，舍去.

综上，。的取值范围是aW1

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最

值来处理，本题是一道较难的题.

20、(1)~=J；(2);「：二.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解

决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用离心率、--一十一一、四边形的面积列出方程，解出a和b

的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭

圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到二+二、二二,，利用三-二三=二三二列出方程，解出二:二二，代入到椭

圆上，得到二的值，再利用.--二，计算出二一的范围，代入到二♦的表达式中，得到t的取值范围.

试题解析：⑴二=三，Z*=J-z!==3=5即=

又二=，：二K二=，、：，•••二二=［鼻彳.

二椭圆C的标准方程为二+二_：.

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