3.6.7三角形的内切圆与内心

三角形的内切圆与内心（2015•滨州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A． B．2﹣2 C．2﹣ D．﹣2【考点】三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心．【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．【解答】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，∴它的内切圆半径为：R=（2+2﹣4）=2﹣2．故选B．【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=（a+b﹣c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=c．（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．CD+DF=4 B．CD﹣DF=2﹣3 C．BC+AB=2+4 D．BC﹣AB=2【考点】三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b﹣c），所以c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得（舍去），从而求出a，b的值，所以BC+AB=2+4．再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，从而得到CD﹣DF=，CD+DF=．即可解答．【解答】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，∴OG=DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC，在△OMG和△GCD中，∴△OMG≌△GCD，∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．∵AB=CD，∴BC﹣AB=2．设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b﹣c），∴c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，解得（舍去），∴，∴BC+AB=2+4．再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，∴CD﹣DF=，CD+DF=．综上只有选项A错误，故选A．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质．（2015•遵义）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）A． B． C． D．【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1，AB=，再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形内切圆的圆心．【解答】解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，故B1F=OF=OA，设B1F=x，则AF=﹣x，故（﹣x）2+x2=（2x）2，解得x=或x=（舍去），∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质三角形的内切圆，正方形的性质，要熟练掌握正方形的性质及直角三角形的性质，是解答此题的关键．（2013•遂宁模拟）在△ABC中，∠A=α，O为△ABC的内心，则∠BOC的度数是（）A．90°+ B．90°﹣ C．180°﹣α D．180°﹣【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，利用三角形内角和定理和角平分线定义可知关系式∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可求得∠BOC的度数．【解答】解：∵O为△ABC的内心，∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A），∵∠A=α，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+α，故选A．【点评】本题通过三角形内切圆，考查了三角形内心的性质以及三角形的内角和定理．（2013•江岸区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O、I分别为△ABC的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI的值为（）A．2 B． C． D．1【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】如图，作△ABC的内切圆⊙I，过点I作ID⊥BC于D，IE⊥AC于E，IN⊥AB于N．先根据勾股定理求出AB=10，得到△ABC的外接圆半径AO=5，再证明四边形IECD是正方形，根据内心的性质和切线长定理求出⊙I的半径r=2，则ON=1，然后在Rt△OIN中，运用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，作△ABC的内切圆⊙I，过点I作ID⊥BC于D，IE⊥AC于E，IN⊥AB于N．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10．∵点O为△ABC的外心，∴AO为外接圆半径，AO=AB=5．设⊙I的半径为r，则ID=IE=r，又∵∠IDC=∠IEC=∠C=90°，∴四边形IECD是正方形，∴CE=CD=r，AE=AN=6﹣r，BD=BN=8﹣r，∵AB=10，∴8﹣r+6﹣r=10，解得r=2，∴IN=r=2，AN=6﹣r=4．在Rt△OIN中，∵∠INO=90°，ON=AO﹣AN=5﹣4=1，∴OI==．故选C．【点评】此题考查了直角三角形的外心与内心的概念及性质，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理，综合性较强，难度适中．求出△ABC的内切圆半径是解题的关键．（2013•武汉模拟）如图在△ABC中，AB=AC，D为AB边上一点，且BD=2AD，过D作DE∥BC，⊙O内切于四边形BCED，则sinB的值为（）A． B． C． D．【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】先由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出BC=3DE，根据同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形证明四边形BCED是等腰梯形，则BD=CE，再作等腰梯形BCED的高DF、EG，设DE=a，根据圆外切四边形及等腰梯形的性质得出BD=CE=2a，然后解Rt△BDF，即可求出sinB的值．【解答】解：∵DE∥BC，BD=2AD，∴==，∴BC=3DE．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥BC，BC≠DE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴BD=CE．作等腰梯形BCED的高DF、EG，则四边形DEGF是矩形，BF=CG．设DE=a，则BC=3DE=3a，BF=CG==a．∵⊙O内切于四边形BCED，BD+CE=DE+BC=a+3a=4a，∴BD=CE=2a．在Rt△BDF中，∵∠BFD=90°，∴DF===a，∴sinB===．故选D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰梯形的判定与性质，圆外切四边形的性质，解直角三角形，综合性较强，难度适中．作出等腰梯形BCED的高DF、EG，设DE=a，用含a的代数式表示出BD是解题的关键．（2013•武汉模拟）如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，且PQ与⊙O相切，若AC=2PQ，则tan∠B的值为（）A． B． C． D．【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】设⊙O的半径是R，PE=PF=x，BQ=y，连接OD，OG，OF，OE，得出正方形CDOE和OGQF，推出OD=CD=CE=OE=GQ=QF=R，求出y=2R，x=R，根据锐角三角函数值求出即可．【解答】解：设⊙O的半径是R，PE=PF=x，BQ=y，连接OD，OG，OF，OE，∵⊙O内切于Rt△ABC，∴∠ODC=∠OEC=90°=∠C，AD=AG，∵OD=OE，∴四边形CDOE是正方形，∴OD=CD=CE=OE=R，同理OG=GQ=FQ=OF=R，则PQ=CP，AC=AQ，∵PQ⊥AB，∠C=90°，∴∠C=∠PQB=90°，∵∠B=∠B，∴△BQP∽△BCA，∴==，∴BC=2BQ=2y，根据BG=BE得：y+R=2y﹣R，解得：y=2R，在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ2+BQ2=BP2，即（2R）2+（R+x）2=（4R﹣R﹣x）2，解得：x=R，即PQ=R+R=R，BQ=2R，tanB===．故选C．【点评】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线长定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力，难度偏大．（2013•武汉模拟）如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是（）A．2 B．3.5 C． D．4【考点】三角形的内切圆与内心；坐标与图形性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】设直线AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入求出直线AB的解析式是y=kx+4﹣3k，求出OA=4﹣3k，OB=，求出△AOB的面积是•OB•OA=12﹣=12﹣（9k+），根据﹣9k﹣≥2=24和当且仅当﹣9k=﹣时，取等号求出k=﹣，求出OA=4﹣3k=8，OB==6，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，求出即可．【解答】解：设直线AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入得：4=3k+b，b=4﹣3k，即直线AB的解析式是y=kx+4﹣3k，当x=0时，y=4﹣3k，当y=0时，x=，即A（0，4﹣3k），B（，0），△AOB的面积是•OB•OA=••（4﹣3k）=12﹣=12﹣（9k+），∵要使△AOB的面积最小，∴必须最大，∵k＜0，∴﹣k＞0，∵﹣9k﹣≥2=2×12=24，当且仅当﹣9k=﹣时，取等号，解得：k=±，∵k＜0，∴k=﹣，即OA=4﹣3k=8，OB==6，根据勾股定理得：AB=10，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，R=2，故选A．【点评】本题考查了勾股定理，取最大值，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，关键是求OA和OB的值，本题比较好，但是有一定的难度．（2013•武汉模拟）已知：如图，边长为6的正△ABC内有一边长为4的内接正△DEF，则下列结论①△DBF≌△ECD；②△AEF的周长为10；③△AEF的内切圆的半径为，其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】①由边长为6的正△ABC内有一边长为4的内接正△DEF，根据AAS即可判定△AEF≌△BFD≌△CDE；②由△AEF≌△BFD≌△CDE，即可得AE=BF，即可求得△AEF的周长为：AB+EF=10；③易求得△AEF的面积，又由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得△AEF的内切圆的半径．【解答】解：∵△ABC、△DEF都是正三角形，且△DEF的三个顶点都在△ABC的边上，∴∠A=∠B=∠C=60°，EF=DE=DF，∴∠AFE+∠BFD=120°，∠BFD+∠FDB=120°，∴∠AFE=∠BDF，同理可得：∠AFE=∠BDF=∠CED，∵在△AEF和△BFD和△CDE中，∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），故①正确；∴AE=BF，∴△AEF的周长为：AE+AF+EF=BF+AF+EF=AB+EF=6+4=10，故②正确；设△AEF的内切圆半径为r，∵S△ABC=9，S△DEF=4，∴S△AEF=（S△ABC﹣S△DEF）=，∴r===，故③正确．故选C．【点评】此题考查了三角形的内切圆的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．（2012•泉州）如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（）A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题；探究型．【分析】连接OA，OB，由O是△ABC的内心可知OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，故可得出∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，再由EF∥AB可知，∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，故可得出∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，故AE=OE，OF=BF，由此即可得出结论．【解答】解：连接OA，OB，∵O是△ABC的内心，∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，∵EF∥AB，∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，∴AE=OE，OF=BF，∴EF=AE+BF．故选：C．【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．（2012•义乌市校级模拟）如图，边长为n的正△DEF的三个顶点恰好在边长为m的正△ABC的各边上，则△AEF的内切圆半径为（）A． B． C． D．【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外角性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】由于△ABC、△EFD都是等边三角形，因此它们的内心重合，设△ABC的内心为M，△AEF的内心为N，连接FN、MF，可先证MN=MF，而后由AN=MA﹣MN=MA﹣MF求出MA的值，易知∠NAF=30°，根据直角三角形的性质即可求出△AEF的内切圆半径．【解答】解：设△AEF的内切圆半径为r，∵△ABC、△DEF都是等边三角形，且△DEF的三个顶点都在△ABC的边上，∴△AEF≌△BDE≌△CFD，∴AF=BE，AE+AF+EF=AE+BE+EF=m+n，S△ABC=m2，S△DEF=n2，∴S△AEF=（S△ABC﹣S△DEF）=（m2﹣n2），则r==（m﹣n）．故选A．【点评】此题考查的知识点有：等边三角形的性质、三角形的内切圆、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知识，综合性强，难度较大．（2012•杭州模拟）如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+∠A；②EF不可能是△ABC的中位线；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】三角形的内切圆与内心；三角形中位线定理；圆与圆的位置关系．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①∠BOC=90°+∠A正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn正确；又由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，可判定△BEO与△CFO是等腰三角形，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得④正确．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故①正确；假设EF是△ABC的中位线，则EA=EB，FA=FC，∴EO=EA，FO=FA，∴EA+FA=EO+FO=EF，推出在△AEF中两边之和等于第三边，不成立，∴EF不可能是△ABC的中位线，故②结论正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠EAB=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴EB=EO，FO=FC，∴EF=EO+FO=BE+CF，∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故④正确．∴其中正确的结论是①②③④．故选D．【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，以及圆与圆的位置关系．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．（2012•杭州模拟）已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆半径和△ABC的外心与内心之间的距离分别为（）A．5和 B．和 C．和 D．和【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】首先运用勾股定理求出斜边AB=5cm，因为直角三角形的外心是斜边的中点，则外接圆的半径是斜边的一半，即为cm．直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=（a，b为两直角边，c为斜边）可求的r．再运用勾股定理求外心与内心之间的距离即可．【解答】解：（1）∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，∴AB=5cm（勾股定理）．∴△ABC的外接圆半径长R==cm；（2）连接ID，IE，IF，∵⊙I是△ABC的内切圆，∴ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，∴∠CDI=∠CEI=∠C=90°，又∵DI=EI，∴四边形CDIE是正方形．∴CD=CE=DI=IE；∵AC=3cm，BC=4cm，由（1）知AB=5cm，∴△ABC的内切圆半径长r=，==1cm．即DI=EI=FI=1cm；∴CD=1cm．∵BC=4cm，∴BD=3cm．∵⊙I是△ABC的内切圆，∴BD=BF=3cm．∵BO=cm，∴OF=cm．在Rt△IFO中，IO=cm（勾股定理）．∴△ABC的外心与内心之间的距离为cm．故选B．【点评】本题考查了三角形的外心和内心的性质．直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径是斜边的一半；直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=（a，b为两直角边，c为斜边）．（2011•烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）A．2m B．3m C．6m D．9m【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】根据：△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积即可求解．【解答】解：在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m．则AB===10．∵中心O到三条支路的距离相等，设距离是r．△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积即：AC•BC=AB•r+BC•r+AC•r即：6×8=10r+8r+6r∴r==2．故O到三条支路的管道总长是2×3=6m．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键．（2011•日照）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（）A． B． C． D．【考点】三角形的内切圆与内心；解一元一次方程；正方形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】连接OE、OD，根据AC、BC分别切圆O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，证出正方形OECD，设圆O的半径是r，证△ODB∽△AEO，得出=，代入即可求出r=；设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，且AB于F，同样得到正方形OECD，根据a﹣x+b﹣x=c，求出x即可；设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，则△BCA∽△OFA得出=，代入求出y即可．【解答】解：A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图（1）同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a﹣x+b﹣x=c，求出x=，故本选项错误；B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），则△BCA∽△OFA，∴=，∴=，解得：y=，故本选项错误；C、连接OE、OD，∵AC、BC分别切圆O于E、D，∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，∵OE=OD，∴四边形OECD是正方形，∴OE=EC=CD=OD，设圆O的半径是r，∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，∵∠AEO=∠ODB，∴△ODB∽△AEO，∴=，=，解得：r=，故本选项正确；从上至下三个切点依次为D，E，F；并设圆的半径为x；容易知道BD=BF，所以AD=BD﹣BA=BF﹣BA=a+x﹣c；又∵b﹣x=AE=AD=a+x﹣c；所以x=，故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．（2011•宁波校级自主招生）《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是（）A．3步 B．4步 C．5步 D．6步【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理．【专题】应用题；压轴题．【分析】首先根据题意画出图，观察发现直角三角形的内切圆半径，恰好是直角三角形内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，这一面积相等，求得内切圆的半径．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=15步，BC=8步，内切圆半径为r．AC=（勾股定理），，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC==，∴=，∴r===3．∴直径为6．故选D．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理，解决本题的关键是将求内切圆半径转化为从不同角度求Rt△ABC的面积．（2011•阳江模拟）已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（）A． B． C．2 D．3【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】连接OA，OB，OC，把原三角形分成三个三角形，而这三个三角形的高就是内切圆的半径．等腰三角形ABC的面积可通过作高求得，这样得到关于半径的方程，解方程即可．【解答】解：连OA，OB，OC．因为AB=AC，O是内心，所以AO⊥BC，垂足为F．设内切圆半径为r，∵AB=AC=13，BC=10，∴BF=5，∴AF=12，则S△ABC=×12×10=60；又∵S△ABC=S△OAC+S△OBC+S△OAC=rAB+rAC+rBC=r（13+13+10）=60，∴r=．故选A．【点评】熟练掌握三角形内切圆的性质和等腰三角形的性质．记住三角形的面积等于三角形内切圆的半径与周长的积的一半，是解决本题的关键．（2011•重庆校级模拟）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD=（）A． B． C． D．【考点】三角形的内切圆与内心；切线长定理．【专题】压轴题．【分析】首先根据切线的性质和切线长定理证得四边形OECD是正方形，那么AC+BC﹣AB即为2R（⊙O的半径R）的值，由此可得到OD、CD的值，进而可在Rt△OBD中求出∠OBD的正切值．【解答】解：∵BC、AC、AB都是⊙O的切线，∴CD=CE、AE=AF、BF=BD，且OD⊥BC、OE⊥AC；易证得四边形OECD是矩形，由OE=OD可证得四边形OECD是正方形；设OD=OE=CD=R，则：AC+BC﹣AB=AE+R+BD+R﹣AF﹣BF=2R，即R=（AC+BC﹣AB）=1，∴BD=BC﹣CD=3﹣1=2；在Rt△OBD中，tan∠OBD==．故选C．【点评】此题考查的是三角形的外切圆，切线长定理以及锐角三角形函数的定义，难度适中．（2011•深圳模拟）已知，Rt△ABC的内切圆半径为3，外接圆直径为25，两直角边分别为a、b．则a+b=（）A．36 B．31 C．28 D．24【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；切线长定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】连接OD，OE，根据三角形的内切圆和直角三角形推出四边形ODCE是正方形，得到OD=OE=CD=CE=3，根据直角三角形的外接圆的直径等于直角三角形的斜边长，即推出AB=25，b﹣3+a﹣3=AB=25，求出即可．【解答】解：连接OD，OE，∵圆O是△ABC的内切圆，∴AE=AF，BF=BD，∠OEC=∠ODC=∠C=90°，OD=OE，∴四边形ODCE是正方形，∵Rt△ABC的内切圆半径为3，∴OD=OE=CD=CE=3，∵Rt△ABC的内切圆半径为3，外接圆直径为25，∴AB=25，b﹣3+a﹣3=AB=25，∴a+b=31．故选B．【点评】本题主要考查对直角三角形的外接圆和外心，直角三角形的内切圆和内心，正方形的性质和判定，切线长定理等知识点的理解和掌握，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．（2010•兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（）A．2 B．3 C． D．2【考点】三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】欲求三角形的边长，已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解．【解答】解：过O点作OD⊥AB，则OD=1；∵O是△ABC的内心，∴∠OAD=30°；Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=1，∴AD=OD•cot30°=，∴AB=2AD=2．故选D．【点评】解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关的边长或角的度数．（2010•揭阳模拟）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（）①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】综合题；压轴题．【分析】分别计算结果再比较大小．具体如下：若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中S1=；设图2中正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知S2=；在图3中，设半圆的半径为r，根据切线长定理可求得S3=（﹣）π；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得R=1﹣，所以S4=（）π；根据以上计算的值进行比较即可判断．【解答】解：图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，S1=；图2中，设正方形的边长为x，则3x=，x=，S2=；图3中，设半圆的半径为r，则1+r=，r=﹣1，S3=（﹣）π；图4中，设三角形的内切圆半径为R，则2﹣2R=，解得R=1﹣，S4=（）π；根据以上计算的值进行比较，S3=S4，在S1，S2，S3，S4中，S2最小，所以正确的是②③．故选B．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质及内切圆的性质，切线长定理等内容，范围较广．（2010•武汉模拟）如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI．下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB﹣∠BOA=360°；③EB=EI；④为定值，其中正确的结论有（）A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．①②④【考点】三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；切线长定理．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】①利用直角三角形内切圆半径的求法解答即可；②利用角平分线定义，三角形内角和定理，圆周角定理可得正确性；③利用角平分线定义，外角知识可得∠EIB=∠EBI，那么EB=EI；④过E点作角两边的垂线，可以由三角形全等及等腰直角三角形性质，得到（AB+AC）=AE，再由第（1）问，AB+AC=2（IF+R），可得④正确．【解答】解：①∵直角三角形内切圆半径=，∴IF=，∴AB+AC=BC+2IF，正确；②∵I为△ABC的内心，∴∠BIA=90+∠C，∴4∠BIA=360°+2∠C，∵∠BOA=2∠C，∴4∠AIB﹣∠BOA=360°，正确；③∵点I是△ABC的内心，∴∠FBI=∠ABI，∠CAD=∠BAD，∵∠CAD=∠EBC，∴∠EBC=∠BAD，∴∠EBC+∠FBI=∠ABI+∠BAD∴∠EIB=∠EBI，∴EB=EI．③正确；④作EN⊥AC于点N，EM⊥AB于点M，连接EC，EB，那么四边形ENAM是矩形，∠ENC=∠EMB=90°，∵∠BAC是直角，AI平分∠BAC，∴∠EAN=45°，∴EN=AN，∴四边形ENAM是正方形，∴（AM+AN）=AE，EN=EM，∵∠CEN+∠NEB=90°，∠NEB+∠MEB=90°，∴∠CEN=∠BEM，∴△CEN≌△BEM，∴CN=BM，∴（AB+AC）=AE，由（1）得AB+AC=BC+2IF，∴AB+AC=2R+2IF，IF+R=，∴=，∴④正确．故选C．【点评】本题综合考查了与圆有关的知识；用到的知识点为：直角三角形内切圆的半径为：，外接圆半径为；利用直角三角形的内切圆的圆心是内角平分线的交点作出辅助线构造全等三角形是解决本题的难点．（2010•武汉模拟）如图，在△ABC中，AC=BC，E是内心，AE延长线交△ABC外接圆于D，以下四个结论中正确的个数是（）①BE=AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】三角形的内切圆与内心；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据E是内心，可得出∠CAD=∠BAD，则点D为弧BC的中点，又由AC=BC，得CE⊥AB；则延长BE交圆于一点也一定是弧AC的中点，则BE=AE；根据同弧所对的圆周角相等，得出三角形DEB与ABC三个角分别对应相等．则三角形DEB与ABC相似，从而得出第4个结论正确．【解答】解：∵E是内心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，点D为弧BC的中点，∵AC=BC，且CE为∠ACB的平分线，∴CE⊥AB（三线合一），选项②正确；∵AC=BC，∠ACE=∠BCE，CE=CE，∴△ACE≌△BCE，（SAS）∴∠CAE=∠CBE，∴BE=AE，选项①正确；∵∠CAD=∠BAD，∴=，∴∠DBC=∠DAB，∴∠EAB+∠EBA=∠DBC+∠EBC，即∠DEB=∠DBE，∴DE=DB，∴△DEB是等腰三角形，选项③正确；∵△ABC和△BED都为等腰三角形，且两顶角∠ACB=∠EDB，∴△ABC∽△BED，∴=，∴=，∵DE=DB，BE=AE，∴，选项④正确，∴正确结论有4个．故选D．【点评】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．（2010•武汉模拟）如图，I为△ABC的内心，△ABC的外接圆O，O在BC上，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，EF交AB于点G，交AC于点H，IM⊥BC于M．则下列结论：①EF⊥AD；②AB+AC﹣BC=AI；③AD=（IM+BC）；④S△BIC：S△EFI的值随A点位置变化而变化．其中正确的是（）A．①②④ B．①② C．①②③ D．③④【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外角性质；勾股定理；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据内心的定义得到∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，求出∠EAD+∠AEF=90°即可判断①；求出三角形内切圆的半径是（AC+AB﹣BC），根据勾股定理求出AI=IH即可判断②；求出AD=AI+ID=（AC+AB），求出（IM+BC）=（AC+AB），即可判断③；根据相似三角形的性质即可判断④．【解答】解：∵I为△ABC的内心，∴∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，∴弧AE+弧AF+弧CD=180°，∴∠AGF=∠EAD+∠AEF=90°，∴①正确；∵O在BC上，∴∠BAC=90°，∵I是△ABC的内心，∴CM=BM，CQ=CM，BM=BH，∴∠IQA=∠CAB=∠IHA=90°，IQ=IH，∴四边形QIHA是正方形，∴IQ=AQ=AI=IH，∴AC﹣IH+AB﹣IH=BC，∴IH=（AC+AB﹣BC），由勾股定理得：AI=IH，∴②正确；AD=AI+ID=（AC+AB﹣BC）+BC，=AC+AB，（IM+BC）=[（AC+AB﹣BC）+BC]=AC+AB，∴③正确；∵∠F=∠EBC，∠FEI=∠ICM，∴△EFI∽△CBI，∴=，∵BC一定，∴④错误；故选C．【点评】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外角性质，相似三角形的性质，圆周角定理，切线长定理，正方形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．（2009•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（）A． B． C． D．2【考点】三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】设⊙O与AB，AC，BC分别相切于点E，F，G，连接OE，OF，OG，则OE⊥AB．根据勾股定理得AB=10，再根据切线长定理得到AF=AE，CF=CG，从而得到四边形OFCG是正方形，根据正方形的性质得到设OF=x，则CF=CG=OF=x，AF=AE=6﹣x，BE=BG=8﹣x，建立方程求出x值，进而求出AE与DE的值，最后根据三角形函数的定义即可求出最后结果．【解答】解：过O点作OE⊥ABOF⊥ACOG⊥BC，∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90°，∵∠C=90°，AC=6BC=8，∴AB=10∵⊙O为△ABC的内切圆，∴AF=AE，CF=CG（切线长相等）∵∠C=90°，∴四边形OFCG是矩形，∵OG=OF，∴四边形OFCG是正方形，设OF=x，则CF=CG=OF=x，AF=AE=6﹣x，BE=BG=8﹣x，∴6﹣x+8﹣x=10，∴OF=2，∴AE=4，∵点D是斜边AB的中点，∴AD=5，∴DE=AD﹣AE=1，∴tan∠ODA==2．故选：D．【点评】此题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．（2009•安徽）△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150°【考点】三角形的内切圆与内心；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】本题求的是∠AIB的度数，而题目却没有明确告诉任何角的度数，因此要从隐含条件入手；CD是AB边上的高，则∠ADC=90°，那么∠BAC+∠ACD=90°；I是△ACD的内心，则AI、CI分别是∠DAC和∠DCA的角平分线，即∠IAC+∠ICA=45°，由此可求得∠AIC的度数；再根据∠AIB和∠AIC的关系，得出∠AIB．【解答】解：如图．∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°；又∵I为△ACD的内切圆圆心，∴AI、CI分别是∠BAC和∠ACD的角平分线，∴∠IAC+∠ICA=（∠BAC+∠ACD）=×90°=45°，∴∠AIC=135°；又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI；∴△AIB≌△AIC（SAS），∴∠AIB=∠AIC=135°．故选：C．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内切圆的意义、三角形内角和定理、直角三角形的性质；难点在于根据题意画图，由于没任何角的度数，需要充分挖掘隐含条件．此类题学生丢分率较高，需注意．（2009•甘南州）如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为（）A．76° B．68° C．52° D．38°【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】连接ID、IF，在⊙I中，由圆周角定理可求得∠DIF的度数，在四边形EDFA中，由于∠IDA=∠IFA=90°，因此∠DIF和∠A互补，由此求出∠A的度数．【解答】解：连接ID、IF；∵⊙I是△ABC的内切圆，∴ID⊥AB，IF⊥AC；又∵⊙I中，∠DIF=2∠DEF=104°，四边形DIFA中，∠IDA=∠IFA=90°，∴∠A=180°﹣∠DIF=76°，故选A．【点评】此题主要考查了三角形内切圆的性质以及圆周角定理、多边形的内角和等知识，难度不大．（2009•自贡）如图，若等边△ABC的边长为6cm，内切圆⊙O分别切三边于点D，E，F，则阴影部分的面积是（）A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】连接OA，OE，OF，OD，AD，则AD过O，求出BD、AD，求出三角形ABC的面积，根据S△OBC=S△ABC，求出OD，求出∠BOC，根据扇形的面积公式求出即可．【解答】解：连接OA，OE，OF，OD，AD，则AD过O，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=3，由勾股定理得：AD===3，∴S△ABC=BC×AD=×6×3=9，∵等边三角形ABC的内切圆⊙O分别且AB、BC、AC于F、D、E，∴OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，∵AB=BC=AC=6，OD=OE=OF，∴S△AOC=S△OBC=S△OAC，∴S△OBC=S△ABC=3，∴BC×OD=3，即×6×OD=3，∴OD=，∵⊙O是等边△ABC的内切圆，∴∠OBC=∠ABC=30°，同理∠OCB=30°，∴∠BOC=180°﹣30°﹣30°=120°，∴阴影部分的面积是：=π．故选A．【点评】本题考查了扇形的面积，三角形的面积，勾股定理，三角形的内切圆，等边三角形性质等知识点的应用，关键是求出OD的长和∠BOC的度数，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．（2009•宜宾县一模）如果等边三角形的边长为6，那么它的内切圆的半径为（）A．3 B． C．2 D．3【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用直角三角形的30度特殊角的三角函数即可求解．【解答】解：过O点作OD⊥AB，则AD=3，因为∠OAD=30°，所以OD=tan30°•AD=．故选B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心的计算．解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关边长或角．（2009•赣州二模）如图，若等边△ABC的边长为2cm，内切圆O分别切三边于D，E，F，则阴影部分的面积是（）A．2π B．π C．π D．π【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据等边三角形的三线合一，知等边三角形的内心也是它的外心，其内切圆的半径是外接圆半径的一半．再根据它的半边是，可以计算其内切圆的半径是1．阴影部分的圆心角是120°，根据扇形的面积公式得其面积是=．【解答】解：∵等边△ABC的边长为2cm，∴内切圆的半径是1，∴阴影部分的圆心角是120°，∴S阴==．故选D．【点评】此题注意根据等边三角形的三线合一的性质，正确计算内切圆的半径，进而利用扇形的面积公式进行求解．（2009•龙岩校级模拟）如果直角三角形的两直角边分别为3，4，那么它的内切圆的半径为（）A．1 B． C．2 D．3【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】根据勾股定理，得直角三角形的斜边是5．再根据切线长定理可以证明“直角三角形内切圆的半径是直角三角形的两条直角边的和与斜边的差的一半”，所以（3+4﹣5）÷2=1．【解答】解：∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴直角三角形的斜边是5，∴内切圆的半径为（3+4﹣5）÷2=1．故选A．【点评】注意：直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．（2008•贵港）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=52°，则∠A的度数是（）A．52° B．76° C．26° D．128°【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理；切线的性质．【专题】压轴题．【分析】连接OD、OF；由圆周角定理可求得∠DOF的度数；在四边形ADOF中，∠ODA=∠OFA=90°，因此∠A和∠DOF互补，由此可求出∠A的度数．【解答】解：连接OD，OF，则∠ADO=∠AFO=90°；由圆周角定理知，∠DOF=2∠E=104°；∴∠A=180°﹣∠DOF=76°．故选B．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形的内角和等知识．（2007•白银）正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为（）A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】正三角形的内心和外心重合，根据等腰三角形的三线合一，则正三角形的外接圆半径和内切圆的半径可以放在30°的直角三角形中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得R=2r．【解答】解：正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为R=2r．故选D．【点评】熟记正三角形的外接圆半径是内切圆半径的2倍．（2006•眉山）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（）A．55° B．60° C．65° D．70°【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的内角和定理求得∠B=50°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理，得∠DOE=130°，再根据圆周角定理得∠DFE=65°．【解答】解：∵∠A=100°，∠C=30°，∴∠B=50°，∵∠BDO=∠BEO，∴∠DOE=130°，∴∠DFE=65°．故选C．【点评】熟练运用三角形的内角和定理、四边形的内角和定理以及切线的性质定理、圆周角定理．（2006•宜昌）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130° B．100° C．50° D．65°【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，利用三角形内角和定理和角平分线的性质可得∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可求得∠BOC的值．【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣80°）=50°，∴∠BOC=180°﹣50°=130°．故选A．【点评】本题通过三角形内切圆，考查切线的性质．（2006•钦州）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，则△ADE的周长为（）A．15 B．9 C．7.5 D．7【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，则BM+CQ=6，所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DM+EQ，代入求出即可．【解答】解：∵△ABC的周长为21，BC=6，∴AC+AB=21﹣6=15，设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC的切点为M、N、Q，切DE为P，∵DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，∴BM+CQ=BN+CN=BC=6，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE=AD+DM+AE+EQ=AB﹣BM+AC﹣CQ=AC+AB﹣（BM+CQ）=15﹣6=9，故选B．【点评】此题充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理．（2005•宁波）边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为（）A．1：5 B．2：5 C．3：5 D．4：5【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】若设该直角三角形的内切圆的半径为r，根据内切圆的性质，圆心与两直角边的切点及直角顶点所组成的四边形是正方形，所以3﹣r+4﹣r=5，解得r=1，即内切圆的半径为1；直径所对的圆周角是直角，所以直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边上，且为斜边的中点，则外接圆的半径为，所以内切圆半径与外接圆半径的比为1：=2：5．【解答】解：设该直角三角形的内切圆的半径为r，∵边长分别为3，4，5，∴3﹣r+4﹣r=5，解得r=1，即内切圆的半径为1；∵外接圆的半径为，∴内切圆半径与外接圆半径的比为1：=2：5．故选B．【点评】本题考查了直角三角形的内切圆圆心与外接圆圆心的概念．（2005•天津）如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A． B． C． D．【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】由于△ABC、△A1B1C1都是正三角形，因此它们的外心与内心重合；可过O分别作AB、A1B1的垂线，连接OA、OA1；在构建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半径分别表示出AB、A1B1的长，进而可求出它们的比例关系．【解答】解：∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，∴它们的内心与外心重合；如图：设圆的半径为R；Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；AD=OD•=R，即AB=2R；同理可求得A1B1=R；∴==．故选A．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心重合，称为等边三角形的中心（五心合一）．（2005•山西）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．则其内心和外心之间的距离是（）A．10cm B．5cm C．cm D．2cm【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】如图，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，∴AM为外接圆半径．设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD=OE=r，∠C=90°，∵四边形OECD是正方形，∴CE=CD=r，AE=AN=6﹣r，BD=BN=8﹣r，即8﹣r+6﹣r=10，解得r=2cm，∴AN=4cm；在Rt△OMN中，MN=AM﹣AN=1cm，OM=cm．故选C．【点评】此题考查了直角三角形的外心与内心概念，及内切圆的性质．（2005•绵阳）若△ABC内切圆的切点将该圆圆周分为7：8：9三条弧，则△ABC的最小内角为（）A．55° B．50° C．45° D．30°【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】根据切线的性质定理和四边形的内角和定理，知三个内角分别和三条弧所对的圆心角互补．所以要求最小的内角，只需求得最大的圆心角．【解答】解：∵最大的圆心角是360°×=135°，∴最小的内角是45°．故选C．【点评】能够发现三个内角和三条弧所对的圆心角的关系是解题的关键．（2002•重庆）如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90度，OA的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于（）A． B． C． D．【考点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】设圆O与AC的切点为M，圆的半径为r，求得△AOM∽△ADC，利用相似比作为相等关系可列式r：1=（4﹣r）：4，解之即可．【解答】解：设圆O与AC的切点为M，圆的半径为r，如图，连接OM，∵∠C=90°∴CM=r，∵△AOM∽△ADC，∴OM：CD=AM：AC，即r：1=（4﹣r）：4，解得r=．故选A．【点评】此题考查直角三角形中内切圆的性质及利用相似三角形求内切圆的半径．（1999•贵阳）已知等腰直角三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为（）A． B．12﹣5 C．5﹣5 D．10﹣10【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．【解答】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为5，∴此直角三角形的斜边长为10，两条直角边分别为5，∴它的内切圆半径为：R=（5+5﹣10）=5﹣5；故选C．【点评】要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=（a+b﹣c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=c．（2001•重庆）已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边长为，两直角边的长分别是关于x的方程的两个根，则△ABC的内切圆面积是（）A．4π B．π C．π D．π【考点】三角形的内切圆与内心；根与系数的关系；勾股定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2=3（m+），x1•x2=9m；根据勾股定理得：x12+x22=（）2，则整理得：m2﹣m﹣6=0，解关于m的一元二次方程可得m=3；又知直角三角形内切圆的半径r=（a+b﹣c），则r=，所以可求圆的面积为．【解答】解：∵x1+x2=3（m+），x1•x2=9m；∴x12+x22=（）2，整理得m2﹣m﹣6=0，解得m=﹣2或3，经验证m=﹣2不合题意，则m=3；又∵直角三角形内切圆的半径r=（a+b﹣c），∴r=，∴圆的面积为．【点评】本题考查了三角形的内切圆面积计算及根与系数的关系．（1998•武汉）已知△ABC中，∠C=90°，AB=5，周长等于12，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．2 C．2.5 D．3.5【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】根据题意求得：两条直角边的和是12﹣5=7．再根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，得它的内切圆的半径是（7﹣5）÷2=1．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，周长等于12，∴BC+AC=7，∴r=（7﹣5）÷2=1．故选A．【点评】注意：直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．（1997•贵阳）已知：如图，I为△ABC的内心，O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I=（）A．140° B．125° C．130° D．110°【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义以及三角形的内角和定理，可以利用∠A得到∠I的度数．【解答】解：∵O为△ABC的外心，∠O=140°，∴∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°，∵I为△ABC的内心，∴∠IBC+∠ICB=×110°=55°，∴∠I=180°﹣55°=125°，故选B．【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质和三角形内角和定理的运用．（1997•武汉）在△ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，那么，AF、BD、CE的长分别为（）A．AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm B．AF=4cm，BD=5cm，CE=9cmC．AF=5cm，BD=4cm，CE=9cm D．AF=9cm，BD=4cm，CE=5cm【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】利用切线长定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根据BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm即可得到一个关于x，y，z的方程组，即可求解．【解答】解：设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm．∵AF、AE是圆的切线，∴AE=AF=xcm，同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm．根据题意得：，解得：．即：AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm．故选；A．【点评】本题考查了切线长定理，利用切线长定理，把求线段长的问题转化成解方程组的问题，体现了方程思想的应用．（1997•江西）正三角形的内切圆的面积与外接圆的面积之比是（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】首先根据题意作图，易得点O即是△ABC的外心，又是⊙O的内心，且外接圆的半径为OB，内接圆的半径为OD，AD⊥BC，然后由直角三角形的性质，得到OD=OB，继而求得答案．【解答】解：如图，△ABC为等边三角形，AD为角平分线，⊙O为△ABC的内切圆，连OB，如图，∵△ABC为等边三角形，⊙O为△ABC的内切圆，∴点O即是△ABC的外心，又是⊙O的内心，且外接圆的半径为OB，内接圆的半径为OD，AD⊥BC，∴∠OBC=30°，在Rt△OBD中，OD=OB，∴正三角形的内切圆的面积与外接圆的面积之比是：πOD2：πOB2=1：4．故选B．【点评】此题考查了三角形的内切圆与外接圆的性质以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．（2014•宜阳县校级模拟）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．①求∠ACB的度数为60°；②记△ABC的面积为S，若=4，则⊙D的半径为．【考点】三角形的内切圆与内心；垂径定理；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】①根据切线的判定定理得出AB与⊙D相切于E点，进而得出⊙D是△ABC的内切圆，根据OM=OP=0.5，得出∠MOB=60°，进而得出∠ACB的度数；②根据S△ABC=S△ADC+S△ADB+S△BDC，得出△ABC的面积为S=（AB+AN+CN+BC）×DE，由切线长定理以及DE=DN=CD，得出CN=DE，再利用已知求出⊙D的半径．【解答】解：①连接AD，BD，OA，OB，∵DE⊥AB于点E，点D为圆心、DE长为半径作⊙D，∴AB与⊙D相切于E点，又∵过点A、B作⊙D的切线，∴⊙D是△ABC的内切圆，∵⊙O的半径为1，∴OP=1，∵弦AB垂直平分线段OP，∴OM=OP=0.5，∴MO=OB，∴∠MOB=60°，同理可得：∠AOB=120°，∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=60°，∴∠ACB的度数为60°，故答案为：60°；②∵OM=OP=0.5，∴BM=，AB=，∵AE=AN，BE=BQ，∴△ABC的面积为S=（AB+AN+CN+BC）×DE=（2+2CN）×DE，∵△ABC的面积为S，=4，∴=4，∵DE=DN=CD，∴CN=DE，∴，解得：DE=，则⊙D的半径为：，故答案为：．【点评】此题主要考查了三角形内切圆性质与圆周角定理和垂径定理等知识，题目综合性较强，得出S△ABC=S△ADC+S△ADB+S△BDC是解决问题的关键．（2014•成都模拟）如图，CD是直角三角形ABC的斜边AB上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，若AC=3，BC=4，则I1I2=．【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】首先作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F．在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AB的值，再运用射影定理求得AD、BD的长．因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，即可求得I1E的值．连接DI1、DI2，则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，利用垂直的定义，可得到I1D⊥I2D．利用在直角三角形中，直角边也对应角的关系，求得DI1、DI2的值，进而求得I1I2的值．【解答】解：作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB==5，又∵CD⊥AB，由射影定理可得AD==，∴BD=AB﹣AD=，CD==，∵I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，∴I1E=（AD+CD﹣AC）=，连接DI1、DI2，则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，∵∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB=45°，∴∠I1DI2=90°，∴I1D⊥I2D，DI1===，同理，可求得I2F=，DI2=，∴I1I2==．【点评】本题考查内切圆与内心、勾股定理、解直角三角形．解决本题的基本思路是首先求得两个内切圆I1、I2的半径，再利用勾股定理求得DI1、DI2，最后在证明I1D⊥I2D的基础上求得I1I2的值．（2013•南宁）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为﹣π．【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】连接OB，以及⊙O与BC的切点，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形易求得⊙O的半径，然后作⊙O与小圆的公切线EF，易知△BEF也是等边三角形，那么小圆的圆心也是等边△BEF的重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积，从而由等边三角形的面积减去四个圆的面积和所得的差即为阴影部分的面积．【解答】解：如图，连接OB、OD；设小圆的圆心为P，⊙P与⊙O的切点为G；过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F，则∠BEF=∠BFE=90°﹣30°=60°，所以△BEF是等边三角形．在Rt△OBD中，∠OBD=30°，则OD=BD•tan30°=1×=，OB=2OD=，BG=OB﹣OG=；由于⊙P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，故PG=BG=；∴S⊙o=π×（）2=π，S⊙P=π×（）2=π；∴S阴影=S△ABC﹣S⊙O﹣3S⊙P=﹣π﹣π=﹣π．故答案为：﹣π．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法，难度适中．（2013•沈阳模拟）已知在直角ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，则△ABC的外接圆半径长为5cm，△ABC的内切圆半径长为2cm，△ABC的外心与内心之间的距离为cm．【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】首先运用勾股定理求出斜边AB=10cm，因为直角三角形的外心是斜边的中点，则外接圆的半径是斜边的一半，即为5cm．直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=（a，b为两直角边，c为斜边）可求的r．再运用勾股定理求外心与内心之间的距离即可．【解答】解：（1）∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB==10cm．∴△ABC的外接圆半径长R===5cm．故答案为：5cm．（2）∵AC=8cm，BC=6cm，由（1）知AB=10cm，∴△ABC的内切圆半径长r=，==2cm．故答案为：2cm．（3）连接ID，IE，IF，∵⊙I是△ABC的内切圆，∴ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，∴∠CDI=∠CEI=∠C=90°，又∵DI=EI，∴四边形CDIE是正方形．∴CD=CE=DI=IE，由（2）知DI=IE=IF2cm，∴CD=2cm．∵BC=6cm，∴BD=4cm．∵⊙I是△ABC的内切圆，∴BD=BF=4cm．∵BO=5cm，∴OF=1cm．在Rt△IFO中，IO==cm．∴△ABC的外心与内心之间的距离为cm．故答案为：cm．【点评】本题考查了三角形的外心和内心的性质．直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径是斜边的一半；直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=（a，b为两直角边，c为斜边）．（2012•连云港一模）某中学在校内安放了几个圆柱形饮水桶的木制支架（如图①），若不计木条的厚度，其俯视图如图②所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=40cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是25cm．【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】应用题；压轴题．【分析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径．【解答】解：连接OB，如图，当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大．∵AD垂直平分BC，AD=BC=40cm，∴O点在AD上，BD=20cm；在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=40﹣r，∴r2=（40﹣r）2+202，解得r=25．即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为25cm．故答案为25．【点评】此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及垂径定理的讨论和勾股定理．（2012•淮滨县模拟）如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F、已知∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于55°．【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】压轴题．【分析】先由三角形的内角和定理求出∠A，然后根据切线的性质和四边形的内角和求出∠EOF，最后根据圆周角定理得到∠EDF的度数．【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°；又∵E，F是切点，∴OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠EOF=180°﹣70°=110°，∴∠EDF=×110°=55°．故填55°．【点评】记住多边形的内角和定理；熟练掌握切线的性质定理和圆周角定理．（2012•海陵区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=2．【考点】三角形的内切圆与内心；解一元一次方程；勾股定理；正方形的判定与性质；切线长定理；锐角三角函数的定义．【专题】计算题；几何图形问题；压轴题．【分析】连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理求出AB=5，根据△ABC的内切圆，得到OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，推出四边形CFOE是正方形，得到CE=CF=OF=OE，根据3﹣r+4﹣r=5求出r、AQ、OQ的长求出AD、DQ的长，根据tan∠ODA=求出即可．【解答】解：连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理得：AB==5，∵⊙O是三角形ABC的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，AE=AQ，BF=BQ，∵∠C=90°，∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，∴四边形CFOE是正方形，∴CE=CF=OF=OE，∴3﹣r+4﹣r=5，r=1，AQ=AE=3﹣1=2，OQ=1，∵D是AB的中点，∴AD=，∴DQ=AD﹣AQ=，tan∠ODA==2，故答案为：2．【点评】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，正方形的性质和判断，解一元一次方程，勾股定理，切线长定理等知识点的理解和掌握，能求出OQ、DQ的长是解此题的关键．（2011•芜湖）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点，半径为（4﹣2）的圆内切于△ABC，则k的值为4．【考点】三角形的内切圆与内心；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的性质得出AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，进而根据半径为（4﹣2）的圆内切于△ABC，得出CD的长，从而得出DO的长，再利用勾股定理得出DN的长进而得出k的值．【解答】解：设正方形对角线交点为D，过点D作DM⊥