人教A版高中数学选择性必修第三册 第7章 §7.6 章末复习课+巩固练习（原卷版）

第第页章末复习课一、条件概率与全概率公式1．求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率．2．掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养．例1甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．反思感悟条件概率的计算要注意以下三点(1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率．(2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化．(3)理解全概率公式P(A)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想．跟踪训练1抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)二、n重伯努利试验及二项分布1．n重伯努利试验是相互独立事件的延伸，其试验结果出现的次数X～B(n，p)，即P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.2．学习该部分知识重点提升数学建模及数学运算的核心素养．例2在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是eq\f(2,3).(1)求油灌被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．反思感悟与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n重伯努利试验中某事件发生的次数．跟踪训练2一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”．(1)求一个试用组为“甲类组”的概率；(2)观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和均值．三、离散型随机变量的均值与方差1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛．2．掌握均值和方差的计算，重点提升逻辑推理和数据分析的核心素养．例3某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为eq\f(2,3)，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为eq\f(2,5)，中奖可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？反思感悟求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值．(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)．(3)写出X的分布列．(4)由分布列和均值的定义求出E(X)．(5)由方差的定义，求D(X)，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．跟踪训练3一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)．(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，D(ξ)．四、正态分布1．正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用．2．熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养．例4在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？反思感悟正态曲线的应用及求解策略(1)正态曲线是轴对称图形，常借助其对称性解题．(2)正态分布的概率问题常借助[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率值求解．(3)注意正态曲线与频率分布直方图的结合．跟踪训练4为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民侯车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间X满足正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图所示的频率分布直方图．(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组的各个值，试估计μ，σ2的值；(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由．(参考数据：eq\r(19.2)≈4.38，eq\r(21.4)≈4.63，eq\r(26.6)≈5.16，0.84137≈0.2983,0.84136≈0.3546,0.15873≈0.0040，0.15874≈0.0006，P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.)1．(2020·全国Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且eq\i\su(i＝1,4,p)i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.22．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p等于()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.33．(2019·全国Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．4．(2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,x)\o\al(2,i)－16\o(x,\s\up6(－))2)≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))作为μ的估计值eq\o(μ,\s\up6(^))，用样本标准差s作为σ的估计值eq\o(σ,\s\up6(^))，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973,0.997316≈0.9577，eq\r(0.008)≈0.09.再练一课(范围：§7.2～§7.4)1．若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于()A．0.665 B．0.00856C．0.91854 D．0.991442．已知随机变量X的分布列为X012Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)设Y＝2X＋3，则D(Y)等于()A.eq\f(8,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)3．某电子管正品率为eq\f(3,4)，次品率为eq\f(1,4)，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于()A．Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\f(3,4)B．Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2×eq\f(1,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\f(3,4)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2×eq\f(1,4)4．有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其均值E(X)等于()A．2B．2.5C．3D．3.55．(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq\f(1,3)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是()A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝eq\f(4,9)6．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,300)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))300－k(k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.7．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．8．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是________；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D(ξ)＝________.9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．10．甲、乙两人射击，甲射击1次中靶的概率是p1，乙射击1次中靶的概率是p2，且eq\f(1,p1)，eq\f(1,p2)是方程x2－5x＋6＝0的两个实根．已知甲射击5次，中靶次数的方差是eq\f(5,4).(1)求p1，p2的值；(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？11．随机变量ξ的分布列为ξ－1012Peq\f(1,3)abc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝eq\f(1,9)，则D(ξ)等于()A.eq\f(1,81)B.eq\f(2,9)C.eq\f(8,9)D.eq\f(80,81)12．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数字中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为eq\f(1,3)，出现1的概率为eq\f(2,3).记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，X＝3的概率为()A.eq\f(65,81)B.eq\f(25,27)C.eq\f(8,27)D.