专题11 一元一次不等式压轴题七种模型全攻略（解析版）

专题11一元一次不等式压轴题七种模型全攻略考点一不等式的性质考点二一元一次不等式的定义考点三求一元一次不等式的解集考点四求一元一次不等式的整数解考点五已知一元一次不等式的解集或整数解求参数考点六列一元一次不等式考点七用一元一次不等式解决实际问题典型例题典型例题考点一不等式的性质例题：（2022·河南安阳·七年级期末）若，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．【详解】∵，∴，故A正确，不符合题意；，故B正确，不符合题意；，故C正确，不符合题意；，故D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查不等式的性质．掌握不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．【变式训练】1．（2021·河北·定州市宝塔初级中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（）A．若a＜b，则a2＜b2 B．若a＞|b|，则a＞bC．若|a|＝|b|，则a＝b D．若|a|＞|b|，则a＞b【答案】B【分析】根据特殊值法，举出反例即可证明．【详解】A．反例：﹣2＜﹣1，但是（﹣2）2＞（﹣1）2；选项说法错误，不符合题意；B．a＞|b|，则a＞b；选项说法正确，符合题意；C．反例：|﹣2|＝|2|，但是﹣2≠2；选项说法错误，不符合题意；D．反例：|﹣2|＞|﹣1|，但是﹣2＜﹣1．选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查不等式的性质，在选择题中可以采用特殊值法，举出反例来进行快速判断．2．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）下列四个命题中，错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.若，则，故该选项正确，不符合题意；

B.若，则，故该选项正确，不符合题意；C.若，则，故该选项不正确，符合题意；

D.若，则，故该选项正确，不符合题意．故选C．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．考点二一元一次不等式的定义例题：（2022·云南省楚雄天人中学八年级阶段练习）下列不等式中，是一元一次不等式的是（

）A．3x-3y<-1 B．x+2 C．2x-1>0 D．【答案】C【分析】根据一元一次不等式的定义（用不等号连接，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的式子叫做一元一次不等式）逐项判断即可得．【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，则此项不符合题意；B、没有不等号，不是一元一次不等式，则此项不符合题意；C、是一元一次不等式，则此项符合题意；D、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，则此项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·大庆市万宝学校八年级期末）下列不等式中，是一元一次不等式的有(

)个．①x＞﹣3；②xy≥1；③x2＜3；④﹣≤1；⑤＞1．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可．【详解】解：根据一元一次不等式的定义，①x＞﹣3，④﹣≤1是一元一次不等式，共2个，故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式应满足的条件是解答的关键．2．（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（

）A．-1 B．-3 C．-2 D．-3或-1【答案】B【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【详解】解：∵，∴且，解得．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．考点三求一元一次不等式的解集例题：（2021·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】；数轴见解析【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示其解集即可求解．【详解】解：，，，，，解得，将解集表示在数轴上，如图，【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确的计算是解题的关键．【变式训练】1．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项合并同类项得：，解得：，把解集在数轴上表示出来，如下图：【点睛】本题主要考查了解一元一不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．2．（2021·宁夏·永宁县回民高级中学八年级期中）解下列不等式并把解集表示在数轴上．(1)；(2)【答案】(1)，数轴见解析(2)，数轴见解析【分析】（1）先移项合并同类项，再系数化为1，即可求解；（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化为1，即可求解．（1）解：移项合并同类项得：，解得：，把解集表示在数轴上，如图：；（2）解：，去分母得：，去括号得：，解得：把解集表示在数轴上，如图：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意不等式的两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向改变．考点四求一元一次不等式的整数解例题：（2022·广东·惠东县多祝中学七年级期末）不等式-3≤5-2x的正整数解是___________．【答案】1，2，3，4【分析】不等式移项，合并，把x系数化为1，求出解集，确定出正整数解即可．【详解】解：不等式-3≤5-2x，移项得：2x≤5+3，合并得：2x≤8，系数化为1得：x≤4，则不等式的正整数解为1，2，3，4．故答案为：1，2，3，4．【点睛】本此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）不等式1-2x＞x-5的非负整数解是________．【答案】0，1【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．【详解】解：1-2x＞x-5，移项得-2x-x＞-5-1，合并同类项得-3x＞-6，解得x＜2，故不等式1-2x＞x-5的非负整数解为0，1．故答案为：0，1．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．2．（2021·宁夏·永宁县回民高级中学八年级期中）一元一次不等式的最大整数解为_____________；【答案】-1【分析】先化简不等式，再求解即可．【详解】解：，，则最大整数解为：-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解．考点五已知一元一次不等式的解集或整数解求参数例题：（2022·山东淄博·七年级期末）关于x的不等式2x﹣a≤1有三个正整数解，则a的取值范围是__．【答案】5≤a＜7【分析】首先解关于x的不等式，然后根据不等式2x-a≤1有三个正整数解即可得到一个关于a的不等式组，从而求解．【详解】解：解不等式2x-a≤1得：x≤，根据题意得：3≤＜4，解得：5≤a＜7．故答案为：5≤a＜7．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．解不等式时要根据不等式的基本性质．【变式训练】1．（2022·河南平顶山·八年级期末）若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为______．【答案】【分析】先解不等式得，再根据关于的不等式只有2个正整数解，得出不等式的正整数解为1，2，据此得到答案．【详解】解：∵，∴，∵关于x的不等式只有2个正整数解，∴不等式的正整数解为：1，2，∴，故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式及其正整数解的情况，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．2．（2022·辽宁盘锦·七年级期末）关于x的不等式（其中a为正整数）正整数解为1，2，3，则a的值是__________．【答案】6，7【分析】先求关于x的不等式的解集为，再根据不等式的正整数解为1，2，3，确定a的取值范围，最后得出正整数a的值即可．【详解】解：不等式的解集为，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴，解得：，∴正整数a的值为，7．故答案为：6，7．【点睛】本题主要考查了求不等式的正整数解，根据题意得出，是解题的关键．考点六列一元一次不等式例题：（2022·福建省尤溪县梅仙中学八年级阶段练习）小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则根据题意可列不等式为______．【答案】2(30-x)+5x≤100【分析】设小张买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，根据费用不超过100元钱即可列出不等式．【详解】解：设小张买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，根据题意得：2(30-x)+5x≤100，故答案为：2(30-x)+5x≤100．【点睛】题目主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键．【变式训练】1．（2021·浙江温州·八年级期中）x的3倍与1的和小于2021，列出不等式是：______．【答案】3x+1<2021【分析】直接利用已知得出3x+1小于2021即可．【详解】解：根据题意可得：3x+1<2021．故答案为：3x+1<2021．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．2．（2022·山东德州·七年级期末）“安全大于一切，生命最为宝贵”，某学校为提高学生安全意识，举办了安全知识竞赛活动本活动共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小华得分要超过120分．他至少要答对多少道题？若设小华答对x道题，则他答错或不答的题数为道．根据题意列不等式：_____．【答案】10x−5（20−x）＞120【分析】小华答对题的得分：10x；小华答错或不答题的得分：−5（20−x）．不等关系：小华得分要超过120分．【详解】解：若设小华答对x道题，则小华答对题的得分：10x；小华答错或不答题的得分：−5（20−x）．根据题意，得10x−5（20−x）＞120．故答案为：10x−5（20−x）＞120．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，此题要特别注意：答错或不答都扣5分．超过即大于．考点七用一元一次不等式解决实际问题例题：（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期末）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要整套购进，两种型号的健身器材．若购买型号10套，型号5套，恰好支出5400元，已知购买一套型号健身器材比购买一套型号健身器材要多花150元．(1)求每套，型号健身器材的单价各是多少元？(2)若购买，两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求种型号健身器材至少要购买多少套？【答案】(1)型健身器材每套310元，型健身器材每套460元(2)种型号健身器材至少要购买34套【分析】（1）设每套A型号健身器材的单价是x元，型健身器材每套元，根据题意可列出方程组，求解即可；（2）设A种型号健身器材购买m套，则B种型号健身器材购买(50-m)套，根据题意可列出关于y的一元一次不等式，解出m的解集，即可求解．（1）解：（1）设型健身器材每套元，型健身器材每套元．解得：答：型健身器材每套310元，型健身器材每套460元．（2）设购买套型健身器材，则型健身器材为套，解得∵应为正整数，∴的最小值为34，即答：种型号健身器材至少要购买34套．【点睛】本题考查二元一次方程和一元一次不等式的实际应用．根据题意找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．【变式训练】1．（2022·河南安阳·七年级期末）为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，某校决定从网店购买甲，乙两种图书以供学生课外阅读．已知甲，乙两种图书的单价分别是20元和16元．(1)该校用460元购买了甲，乙两种图书共25本，求甲，乙两种图书各购买了多少本？(2)若该校准备再次购买甲，乙两种图书共60本，且购买图书的总费用不超过1100元，那么甲种图书最多能买多少本？【答案】(1)甲种图书购买了15本，乙种图书购买了10本(2)甲种图书最多能买35本【分析】（1）设甲种图书购买了x本，乙种图书购买了y本．根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出答案；（2）设甲种图书购买m本，则乙种图书购买本．根据题意可列出关于m的一元一次不等式，解出m即可求出答案．（1）设甲种图书购买了x本，乙种图书购买了y本．根据题意得：，解得：．答：甲种图书购买了15本，乙种图书购买了10本；（2）设甲种图书购买m本，则乙种图书购买本，根据题意得：，解得：，答：甲种图书最多能买35本．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．2．（2022·宁夏吴忠·七年级期末）2022年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，喜庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．王老师想要购买这两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需150元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的单价；(2)学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？【答案】(1)“冰墩墩”的单价为55元，“雪容融”的单价为40元(2)最多可以购买66个“冰墩墩”【分析】（1）设“冰墩墩”的单价为x元，“雪容融”的单价为y元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个“冰墩墩”，则购买（100−m）个“雪容融”，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．（1）解：设“冰墩墩”的单价为x元，“雪容融”的单价为y元，依题意得：，解得：．答：“冰墩墩”的单价为55元，“雪容融”的单价为40元．（2）解：设购买m个“冰墩墩”，则购买（100−m）个“雪容融”，依题意得：55m＋40（100−m）≤5000，解得：m≤．又∵m为正整数，∴m的最大值为66．答：最多可以购买66个“冰墩墩”．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．课后训练课后训练一、选择题1．（2022·福建·尤溪县坂面中学八年级期末）若x＞y，则下列式子中正确的是（）A．x﹣3＜y﹣3 B． C．﹣2x＞﹣2y D．3﹣x＞3﹣y【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【详解】解：A、x﹣3＞y﹣3，选项A不合题意；B、，选项B符合题意；C、﹣2x＜﹣2y，选项C不合题意；D、3﹣x＜3﹣y，选项D不合题意；故选：B．【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键，注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号方向要改变，此处是易错点．2．（2022·河北保定·八年级期末）不等式的正整数解的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再取符合条件的正整数即可．【详解】解：∵3（x-2）＜5，∴x-2＜，∴x＜，∴x可取的正整数有3，2，1，共3个，故选：C．【点睛】本题考查求一元一次不等式的正整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．3．（2022·吉林吉林·七年级期末）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】C【分析】先求出不等式的解集为，再根据数轴可得，从而可得，解方程即可得．【详解】解：解关于的不等式得：，由数轴可知，这个不等式的解集为，则，解得，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的解集在数轴上的表示，熟练掌握不等式的解法是解题关键．4．（2022·江西江西·八年级期末）下列式子①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．【详解】解：题目中是一元一次不等式的有：；，共两个，故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本题的关键．5．（2022·广东北江实验学校七年级期末）已知二元一次方程组，若满足x-y＜1，则k的取值范围是（）A．k＜-3 B．k＜-2 C．k＜0 D．k＜1【答案】B【分析】两方程相减可得：x-y=k+3，由x-y＜1知k+3＜1，解之即可．【详解】解：两方程相减可得：x-y=k+3，∵x-y＜1，∴k+3＜1，解得k＜-2，故选：B．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据等式的基本性质和已知x-y＜1得出关于k的不等式．二、填空题6．（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期中）不等式2x-1≤6的正整数解是_________________

.【答案】1、2、3【分析】先对一元一次不等式求解，即可得到满足不等式成立的正整数【详解】解：移项得：系数化为1得：∵x是满足不等式成立的正整数解∴x可取1、2、3故答案为：1、2、3．【点睛】本题考查求一元一次不等式的整数解，正确解不等式是解题的关键．7．（2022·江苏宿迁·七年级期末）x、y的和大于3，用不等式表示为____________．【答案】【分析】根据题意得出x+y大于3，进而得出答案．【详解】解：根据题意可得：x+y>3．故答案为：x+y>3．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．8．（2022·黑龙江·大庆市万宝学校八年级期末）若（m﹣1）x|2m﹣1|﹣8＞5是关于x的一元一次不等式，则m＝___．【答案】0【分析】根据题意，x系数不为0，指数为1．【详解】解：根据一元一次不等式的定义可知：解得：或，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，理解定义是解题的关键．9．（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）已知关于x的方程x＋2k＝4(x＋k)＋1的解是负数，则k的取值范围是__________．【答案】k＞##k>-0.5【分析】解方程得出x=，根据方程的解为负数得出关于k的不等式，解之可得．【详解】解：x+2k=4x+4k+1，x-4x=4k+1-2k，-3x=2k+1，x=，∵方程x+2k=5（x+k）+1的解是负数，∴＜0．解得：k＞，故答案为：k＞．【点睛】本题主要考查解方程和一元一次不等式的能力，根据题意得出关于k的不等式是解题的关键．10．（2022·河南信阳·七年级期末）规定一种运算：※，如-2※5．若※＜0，则的取值范围是________．【答案】【分析】根据新运算的定义可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得．【详解】解：由题意得：，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键．三、解答题11．（2022·陕西渭南·八年级期末）解不等式：，并写出满足不等式的最大整数解．【答案】，不等式的最大整数解为13【分析】解一元一次不等式，求出不等式解集后再写出最大整数解即可．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并得：，解得：，

不等式的最大整数解为13．【点睛】本题考查了一元一次不等式的求解，解题过程中注意计算的准确性．12．（2022·河南·汝州市有道实验学校八年级阶段练习）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．【答案】，数轴见解析【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解。【详解】解：，去分母得：，去括号得：，移项合并同类项得：，解得：，把解集表示在数轴上，如下：【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确解出不等式的解集是解决本题的关键，解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．13．（2022·吉林·长春博硕学校七年级阶段练习）解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来(1)﹣x+19≥2（x+5）(2)【答案】(1)(2)【分析】(1)先去括号，移项合并同类项，最后系数化为1得到不等式的解集，注意当系数是负数时不等号的方向要改变，最后在数轴上把解集表示出来即可，注意不等号有等于号要画出实心圆点．(2)先去分母，再去括号，移项合并同类项，最后系数化为1得到不等式的解集，注意当系数是负数时不等号的方向要改变，最后在数轴上把解集表示出来即可，注意不等号没有等于号要画出空心圆点．（1）解：去括号得：，移项得：合并同类项得：，系数化为1得：，将解集表示在数轴上，（2）去分母，得：，去括号得：，移项得：合并同类项得：，系数化为1得：，将解集表示在数轴上，【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则和在数轴上表示不等式的解集的方法是解题的关键．14．（2022·四川乐山·七年级期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足．(1)求的取值范围；(2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，求整数的值．【答案】(1)(2)整数的值为【分析】（1）先把①和②相减，整理后根据列出关于k的不等式求解即可；（2）根据题意及不等式的性质列出关于k的不等式并求解，结合（1）中求出的取值范围确定k的整式值即可．（1）解：，，得，∵，∴，解得；（2）∵不等式的解集为，∴，解得，又∵，∴的取值范围为，∴整数的值为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．15．（2022·河北·廊坊市第十六中学七年级阶段练习）山西是中国煤炭大省，素有“煤海”之称、某煤炭企业有A，B两种型号的采煤机，已知4台A型和2台B型