（预习课）2024年高中数学高二暑假讲义11 直线的方程（原卷版）

第第页§2.3直线的交点坐标与距离公式2．3.1两条直线的交点坐标学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．知识点两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行1．若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(√)2．无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(×)3．若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(×)4．在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．(√)一、求相交直线的交点坐标例1(1)求经过点(2,3)且经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点的直线方程；(2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程．反思感悟求两相交直线的交点坐标．(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．跟踪训练1(1)已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))(2)经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0二、直线系过定点问题例2无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．跟踪训练2已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．对称问题典例光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．[素养提升]对称问题中的直观想象与数学运算(1)可以通过直观想象理解对称问题中的点线位置关系．(2)直线的对称可以转化为点的对称，其中的点、直线可以通过数学运算确定．1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为()A．(3,2) B．(2,3)C．(－2，－3) D．(－3，－2)2．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点()A．(－3，－1) B．(－2，－1)C．(－3,1) D．(－2,1)4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．5．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________.1．知识清单：(1)两条直线的交点．(2)直线过定点．2．方法归纳：消元法、加减消元法、直线系法．3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是()A．(2,2)B．(1,1)C．(1,2)D．(2,1)2．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为()A．(－4，－3) B．(4,3)C．(－4,3) D．(3,4)3．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是()A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝04．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是()A．－24B．6C．±6D．245．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，这个定点是()A．(2,3) B．(－2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) D．(－2,0)6．过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为________．7．三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________．8．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝________，c＝________，m＝________.9．求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程．10．若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围．11．直线kx＋y＋1＝2k，当k变动时，所有直线都通过定点()A．(2，－1) B．(－2，－1)C．(2,1) D．(－2,1)12．若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是()A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－213．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.14．已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为________．15．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为()A．y＝2x＋4 B．y＝eq\f(1,2)x－3C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝016．直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程．2．3.2两点间的距离公式学习目标1.掌握两点间距离公式并会应用.2.用坐标法证明简单的平面几何问题．知识点两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).1．点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.(×)2．当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．(×)3．点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时|P1P2|＝|x1－x2|.(×)一、两点间的距离例1如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．延伸探究题中条件不变，求BC边上的中线AM的长．反思感悟计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．跟踪训练1已知点A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．二、运用坐标法解决平面几何问题例2在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．反思感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪训练2已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于()A．5B.eq\r(37)C.eq\r(13)D．42．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于()A．4B．4eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)3．到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是()A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝04．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于eq\r(2)的点的坐标是()A．(－4,5) B．(－3,4)C．(－1,2) D．(0,1)5．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为________．1．知识清单：两点间的距离公式．2．方法归纳：待定系数法、坐标法．3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解．1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则eq\f(|AC|,|CB|)等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．3D．22．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是()A．2eq\r(3) B．3＋2eq\r(3)C．6＋3eq\r(2) D．6＋eq\r(10)3．已知坐标平面内三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是()A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形4．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是()A．2eq\r(5)B．3eq\r(5)C.eq\f(5\r(5),2)D.eq\f(7\r(5),2)5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为()A.eq\f(\r(89),5)B.eq\f(17,5)C.eq\f(13,5)D.eq\f(11,5)6．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________．7．在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为________．8．直线2x－5y－10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是________．9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为eq\f(\r(2),4)，求a的值．10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．11．以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是()A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．以上都不是12．已知x，y∈R，S＝eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)，则S的最小值是()A．0B．2C．4D.eq\r(2)13．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.14．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝________.15．光线从B(－3,5)射到x轴上，经反射后过点A(2,10)，则光线从B到A经过的路程为________．16．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.2．3.3点到直线的距离公式2．3.4两条平行直线间的距离学习目标1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．知识点点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))思考1点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离怎样计算？答案P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.思考2两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？答案可以.应用公式时要把直线方程都化为一般式方程．1．当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．(×)2．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(×)3．直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．(√)4．两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(√)一、点到直线的距离例1(1)求点P(2，－3)到下列直线的距离．①y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)；②3y＝4.(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是eq\f(3\r(10),5)的直线l的方程．反思感悟点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．跟踪训练1(1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为________．(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为________．二、两平行线间的距离例2(1)求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离；(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程．延伸探究把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”．反思感悟求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).跟踪训练2(1)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．4(2)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．三、距离的综合应用例3两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．反思感悟应用数形结合思想求最值(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．跟踪训练3已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m，eq\r(m))，C(4,2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？1．已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为()A．1B．－1C.eq\r(2)D．±eq\r(2)2．两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是()A.eq\f(3\r(2),4)B.eq\f(\r(2),4)C．2D．13．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是()A.eq\r(10) B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\r(6) D．3eq\r(5)4．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．5．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为________．1．知识清单：(1)点到直线的距离公式．(2)两条平行线间的距离．2．方法归纳：数形结合法、解方程(组)法．3．常见误区：利用距离公式时直线方程形式不是一般式；忽略直线方程的特殊形式．1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1与l2之间的距离为()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．23．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.eq\r(2) B.eq\r(2)－1C.eq\r(2)＋1 D．2－eq\r(2)4．已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距