（人教A版）2024年高中数学高一暑假讲义+练习11《幂函数》(原卷版)

.3幂函数学习目标核心素养1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝xeq\s\up5(\f(1,2))的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养.1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up5(\f(1,2))，y＝x－1的图象如图所示：3．幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up5(\f(1,2))y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数1．下列函数中不是幂函数的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝x3C．y＝3x D．y＝x－12．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝()A．2B．1C．3 D．03．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，eq\f(\r(2),2))，则f(4)＝________.幂函数的概念【例1】已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为1.1．(1)在函数y＝eq\f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f(eq\f(1,2))的值等于________．幂函数的图象及应用【例2】点(eq\r(2)，2)与点(-2，－eq\f(1,2))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．解决幂函数图象问题应把握的两个原则1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴简记为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高.2依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝xeq\s\up5(\f(1,2))或y＝x3来判断.2.(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c(2)函数y＝xeq\s\up5(\f(1,2))－1的图象关于x轴对称的图象大致是()ABCD幂函数性质的综合应用[探究问题]1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.【例3】比较下列各组中幂值的大小：(1)0.213,0.233；(2)1.2eq\s\up5(\f(1,2))，0.9eq\s\up5(－\f(1,2))，eq\r(1.1).把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：(1)(eq\f(2,5))0.5与(eq\f(1,3))0.5；(2)(－eq\f(2,3))－1与(－eq\f(3,5))－1.比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.【例4】若幂函数y=(m2−2m−2)x−mA．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝3【例5】设a=(34)12，b=(A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【例6】（1）若函数y=(m2−3m+3)xm2+2m−4为幂函数，且在（A．0 B．1或2 C．1 D．2(2)已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围为（）A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）(3)已知f（x）=(m2−2m−7)xm−2A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up5(\f(1,2)))图象与性质的关系．3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.1．思考辨析(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．()(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．()(3)当幂指数α取1,3，eq\f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数．()(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．()2．幂函数的图象过点(2，eq\r(2))，则该幂函数的解析式是()A．y＝x－1 B．y＝xeq\s\up5(\f(1,2))C．y＝x2 D．y＝x33．函数y＝xeq\s\up15(\f(5,4))的图象是()ABCD4．比较下列各组数的大小：(1)3eq\s\up15(－\f(5,2))与3.1eq\s\up15(－\f(5,2))；(2)4.1eq\s\up5(\f(2,5))，3.8eq\s\up15(－\f(2,3))，(－1.9)eq\s\up15(－\f(3,5)).A级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列函数中是偶函数，且在(－∞，0]上单调递增的是()A．y＝x－1 B．y＝x2C．y＝x3 D．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x≥0，,x，x＜0))2．给出下列说法：①幂函数图象均过点(1,1)；②幂函数的图象均在两个象限内出现；③幂函数在第四象限内可以有图象；④任意两个幂函数的图象最多有两个交点．其中说法正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列函数在(－∞，0)上单调递减的是()A．y＝xB．y＝x2C．y＝x3D．y＝x－24．设a＝(-eq\f(1,6))－2，b＝(eq\f(2,5))－2，c＝(eq\f(3,4))－2，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．c>a>bC．a<b<cD．b>c>a5．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图象不过原点，且关于原点对称，则()A．m＝－2 B．m＝－1C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－1二、填空题6．若幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－1在(0，＋∞)上单调递增，则m＝________.7．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为________．8．已知幂函数f(x)＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)3－1和3.1－1；(2)－8－3和－(eq\f(1,9))3；(3)(-eq\f(2,3))－2和(-eq\f(π,6))－2.10．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞