专题08 胡不归与三角函数的融合（解析版）

专题08胡不归与三角函数的融合“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；模型建立：图图1图图2如图1：P是直线BC上的一动点，求PA+k·PB的最小值。作∠CBE=α，使sinα=k,则PD=k·OP（图2）当AD最短，AD⊥BE时，则P为要求点。(图2)AD长即为PA+k·PB的最小值.简记:胡不归,根据三角函数，作个角,再作高，求出长度就可以.钥匙：三角函数典例典例如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E为线段AB上一动点，连接CE，则12AE+CE的最小值为思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ET=12AE，推出12AE+EC＝CE+ET≥CH答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB=CB∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝23，在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ET=12AE∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝23，∴CH＝AC•sin6°＝23×∵12AE+EC＝CE+ET≥CH∴12AE+EC∴12AE+EC故答案为3．实战训练实战训练1．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则CD+1A．3 B．33 C．6 D．试题分析：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，先解直角三角形可求出CF，再由直角三角形的性质得DH=12BD，进而可得CD+12BD=CD答案详解：解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴∠A＝∠ABC＝60°，AF＝BF＝3，∴CF＝AFtan60°=33∵点E是AC的中点，∴∠DBH＝60°÷2＝30°，在Rt△BDH中，DH=1∴CD+12BD=CD+∴CD+12BD所以答案是：B．2．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P是线段BD上的一个动点，则MP+1A．2 B．23 C．4 D．试题分析：过点P作PE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质可得AB＝BC＝6，BD⊥AC，从而可得△ABC是等边三角形，进而可求出∠ABC＝∠ACB＝60°，然后在Rt△BPE中，可得PE=12BP，从而可得MP+12PB=MP+PE，当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最小值为ME答案详解：解：过点P作PE⊥BC，垂足为E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，BD⊥AC，∵AB＝AC＝6，∴AB＝AC＝BC＝6，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBC=12∠ABC＝∵∠BEP＝90°，∴PE=12∴MP+12PB=MP∴当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最小值为ME，如图：∵AC＝6，AM＝2，∴CM＝AC﹣AM＝6﹣2＝4，在Rt△CME中，∠ACB＝60°，∴ME＝CM•sin60°＝4×32=∴MP+12PB的最小值是所以选：B．3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+12A．AB B．AE C．BD D．BE试题分析：由菱形的性质可得∠DBC=12∠ABC＝30°，可得PF=12BP，可得AP+12答案详解：解：如图，过点P作PF⊥BC于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DBC=12∠ABC＝30°，且PF⊥∴PF=12∴AP+12BP＝AP+∴当点A，点P，点F三点共线且垂直BC时，AP+PF有最小值，∴AP+12BP所以选：B．4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，BE＝2AE，D是线段BE上的一个动点，则CD+55A．25 B．45 C．55 D．10试题分析：过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，BE的长，再证明DH=55BD，从而可得CD+55BD＝答案详解：解：过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵BE＝2AE，AB＝10，∴AE2+BE2＝AB2，∴5AE2＝100，∴AE＝25或AE＝﹣25（舍去），∴BE＝2AE＝45，∴sin∠ABE=AE∵∠A＝∠A，∠AEB＝∠AMC＝90°，AB＝AC，∴△AEB≌△AMC（AAS），∴CM＝BE＝45，在Rt△BHD中，DH＝BDsin∠ABE=55∴CD+55BD＝CD+∵CD+DH≥CM，∴CD+55BD≥4∴CD+55BD的最小值是：4所以选：B．5．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（）A．23+6 B．6 C．3+3 D试题分析：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DF=12DC，2AD+DC＝2（AD+12DC）＝2（AD+DF）当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+答案详解：解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DF=12∵2AD+DC＝2（AD+12＝2（AD+DF），∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DF=12DC＝∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴2（AD+DF）＝2AF＝6，∴2AD+DC的最小值为6，所以选：B．6．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则2PC+PB的最小值为4．试题分析：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD=22PB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得答案详解：解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PD=22∴2PC+PB=2（PC+22PB）=2（当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，∴CD=22AC＝2即PC+PD的最小值为22∴2PC+PB的最小值为2×22所以答案是：4．7．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E为线段AB上一动点，连接CE，则12AE+CE的最小值为3试题分析：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ET=12AE，推出12AE+EC＝CE+ET≥CH答案详解：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB=CB∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝23，在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ET=12∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝23，∴CH＝AC•sin6°＝23×3∵12AE+EC＝CE+ET≥CH∴12AE+EC≥3∴12AE+EC的最小值为3所以答案是3．8．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为43试题分析：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．证明MH=12BM，求出答案详解：解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC=12∠ABC＝∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH=12∴AM+12BM＝AM+∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝43，∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥43，∴AM+12BM≥4∴AM+12BM的最小值为4所以答案是43．9．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=43，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是649试题分析：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED＝tan∠EBA=DHEH=43，设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AG的长，接着求出A点和B点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线答案详解：解：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA=DH设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间=5x1.25=4若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间=4m1=4∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AG的长，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO=CO∴OC＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，4）代入得3k+b=0b=4，解得k=∴直线BE的解析式为y=-43解方程组y=x2-2x-3y=-43x+4得x=3y=0或∴AG=64∴蚂蚁从A爬到G点的时间=6491即蚂蚁从A到E的最短时间为649s所以答案是64910．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC，且tan∠CBD=4（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连接PB，求35PC+PB试题分析：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），可得对称轴为直线x＝2，由锐角三角函数可求点C坐标，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直线BC解析式，设P（2，t），可得点E（5-34t，t），点F(5-②根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，过点P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，即BH是3答案详解：解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），又∵tan∠∴CD＝BD•tan∠CBD＝4，即C（2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），解得a=-∴二次函数的解析式为y=-49(x+1)(x-5)=-（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴0=5k+b，解得k=即直线BC的解析式为y=-令y＝t，得：x=5-∴点E（5-34t，把x=5-34t代入y=即F(5-∴EF=(2t-∴△BCF的面积=12×EF×BD=32（∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为32②如图，据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴sin∠过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，PG=PC⋅∴35过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，∴线段BH的长就是35∵S△ABC又∵S△ABC∴52即BH=24∴35PC+PB的最小值为11．如图，顶点为M的抛物线y＝mx2﹣2mx+n与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的正半轴交于点C，已知A（﹣2，0），∠ACO＝30°．（1）求抛物线的解析式和M的坐标；（2）若点N是抛物线的对称轴上的一个动点，且满足△CAN是直角三角形，直接写出点N的坐标；（3）已知点G是y轴上的一点，直接写出GC+2GB的最小值，以及此时点G的坐标．试题分析：（1）根据点A的坐标和直角三角形含30°角的性质可得AC的长，由勾股定理可得OC的长，确定C的坐标可得n＝23，再将点A的坐标代入抛物线的解析式可得结论；（2）解法一：设N（1，y），根据两点的距离公式可得：AC2＝22+（23）2＝16，CN2＝12+（y﹣23）2，AN2＝（1+2）2+y2＝9+y2，当△CAN是直角三角形时，分三种情况，根据勾股定理列方程可得结论；解法二：构建相似三角形，列比例式，可得结论；（3）如图2，过点B作BF⊥AC于F，交y轴于点G，则BF最短，此时CG+BG最小，计算可得CG+2BG的最小值为2BF的长，并计算OG的长，可得点G的坐标．答案详解：解：（1）把A（﹣2，0）代入抛物线y＝mx2﹣2mx+n中得：4m+4m+n＝0，∴OA＝2，Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，∴AC＝2OA＝4，OC＝23，∴C（0，23），∴n＝23，∴8m+23=0∴m=-∴抛物线的解析式为：y=-34x∵y=-34x2+32x+23∴顶点M（1，93（2）解法一：由（1）知抛物线的对称轴是：x＝1，设N（1，y），∵A（﹣2，0），C（0，23），∴AC2＝22+（23）2＝16，CN2＝12+（y﹣23）2，AN2＝（1+2）2+y2＝9+y2，当△CAN是直角三角形时，分三种情况：①当∠ACN＝90°时，AC2+CN2＝AN2，即16+1+（y﹣23）2＝9+y2，解得：y=5∴N（1，53②当∠CAN＝90°时，AC2+AN2＝CN2，即16+9+y2＝1+（y﹣23）2，解得：y=-∴N（1，-3③当∠ANC＝90°时，AN2+CN2＝AC2，即9+y2+1+（y﹣23）2＝16，解得：y1＝y2=3∴N（1，3）；综上，点N的坐标为（1，533）或（1，-3）或（1解法二：由（1）知抛物线的对称轴是：x＝1，设N（1，y），∵A（﹣2，0），C（0，23），当△CAN是直角三角形时，分三种情况：①当∠ACN＝90°时，如图1，过点C作ED∥x轴，交MN于D，过A作AE⊥ED于E，∴△ACE∽△CND，∴AECD=EC解得：y=5∴（1，53②当∠ANC＝90°时，如图2，过点C作CD⊥MN于D，同理得：△CDN∽△NPA，∴CDPN=DN解得：y1＝y2=3∴P（1，3）；③当∠CAN＝90°时，如图5，同理得：N（1，3）；综上，点N的坐标为（1，533）或（1，-3）或（1（3）如图2，过点B作BF⊥AC于F，交y轴于点G，则BF最短，此时CG+BG最小，∵∠ACO＝30°，BF⊥AC，∴FG=12∵FG+BG＝BF，∴12CG+BG＝BF即CG+2BG＝2BF，∵BF最小，∴CG+2BG的最小值为2BF的长，∵A（﹣2，0），抛物线对称轴是：x＝1，∴B（4，0），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，Rt△AFB中，∠ABF＝∠ACO＝30°，∴AF=12AB＝3，BF=3AF＝∴CG+2BG的最小值为63，Rt△BOG中，∵OB＝4，∠OBG＝30°，∴OG=4∴G（0，4312．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，-3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB+PD试题分析：（1）将A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；（2）当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，分别列出方程，求解即可；（3）连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时12PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH答案详解：解：（1）由题意a-b+c=0c=-3∴抛物线解析式为y=32x2-3∵y=32x2-32x-3=3∴顶点坐标（12，-（2）设点M的坐标为（12，y∵A（﹣1，0），B（0，-3∴AB2＝1+3＝4．①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，则（12+1）2+y2＝4，解得y＝±即此时点M的坐标为（12，72）或（12②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，则（12）2+（y+3）2＝4，解得y=-3即此时点M的坐标为（12，-3+152③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，则（12+1）2+y2＝（12）2+（y+3）2即