数学-2024届福建省宁德市高三下学期三模试题和答案

2024届福建省宁德市普通高中毕业班五月质量检测数学试题真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案1.样本数据2,2,3,3,3,4,4,5,5,6的中位数和众数分别为A.3和3B.3.5和3C.4和3D.3.5和2,3,4,53.设m,n表示两条不同的直线,C表示平面,则以下结论正确的是A.若m//C,n//C,则m//nB.若m」C,m」n,则n//CC.若m//C,m」n,则n」CD.若m」C,n一C,则m」n4.记Tn为等比数列{an}的前n项积.设命题p:T12>1:命题q:a6.a7>1,则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.2024海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华.福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此,与当地群众共同欢庆“三月三”,畅叙两岸情.在活动现场,为了解不同时段的入口游客人流量,从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量,以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据(i,yt),其中i=1,2,3,4,5,yi为第i次入口人流量数据(单位:百人),由此得到y关下午4点时入口游客的人流量为A.9.6B.11.0C.11.4D.12.06.已知圆台O1O2的上底半径为3,下底半径为6,母线长为6,则以下结论错误的是A.圆台侧面积为54πB.圆台外接球的半径为6C.圆台的体积为126πD.圆台侧面上的点到下底圆心O2的最短距离为37.已知抛物线x2=4y的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两个动点.若|AB|=(y1+y2+2),A.B.C.D.4324xlnx8.函数f(xlnx,若关于x的不等式[f(x)]2一af(x)<0(aeR)有且仅有三个整数解,则a的取值范围是「25)(25]「35)(5]「25)(25]「35)(5]全部选对的得6分,部分选对的得部分分,9.已知z1,z2是两个复数,下列结论中正确的是A.若z1=z2,则z1z2eRB.若z1+z2为实数,则z1=z2C.若z1,z2均为纯虚数,则为实数D.若为实数,则z1,z2均为纯虚数10.函数f(x)=(x一2)3cosnx.若存在aeR,使得f(x+a)为奇函数,则实数n的值可以是A.B.C.D.π42411.若定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),且值域为[一1,+m),则以下结论正确A.f(0)=一1B.f(一1)=0C.f(x)为偶函数D.f(x)的图象关于(1,0)中心对称 122是两个单位向量,若e1在e2 1213.中国古代历法是中国劳动人民智慧的结晶,《尚书·尧典》记载“期三百有六旬有六日,以闰月定四时成岁”,指出闰年有366天.元代郭守敬创造了中国古代最精密的历法——《授时历》,规定一年为365.2425天,和现行公历格里高利历是一样的,但比它早了300多年.现行公历闰年是如下确定的:①能被4整除,但不能被100整除;②能被400整除,满足以上两个条件之一的年份均为闰年,则公元1110年,距上一个闰年的年数为.14.已知曲线y=ex+a和圆x2+y2=2有2个交点,则实数a的取值范围是.15.(13分)在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a2+c2=9+2accosB,且sinB=sinAsinC.(1)若BD」AC,垂足为D,求BD的长;------16.(15分)lly=xsinC+ycosC,4在平行四边形ABCD中,经D=60。,CD=1,AC=.将‘ABC沿AC翻折到‘APC的位置,使得PD=.(1)证明;CD」平面APC;(2)在线段AD上是否存在点M,使得二面角M一PC一A的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.17.(15分)(1)求f(x)在[0,π]上的最小值;(2)判断f(x)在(|（,0内零点的个数,并说明理由.18.(17分)桌上有除颜色外其他没有任何区别的7个黑球和7个白球,现将3个黑球和4个白球装入不透明的袋中.第一次从袋中任取一个球,若取出的是黑球则放入一个白球,若取出的是白球则放入一个黑球,本次操作完成.第二次起每次取球、放球的规则和第一次相同.(1)求第2次取出黑球的概率;(2)记操作完成n次后袋中黑球的个数为变量Xn.(i)求X2的概率分布列及数学期望E(X2);(ii)求Xn的数学期望E(Xn).19.(17分)坐标平面xOy上的点P(x,y)也可表示为P(rcosθ,rsinθ),其中r=|OP|,θ为x轴非负半轴绕原点O逆时针旋转到与OP重合的旋转角.将点P绕原点O逆时针旋转C后得到点P,(x,,y,),这个过程称之为旋转变换.(1)证明旋转变换公式:〈,并利用该公式,求点P(,0)绕原点O逆时针旋转(1)证明旋转变换公式:〈,并利用该公式,求点P(,0)绕原点O逆时针旋转后的点P,的坐标;(2)旋转变换建立了平面上的每个点P到P,的对应关系.利用旋转变换,可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究.(i)求将曲线C:y= x+32x π 绕原点O顺时针旋转6后得到的曲线方程,并求该曲线的离心率;(ii)已知曲线Γ:5x2+5y2一6xy=8,点F,,直线AB交曲线Γ于A,B两点,作经AFB的外角平分线交直线AB于点M,求|FM|的最小值.2024届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查数学试题参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则.2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分.11.解法一：对于选项A,令x=y=0,得f(0)=f2(0)+f(0),所以f(0)=0或f(0)=-1.令y=0,得f(0)=f(x)f(0)+f(x)+f(0),由f(x)的值域为[-1,+伪),所以当f(0)=0时,得f(x)=0,不合题意,所以f(0)=-1.A正确.对于选项B,令x=y=1,得f(1)=f2(1)+2f(1),所以f(1)=0或f(1)=-1.令y=1,得f(x)=f(x)f(1)+f(x)+f(1),得f(1)[f(x)+1]=0，因为f(x)的值域为[-1,+伪),所以f(1)=0.令x=y=-1,得f(1)=f2(-1)+2f(-1)=0,所以f(-1)=0或f(-1)=-2.因为值域为[-1,+伪),所以f(-1)=0,C正确.对于选项C,令y=-1,得f(-x)=f(x)f(-1)+f(x)+f(-1),因为f(-1)=0,则f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,图像关于x=0对称,C正确.对于选项D,由值域[-1,+伪)和偶函数,D错误.选ABC.解法二:由f(xy)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),则f(xy)+1=f(x)f(y)+f(x)+f(y)+1,得f(xy)+1=[f(x)+1][f(y)+1],设g(x)=f(x)+1,得g(xy)=g(x)+g(y),可设g(x)=xc(c为正偶数),f(x)=xc一1,不妨设f(x)=x2一1,可判断ABC正确,D错误.选ABC.三、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分13分.+2accosB及余弦定理,得b2222accosB=9,由sinB=sinAsinC及正弦定理,因为ΔABC的面积S=b.BD=absinC-----因为SΔABC=acsin经ABC=x3x, 12 122216.本小题主要考查空间解三角形、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,空间角的计算等基础知识,考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等,考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,体现基础性与综合性.满分15分.||(λ1)|2解:(1)证明:翻折前,因为四边形AB 2 2(2)由(1)CD⊥平面APC,且CD一平面ADC,所以平面ADC」平面APC.在平行四边形ABCD中,BA」AC,即PA」AC,---------设平面MCP的法向量为m=(x,y,z), 3(3(λ1)2+λ2+3λ2因此,线段PC上存在点M,使二面角M一AB一C的余弦值为,且= 17.本小题主要考查导数及其应用、函数的零点和不等式等基础知识,考查逻辑推理能力、运算求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想,考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性与综合性.满分15分.解法一:(1)当xE[0,π]时,f,(x)<0,所以f(x)在[0,π]上单调递减,……6分(2)判断f(x)在(|（,0零点个数,等价于判断方程2cosx=ex+1根的个数,,2sinx2cosx,(π)π,2sinx2cosx,(π)π(2ππ),(2ππ)(2ππ),(2ππ)(π),(π)(π),(π)(2π)(2π)12πe π 解法二:(1)f,(x)=-asinx-ex+1,f,(0)=-e，……………….2分因此切点为(0,2-e),所以f(x)=2cosx-ex+1,f,(x)=-2sinx-ex+1,当xe[0,π]时,f,(x)<0,所以f(x)在[0,π]上单调递减,…………6分(2)由(1)得f(x)=2cosx-ex+1,f,(x)=-2sinx-ex+1,………………….8分h,1-1-0时,h,(x)>0,当xe1-1-时,h(x)>0,即f,(x)>0,此时f(x)单调递增;当xe(x1,0)时,h(x)<0,即f,(x)<0,此时f(x)单调递减..………………13分11118.本小题主要考查全概率公式、概率的分布列及期望、递推数列及等比数列等基础知识,考查数学建模能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想,考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养,体现基础性、综合性与创新性.满分17分.(1)记第i次取出的球是黑球为事件Ai,ie**,A2根据全概率公式得A.P)………………2分=会+会=+=494949………………3分………………4分所以第2次取出黑球的概率为2249.故X2的分布列为:X2135P 49314949(ii)设第n1次完成操作后袋中黑球数为k(k=0,1,2,…,7)则=P(Xn-1=k)+P(Xn-1=k)(也可以按如下方法得出递推关系:=E(Xn-1)+1.(若通过特殊性入手得出递推关系得2分)即E(Xn)=E(Xn-1)+1,由此得E(Xn)-=E(Xn-1)-,………………15分19.本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、双曲线、7.…………………+.…………………2椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性、综合性与创新性,满分17分.(1)证明：设P(x,,y,),由题意可知x,=|OP|cos(θ+a)=rcosθcosa-rsinθsina=xcosa-ysina,y,=|OP|sin(θ+a)=rsinθcosa+rcosθsina=xsina+ycosa,(x,ly=xcosa-ysina,=xsina+ycosa.6 6 (|x,(2)(i)设曲线C上的任一点P(x,y)绕原点O顺时针旋转后得到的点为P(x,,y,),可视为P(x,,y,)绕原点πO逆时针旋转后得到的点P(x,y),6|x=x|x=xcos-y66 x-y,22由点P(x,y)在曲线C:y=-x+上,所以,,(,,)-y,,整理得x,2-即曲线C绕原点O顺时针旋转后得到的曲线方程为x2-=1,(ii)由曲线Γ:5x2+5y2-6xy=8,可知当点(x,y)满足曲线方程时,点(y,x),(-y,-x)也满足该曲线方程, π 故曲线Γ关于直线y=x和y=-x对称,10分设曲线Γ上任一点P(x,y)绕原点O顺时针旋转4后得到的,