离散型随机变量的分布列与数字特征专题讲义-高三数学一轮复习

离散型随机变量的分布列与数字特征1．离散型随机变量的分布列（一）随机变量在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．（二）离散型随机变量对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．注意：（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．（三）离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．（四）离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：（1），；（2）．注意：①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．（五）两点分布若随机变量服从两点分布，即其分布列为01其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．注意：1.两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；2.两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．2．离散型随机变量的均值与方差（一）均值若离散型随机变量的分布列为称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．说明：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．（二）均值的性质（1）(为常数).（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且.（3）.（4）如果相互独立，则.（三）常用分布的均值（1）两点分布：若随机变量服从参数为的两点分布，则．（2）二项分布：若离散型随机变量，则．说明：二项分布均值公式的直观解释：在一次试验中，试验成功的概率是，则在次独立重复试验中，试验成功的平均次数为．（3）超几何分布：若服从参数，，的超几何分布，则.（四）方差若离散型随机变量的分布列为则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．说明：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．（五）方差的性质（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．（2）方差公式的变形：．（六）常用分布的方差（1）两点分布：若随机变量服从参数为的两点分布，则．（2）二项分布：若离散型随机变量，则．考点一离散型随机变量的分布列1、设随机变量的概率分布列为则（）A． B． C． D．2、离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（）A． B． C．或 D．以上都不对3、随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，则（）A． B． C． D．4、已知是离散型随机变量，其分布列如下，求的值及．考点二离散型随机变量分布列的求法1、设离散型随机变量的分布列为求：（1）的分布列；（2）求的值.2、改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式大于仅使用人人人仅使用人人人（1）从全校学生中随机抽取人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取人，以表示这人中上个月支付金额大于元的人数，求的分布列；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中，随机抽查人，发现他们本月的支付金额都大于元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化？说明理由．3、某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别参加、两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在、两店订单“秒杀”成功的概率分别为、，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为．（1）求的分布列及；（2）已知每个订单由件商品构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品总数量为，假设，求取最大值时正整数的值．考点三离散型随机变量的均值与方差1、盒子里有个球，其中个红球，个绿球，个黄球，从盒中随机取球，每次取个，不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．2、设，则随机变量的分布列是：则当在内增大时（）A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大3、设，随机变量的分布列是则当在内增大时（）A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小4、已知随机变量的分布列如下表，且，则=_______，________．/5、已知随机变量的分布列如表所示：若，则（）A． B． C． D．考点四实际问题中的科学决策1、某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买台机器的同时购买的易损零件数．（1）求的分布列；（2）若要求，确定的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？2、某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进朵玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量频数以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进枝或枝玫瑰花，你认为应购进枝还是枝？请说明理由．3、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得分；如果只有一个人猜对，则“星队”得分；如果两人都没猜对，则“星队”得分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（1）“星队”至少猜对个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为的分布列和数学期望．4、某烘焙店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为元，售价为元.如果卖不完，则剩余的蛋糕在当日晚间集中销毁，现收集并整理了该店天生