高考数学与核心素养

关于高考数学与核心素养1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查；2．重视数学基本能力和综合能力的考查；3．注重数学的应用意识和创新意识的考查．

这是我们必须坚持遵循的复习指南．

1中“支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例”，和“不刻意追求知识的覆盖面”．

既有明确要求、又没有具体“范围”．

第2页,共64页，星期六，2024年，5月3中将“构造数学模型”变为“构造适合的数学模型”．这里的理解应该是针对应用题的考查，要贴近、适合学生的实际．2中的5个数学基本能力和3中的数学建模就是2017年版高中数学课程标准中的数学学科核心素养的6个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析．第3页,共64页，星期六，2024年，5月对“掌握”的表述由原来的“要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题”改为“要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题”，删去了“或较为困难的”．有重复表述也有要控制难题的要求．

必修内容的容易题、中等难度题和难题所占分值的比例约为4∶4∶2；附加题内容则约为5∶4∶1．这是我们平时命题、出练习卷等应参考的依据，而实际的情况是平时的练习题、考试题偏难！

第4页,共64页，星期六，2024年，5月典型题示例选用了5道2017年江苏卷试题，其中填空题、解答题各替换2题，附加题部分替换1题．充分保持了连续性、稳定性．

在新旧高考过渡期一定会保持稳定性、连续性，继承和适度的创新。试卷、试题的“八股”形式基本上是不会变的，顶多解答题三个不同层次的内部排序有些小微调．第5页,共64页，星期六，2024年，5月新高考对于数学而言也不会有什么特别大的变化，因为新课标主要变化为新增了（凝练了）数学学科核心素养（其实是换一种说法而已，不是创新．原来就有，刚才说了考试说明中也有）、优化了课程结构（其实是主要内容重组了一下而已，模块说成了主题等）、研制了学业质量标准三个重要部分（这是个新的，但很难把握和操作）．

第6页,共64页，星期六，2024年，5月主要是应用题变化可能性较大，不再受目前的框框约束，与全国卷考概率统计、数据统计相关性、2×2列联表等接轨，其它的估计连题型都不会有多大改变（容易题、中等难度题和难题的解答题的布局有可能进行调整）．受制度、政策的影响，试卷、试题也会很快进入新的“八股”模式．第7页,共64页，星期六，2024年，5月学业质量（《普通高中数学课程标准（2017年版）》，原课标没有）学业质量是学生在完成数学课程学习后的学业成就表现。学业质量标准是以数学学科核心素养及其表现水平为主要维度（每一个数学学科核心素养划分为三个水平），结合课程内容，对学生学业成就表现的总体刻画．第8页,共64页，星期六，2024年，5月数学学业质量水平是6个数学学科核心素养水平的综合表现．每一个数学学科核心素养划分为三个水平．每一个水平是通过数学学科核心素养的具体表现和体现数学学科核心素养的四个方面（情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思）进行表述的，非常详细，且有相应的案例．第9页,共64页，星期六，2024年，5月数学学业质量水平一是高中毕业应当达到的要求，也是高中毕业的数学学业水平考试的命题依据；数学学业质量水平二是高考的要求，也是数学高考的命题依据；数学学业质量水平三是基于必修、选择性必修和选修课程的某些内容对数学学科核心素养的达成提出的要求，可以作为大学自主招生的参考．第10页,共64页，星期六，2024年，5月实事求是的说，虽然有案例但还是比较难把握，且不少案例在教学中用不到或很少能用到，与高中数学教学似乎有点“脱节”．不过有一点可以肯定的是，能指导我们不要搞偏、难、怪题．如案例36：函数单调性主题教学设计（如何进行跨章节的主题教学设计），就有点泛泛而谈，我们不需要空洞的说教，需要具体的设计内容。我们更关心、关注的是教学中常规的问题水平的划分．

第11页,共64页，星期六，2024年，5月设函数是偶函数，当时，，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是

．这个问题的水平怎么划分？大家的观点、标准能一致吗？第12页,共64页，星期六，2024年，5月将一个问题的解决过程划分三个层次难度不大，难以把握的不是每一个层次对应着水平一、二、三．有的问题可能就没有水平一等等．2014年解几大题：F1F2OxyBCA(第17题)（1）若点C的坐标为，且,求椭圆的方程；第13页,共64页，星期六，2024年，5月因为．得椭圆的方程为，，，，，，，，，．第14页,共64页，星期六，2024年，5月如果一个问题的水平划分都不是很清楚，或者比较难以区分层次，也就是说不易评判、评价，那么课程标准实际上是在指导我们（变相的告知）象这样的问题就没有必要给所有学生练习了，少数可以给数学基础好的学生训练，或在命制试题时作为压轴题（把关题）．这应该不是命题者们的“大意疏忽”，用现在的学业质量来描述是设定了一个水平一．否则，如果不给出，那么该题就没有水平一了．是不符合命题规范要求的．

第15页,共64页，星期六，2024年，5月命题建议（原课标没有，虽然还没有实施，但是个方向，在过渡期应该有所体现

）考查内容围绕教学内容主线（函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动），聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧；融入数学文化．命题时，应有一定数量的应用题，还应包括开放性问题和探索性问题，要注意公平性和阅卷的可操作性．第16页,共64页，星期六，2024年，5月说明：在命题中，选择合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体．情境包括现实情境、数学情境、科学情境，每种情境可以分为熟悉的、关联的、综合的；数学问题是指在情境中提出的问题，从学生认识的角度分为：简单问题、较简单问题、复杂问题．对于知识与技能，要关注能够承载相应数学学科核心素养的知识、技能，层次可以分为了解、理解、掌握、运用以及经历、体验、探索．在命题中，需要突出内容主线和反映数学本质的核心概念、主要结论、通性通法、数学应用和实际应用．第17页,共64页，星期六，2024年，5月2018年3月3日，教育部考试中心主任姜钢、党委书记刘桔，在《中国教育报》发表署名文章《牢记立德树人使命写好教育考试奋进之笔》，就教育考试工作发表了重要意见．此文可以说是对高考命题的“最新定调”，对于2018年高考命题具有非常明确和重要的指导意义！对于考生复习和老师指导也有重要的方向性指引作用．那么，2018年乃至今后一段时间，高考命题工作如何体现高考的核心功能、高考的主要任务和高考的命题要求呢？第18页,共64页，星期六，2024年，5月高考作为选拔性考试，不仅要确保机会均等，更要保证选拔公平．而机会均等与选拔公平并不矛盾，因为，不同水平的学生适合不同层次的学校，每一个学生在适合自己层次的学校继续深造才是更广义的公平，才能顺应人才培养的潜在规律．不同学校、不同班级应有不同的教学定位．像高考这种重要的选拔性考试，高考试题必须保持一定的难度！如果降低试题难度，大部分学生都能通过拼命刷题取得较高的分数，不仅不利于选拔人才，学生的应试压力还会越大！第19页,共64页，星期六，2024年，5月第一，高考命题要增强基础性，考查学生必备知识和关键能力．增强基础性不是要考教材原题（话），而是考查学生必备知识和关键能力．

第二，高考命题要增强综合性，体现学生综合素质和学科素养．不是考“大杂烩”，而是考查学生的知识体系和对知识间联系的把握．

第20页,共64页，星期六，2024年，5月第三，高考命题要加强应用性，注重理论密切联系实际．高考命题不能理论“空对空”，而要考查解决现实问题．

第四，高考命题要增强探究性和开放性，考查学生的创新意识和创新能力．各科的压轴题着重考查学生的创新意识，北大清华学生就从这些题中选拔！

第21页,共64页，星期六，2024年，5月2018高考数学将把考查逻辑推理能力作为重要任务（逻辑推理能力要比刷更多题重要），

以数学知识为载体，考查学生缜密思维、严格推理的能力．同时，通过多种渠道渗透数学文化，如有的试题将通过数学史展示数学文化的民族性与世界性；有的将通过揭示知识的产生背景和形成过程，体现数学的创造、发现和发展特点；有的将通过对数学思维方法的总结、提炼，呈现数学的思想性．第22页,共64页，星期六，2024年，5月江苏2017年高考立体几何大题，就是由《九章算术》中“鳖臑”侧放，改编而成的．ABCDEFCBAD2017（15）如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC.（2）AD⊥AC.阳马

鳖臑

第23页,共64页，星期六，2024年，5月2015年湖北文理高考立几解答题：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.第24页,共64页，星期六，2024年，5月2016年四川、新课标Ⅱ卷，秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．利用程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为．第25页,共64页，星期六，2024年，5月复习教学“转型”思考（“新深度”思考）

要注意“转型”深度研究题目，多思考和研究：为什么要选择练习和讲解这道题？这道题考查了哪些知识点（基础知识）？哪些基本思想方法？哪些基本技能？假如让我根据这一个或几个知识点来命制试题，那我会怎么设计（原创）？或在其原有的基础上进行怎样的变化（变式）？提出什么新的意见和建议．第26页,共64页，星期六，2024年，5月最好能尝试让学生也参与讨论与研究，因为有这个时间、有这个可能、更有这个必要．我认为这是目前教学现状下提高复习效率的一种“转型”有效的方法．要知道提出、思考、研究问题比解决问题重要得多！要研究教材、学生、考纲、说明，也需要研究微专题教学等，但击中要害的还是研究题目！当然不是所有的题目都有这种可开发的资源，有的习题、问题很单一或比较简单，就不讨论．第27页,共64页，星期六，2024年，5月对于一位老师来说，假如现在有8份试卷、练习供使用，要研究怎么样只需要做4份、3份，效果还不差（同别的班做8份后考试检测的分数差不多），这就是教科研。如果光想着你做8份，那我准备做10份、12份，那就害了学生，苦了自己。学生没有时间消化，老师没有时间思考。学生“吃”不下浪费，老师还在不停的“上菜”、甚至“喂”，长期以往基本上没有什么出路和好的结果．只有注重教学研究才能改变“不断重复昨天的故事”、“拿来主义”，或者切实正名一下教学应该是技术活而不是苦力活．第28页,共64页，星期六，2024年，5月让学生训练一些适合他们的习题，少练或不做“难题、偏题和怪题”，更不要猜题押题．比如理科附加题（22），从2010年起空间立体几何与随机变量概率分布、数学期望轮换着考查，按此规律2016年“应该”考查概率分布及问题，却“意外”的考查了“直线与抛物线”，打破了押题的猜想．那么2017年是否还原为考查概率分布及期望？或者考查空间立体几何中角的问题？结果同样让我们“意外”，都考了：（22）题考的空间向量、（23）题考的是概率分布及数学期望．2018年呢？很显然一切皆有可能，不要猜押题，要实实在在的都去复习准备．第29页,共64页，星期六，2024年，5月要知道我们讲的、学生做的题目在高考中不可能考到（除了容易题外，也不可能完全一致，起码数据、结果等不全同。至多似曾相识，多数为似是而非），既然这样，我们何必还那么赶进度赶数量？何必那么面面俱到、计划安排的满满的？何必那么这条题目好要讲、那份试卷好要练，而舍不得放弃？我们何不通过多研究题目（考题），把重点考查的数学思想方法（这是抓手、根本、核心素养）梳理、提炼，通过定量的几道（而非海量的）题目讲透彻一点，练到位一些，真正做到复习教学高效！第30页,共64页，星期六，2024年，5月2016年的高考应用题是设计一个仓库——上面四棱锥下面四棱柱．（1）求一个多面体的体积，严格意义上属立体几何问题．（2）数学建模（自变量都规定好了），求一个三次函数取得最小值时自变量的值，不用求导方法，平方后或根号里利用三次均值不等式也可以求得最大值．其实是考过的立体几何体积问题．2006年请你设计一个帐篷．2011年的高考应用题请你设计一个包装盒．

第31页,共64页，星期六，2024年，5月相隔5年和6年．第一次模考我们扬州卷应用题建立关于的分式函数模型，用基本不等式解决．第一次模考南京卷和第二次模考扬州、南通、泰州卷就有点跟风（2017），都是以立体几何为载体进行命题．不过这一次应用题以不等式为模型，学生不习惯从而感到困难不会，因为平时习惯了建立等式的函数模型及其解题思路．因为查重发现有类似的，但已来不及在短时间内编制更好的应用题，说明高考命题的艰难和不容易．第32页,共64页，星期六，2024年，5月解析几何解答题，2014、2017等解几大题，有没有看出来有些“虎头蛇尾”的痕迹？估计是拿掉了第3小问．这些都是因为查重、特别是考虑到难度、编排等，都是因为而匆匆编制而成，是因为忍痛割爱的结果．第33页,共64页，星期六，2024年，5月要合理安排复习进程和资料的使用．数学复习的总时间太长（理科一年、文科一年半），且受到各个方面的“特别重视、照顾”，在各个时段均给予了比较充裕的时间．学生疲于奔命，老师忙于应付，需要思考转型：让学生吃的饱，吃的了（不谈吃的是否有滋有味）．不要或不能总是把教变成“煎炒烹炸”，现如今我们的大多数学生正处于被煎炒烹炸之中．第34页,共64页，星期六，2024年，5月一般情况下二轮复习资料用不了，那是编写资料的人编写的，供你参考选用的．我们备课有的时候到反而需要备哪些题目不讲！重视一轮的复习，不要急，有时分不清是一轮还是二轮，所谓的三轮中的对题训练等属于二轮，回归课本则属于一轮．第35页,共64页，星期六，2024年，5月要注意高一、高二教学中存在的问题（通常是急切迅速地把有关数学概念、定义、规定、定理、公式、法则等讲完，然后就一条接着一条的讲题目，不断重复、“回锅翻炒”，乐此不疲，反正有的是课有的是时间（午间练等））对高三教学的影响．第36页,共64页，星期六，2024年，5月一轮复习，重点夯实基础（即基础知识的掌握，基本思想方法的落实，基本技能的提高），说的轻松，做起来不容易，讲讲就滑出了轨道（从听课等中发现）；二轮复习，重点训练能力（数学基本能力如运算能力，综合能力及创新意识等）．定位是有效、高效复习的主要方面．

第37页,共64页，星期六，2024年，5月不能仅通过几道简单小题的一带而过代替夯实基础的复习；通过大量题目的练习代替选题（更谈不上精选）；通过不停的讲解、或说个思路代替方法的提炼；通过花很多的时间处理难题代替能力的训练；通过学生的错误、不会，用批评、抱怨甚至谩骂代替教与学的反思．

第38页,共64页，星期六，2024年，5月也许有老师说，我们学校、我教的班级就是这样大容量、快节奏，我们考的不是蛮好的吗？是的，我不否论你们取得的成绩，那是一时的、碰运气的，到最后高考你可能还是比较好，但好的会很有限，不可能像平时那样好的多．要知道这是你和你的学生用心血、用了比别人多得多的汗水换来的，是用大量的时间反复、重复得到的对数学知识、方法、能力等机械的被印象深刻（被记忆），和通过一而再再而三的错误（在同一个地方多次跌跤）才得到的教训等来代替教学研究（夯实基础、提炼方法、训练能力）换来的．有时还有可能还会影响整体（学校或某个班级）的达标情况．第39页,共64页，星期六，2024年，5月不要忽视作业、练习的设计．备课更要备作业．现状是很随意，因为手头上的资料多的是．选好题目是功德无量的事，许多时候老师们吃的苦也是自己造成的．要根据教学内容及课堂教学的实际，灵活多样的布置作业．如：（1）去掉本节课学案后面作业（或配套资料××页练习）中的××条、××条（以减轻学生的课业负担）；（2）将某一题的某个条件或某一题的某一小问改为……、或将课上讲的某一问题再增加一小问……．等第40页,共64页，星期六，2024年，5月OACByx如,单位向量的夹角为点C在以O为圆心的圆弧上变动.若

其中则，，，的最大值是_____.（安徽高考题）尝试让学生提出问题：

（1）___.（2）的最小值是_____.第41页,共64页，星期六，2024年，5月（4）（5）（6）（3）的最小值是_____.第42页,共64页，星期六，2024年，5月聚焦课堂，适时渗透新课标中数学学科核心素养的培养与训练

教学设计要以问题为中心（对备课的要求较高），突出定位与路径（问题驱动，问题与问题串），深入浅出．尽量不要一条接着一条流水的讲解．每课思考（三问）：（1）我帮助学生夯实了哪些基础？（2）我帮助学生提炼了哪些方法？（3）我帮助学生训练了哪些能力？第43页,共64页，星期六，2024年，5月课堂教学的形式不应该成为流水式、完成式、老师一个人的表演形式（是因为时间紧、任务多，所以就以讲解为主，特别是没有人听课的时候），而应该成为讨论式、研究式（教会学生学会思考）、师生共同参与形式的课堂（而不是有人听课了才搞一点互动，有的时候的板演变成了学生将做好的上黑板再抄写一遍，用投影不是更好？让学生上讲台说，这很好，但往往也是学生照着自己写的读一遍）．这需要老师预先有问题（问题串）的设计．第44页,共64页，星期六，2024年，5月不过也有这样的情况：某老师上课不怎么讲，讲的很少，许多题目报报答案，但最后高考考的比平时好，甚至超过平时一直比他考的好的班级．我以为，这不完全是老师的功劳（且不说这当中老师有“懒”成分或备课没有备好的情形在里面），有可能是学生对你没有什么指望了，自己主动钻研，说明学生自己学进去了、自己研究弄通弄会了，取得了效果（这说明学生参与学习的重要性）．第45页,共64页，星期六，2024年，5月有时可以把我们老师在集体备课时讨论的内容（选题用意、思路方法、来源变式等）拿到课堂上让学生也参与讨论与研究，会收到很好的效果．（尤其是对基础好的学生、班级）目前需要关注的两个突出问题（1）要重视学生数学语言的表达．建议将“数学表达”能够放在考试说明中，这也是数学学科素养的要求．而从数学应试的角度看主要是重视学生数学语言的书面表达．

第46页,共64页，星期六，2024年，5月“学重要的在于说”．课堂教学改革发展的潮流是“以学生的学习为中心来组织教学”，这就需要让学生“说”（说学），说出思考，不要或不仅仅是把学习当成听、记、算、背．因为要衡量学生的学习效果，除了考试，要让学生能够在课堂中间说说，如果学生能用自己的话说出自己对于所学内容的理解，自己对哪些内容还没有学懂，说明他是真的学习了．这当中包括重视学生的数学阅读（审题），有些问题，把题目读清楚了，解决问题的思路、方法也就有了．

第47页,共64页，星期六，2024年，5月常常有学生拿着答卷，询问老师：我的答案是对的，为什么还被扣分？或高考数学成绩出来后对自己的得分比预估的少得多而表示疑惑，有时我们只能告知：莫怪评卷扣分严，只因表达不到位（不规范）．这些值得我们在复习教学中思考．注：不要受到参加过高考阅卷回来老师们说，填空题不化简不扣分，改卷有时候比较松等．这些不能跟学生讲，教师心中有数就行了，平时还是要求高一点好．第48页,共64页，星期六，2024年，5月（2）要重视培养学生的运算能力．这是一个数学学科核心素养．成也运算，败也运算．常听到学生说，我会做，就是算错了；或者式子列出来了，就是化简化不下去、化不到底．这就需要我们加强学生在这方面的训练，达到运算速度快、正确率高．

如，处理解几问题要有繁琐、复杂运算（含字母推演）的心理准备，压力承受．通常涉及是“设点的坐标”，还是“设直线的方程”．注意设而不求的思想、整体思维等优化解题策略．第49页,共64页，星期六，2024年，5月yxOPQMF2（运算的选择与训练）

第50页,共64页，星期六，2024年，5月第51页,共64页，星期六，2024年，5月第52页,共64页，星期六，2024年，5月学生害怕！知道思路，就是没有勇气或者底气（基本功）做下去．所以成功（“超水平发挥”）在这里，失败（“毁灭”）也在这里．有时可以花两节课就做解析几何中的解方程（组），如将

代入

，怎么化简？（微小细节）虽然看起来“枯燥无味”，其实效果比赶做几条新题目有用．

第53页,共64页，星期六，2024年，5月解析几何解答题免不了要解方程（组），就必须抓住这个进行训练，命题组给出的解答都是解出方程（组），即点的坐标，为避嫌或引起不必要的讨论（麻烦），在给出的参考答案不利用根与系数的关系（韦达定理），如果平时练习时某道习题运用了韦达定理简化了运算，使得主要（主打）的过程变得具有技巧性等，这肯定不会考，要少练．第54页,共64页，星期六，2024年，5月要允许学生不会、出错要转型思考，允许学生出错、不会，不要指望一下子能堵死（做不到），批评（“说了多少次还是错、还是不会”）、甚至谩骂（怎么这样“弱智”），与其抱怨和责备都解决不了问题，倒不如心平气和的帮助学生找出错处、分析错因，如何纠正错误、怎样防止再犯；或者分析哪里不懂，不妨从条件或结论出发动手试试看等．第55页,共64页，星期六，2024年，5月“纠错教学”是一个有益的尝试，是复习教学中的一种有效策略．通过以前学生学习某个知识点或章节时经常出现的问题，以纠错（或辨是非或探究）的方式设计问题、建构教学、让学生活动（引导吸引他们参与课堂教学）并进行数学运用来复习．第56页,共64页，星期六，2024年，5月要允许学生出错，让他们在出错、查错、纠错中得到正确的掌握和巩固．学生不大可能会犯的错，不要把它拿出来“示众”