北京市大兴区2024届高三年级上册期末数学试题（含答案解析）

北京市大兴区2024届高三上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。=何》>1},集合/={x|xN2},则为/=（）

A.{x|1<x<2}B.{x|x<2}

C.{x|1<x<2}D.{x|x<l|

2.若复数Z满足i-（2+i）=l,则复数Z的虚部是（）

A.-2B.2C.-1D.0

3.二项式的展开式中的常数项是（）

A.-15B.15C.20D.-20

4.设向量£,不，若忖=1万=（-3,4）,坂=2。（；1>0）,贝！]£=（）

5.已知函数/3=2-1,则不等式/'⑺4x的解集为（）

A.（-℃,2]B.[0,1]C.[1,+℃）D.[U]

TT

6.在“8C中，笺=彳”是二出2/+5出"=1''的（）

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知定点M（L3）和抛物线C：/=8%/是抛物线。的焦点，N是抛物线C上的点,

则|2VF|+pW|的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

8.已知a>b>0且必=10,则下列结论中不正确的是（）

A.Iga+lg&>0B.lg«-lg&>0

C.Iga-1g/?<YD.曾>1

4Igb

9.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形N8CD是

边长为2的正方形，且A/DEQBCF均为等边三角形，EFHCD,£尸=4,则该木楔的

体积为（）

试卷第1页，共4页

''.D

2V2

A.41B.2V2

10.设无穷等差数列｛%｝的公差为d,集合r=｛d/=sitt7",〃eN*｝wj()

A.7不可能有无数个元素

B.当且仅当d=0时，7只有1个元素

C.当7只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为g

2兀

D.当〃=丁，左221eN*时，T最多有上个元素，且这上个元素的和为0

二、填空题

11.设｛。“｝是等比数列，％=1,%，。4=16,则。5=.

2

12.若双曲线Y一方=电>0)的一条浙近线方程为2x-y=0,贝!]6=.

13.能够说明“设。也c是任意实数.若a>6>c,则—>/”是假命题的一组整数。也c的

值依次为.

14.如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆O,外框是以为O中心，边长为

2的正六边形/8CDEF,则O到线段/C的距离为；若尸是圆。上的动点，

则就•后的取值范围是.

15.设函数/(x)的定义域为R,且/(x)满足如下性质：(i)若将/(x)的图象向左平移

2个单位，则所得的图象关于y轴对称，(五)若将/(x)图象上的所有点的纵坐标不变,

横坐标缩短为原来的十,再向左平移g个单位，则所得的图象关于原点对称.给出下列

四个结论：

①/⑴=〃3)；

试卷第2页，共4页

②〃0)=0;

③〃2)+/(4)=0；

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

16.如图.在三棱柱/3C-44G中，Bq_L平面NBC,CA=CB=M,AA{=AB=2,

D、E分别为48、的中点.

(1)求证：平面CDE_L平面ABB4；

(2)求直线CE与平面8CG4,所成角的正弦值.

17.在AABC中a=1,b=2.

(1)若°=2也，求”8C的面积：

⑵在下列三个条件中选择一个作为已知，使“3C存在，求NZ.

TT

条件①：NB=2N4；条件②：ZB=-+ZA；条件③：Z.C=2AA.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

18.为了解客户对A,B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某

地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A,B两家公司的调查问卷分别有120

份和80份，全部数据统计如下：

快递公司/快递公司2快递公司

项目

份数配送时效服务满意度配送时效服务满意度

评价分数

试卷第3页，共4页

85<x<9529241612

75<x<8547564048

65<x<7544402420

假设客户对A,B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率.

(1)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时

效的评价不低于75分的概率：

(2)分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份

问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望：

(3)记评价分数x285为“优秀”等级，75Wx<85为“良好”等级，654x<75为“一般”等级

、已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A,B两家快递公司配送时效的样本

评价分数的等级情况，你认为小王选择A,B哪家快递公司合适？说明理由，

19.已知椭圆。的两个顶点分别为/(-2,0),8(2,0),焦点在x轴上，离心率为弓.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设。为原点，过点7(4,0)的直线/交椭圆C于点M,N,直线如与直线x=l相交于

点?，直线/N与V轴相交于点。.求证：A。/。与AOb的面积之比为定值.

1—y

20.已知函数f(x)=ax+ln^—.

⑴若曲线v=/(x)在点(0J(0))处的切线斜率为0,求a的值;

(2)当。=4时，求/(X)的零点个数；

(3)证明：04a42是/(x)为单调函数的充分而不必要条件.

21.若各项为正的无穷数列｛4｝满足：对于V〃eN*,a-a：=d,其中d为非零常数,

则称数列｛%｝为。数列.记b“=a„+l-a„.

⑴判断无穷数列。,=6和q,=2”是否是。数列，并说明理由；

(2)若｛%｝是。数列，证明：数列｛〃｝中存在小于1的项；

⑶若｛%｝是。数列，证明：存在正整数"，使得f>2024.

z=i

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.c

【分析】由补集的定义运算即可得.

【详解】由。="门>1},A={x\x>2},贝I］务N={x［l<x<2}.

故选：C.

2.A

【分析】根据复数的除法运算及减法运算得z=-2i,再根据复数的概念即可得到答案.

【详解】由i-(z+i)=l,贝IJz=：-i=-i-i=-2i,

所以复数z的虚部是-2.

故选：A.

3.B

【分析】根据二项展开通项公式求解.

26-12

【详解】展开式通项为：7；+1=C：(x)^-1^=(-iyC*x^,

令12-3后=0n无=4,常数项为(-1>C：=15.

故选：B

4.D

【分析】根据向量的数乘公式和模的公式代入即可求解.

【详解】因为3=然=(-3,4)(/>0),所以a=(丁,：］,

—34

1(^>0),所以2=5,所以@=

因为同=TT95

故选：D

5.B

【分析】将不等式/(尤)Vx转化为两个函数必，%,在同一坐标系下作出两个函数的图象,

由图像可得结果.

【详解】因为/卜)=2:1,所以即2&+1,

令必=2，,%=尤+1,且均为增函数，则不等式为％4外,

在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，

答案第1页，共15页

又当x=0时必=2°=1,%=0+1=1,

1

当x=1时，=2=2,_y2=1+1=2,

所以由图像可知：必〈%的解集为：［0』,

故选：B.

6.A

【分析】根据充分条件与必要条件的定义，根据三角形内角的性质以及三角函数的诱导公式,

可得答案.

【详解】在“中，A+B+C=it,贝！）8=兀一C-/,

充分性：当C=］时，B=^-A,sinS=sincos/,

■JT

sin?/+sin25=sin?4+cos2A=1,所以“。=5"是"sin?/+sin25=1”的充分条件；

必要性：当sin2/+sin23=l时，取/=占，8=占+£=/+1,

121222

此时满足sidZ+sidB=sin2M+cos2乌=1,但C=

121232

IT

所以“C=7»是“sil?/+sin25=1"的不必要条件.

2

rr

综上所述，66C=-"是“sin2/+sin25=1”的充分不必要条件.

2

故选：A.

7.C

【分析】根据抛物线定义，数形结合即可求出|N刊+|M图的最小值.

答案第2页，共15页

由题抛物线C：X?=8%尸是抛物线C的焦点，

则尸（0,2）,准线方程为y=-2,

N是抛物线C上的点，过N作垂直准线于“，

过W作叫垂直准线于乜交抛物线于M,

则由抛物线定义知|N川=|八不|,

由图像可知|而|+=|加|+|7W以孙|+国司=,

即|?VF|+pW|的最小值的最小值为|阿|,

由M（l,3）,准线方程为尸-2,

所以|7VHj=5.

故选：C

8.D

【分析】对A：由对数性质运算即可得；对B：由对数性质运算即可得；对C：借助基本不

等式运算即可得；对D：找出反例即可得.

【详解】对A：lg“+lg6=lgab=l>0,故A正确；

对B：由a>6>0,贝!!lga>lg6,故lga-lgb>0,故B正确；

对C：由lg°+lgb=lga6=l,故IgaJgb=；,

当且仅当a==时等号成立，由a>6>0,故等号不成立，

即lga-lgb<!，故C正确；

对D：当。=100、6=0.1时，符合题意，

答案第3页，共15页

但此时粤=三=-2<1,故D错误.

1g6-1

故选：D.

9.D

【分析】如图，分别过点43作E尸的垂线，垂足分别为G,H,连接DG,CH,取/。的

中点。，连接G。，求出结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.

【详解】如图，分别过点/,3作E了的垂线，垂足分别为G,H,连接。G,C〃，

则由题意等腰梯形43EF全等于等腰梯形CDE尸,

则EG=HF=士2=1,4G=GD=BH=HCS.

2

取4。的中点。，连接G。，因为4G=GQ,所以GOL4),

则GO=J(百『一］2=0，

•,S2DG=SABCH=］又6X2=41.

因为4B//EF,AGLEF,所以48_L/G,因为四边形/BCD为正方形，

所以AB_LAD,又因为4C>n/G=/,4D,/Gu平面4DG,所以481平面4DG,

所以EF工平面/GD,同理可证斯人平面BS,

...多面体的体积%=嚏棱锥E-4DG+嚏棱锥尸—BCK+嚏棱柱/GD—BHC=2嚏棱锥与一/。6+嚏棱柱BHC

=-x5/2xlx2+>/2x2=§也,

33

故选：D.

10.D

【分析】对于A,B选项，可取特殊数列验证即可；对于C可假设成立，结合图象推出与

已知矛盾；对于D,结合正弦函数的周期，即可判断.

【详解】选项A,取%=〃，则1=1,由ysin%,因为｛4｝是无穷等差数列，正弦函数是

周期为2兀的函数，所以：=sin%在每个周期上的值不相同，故A错误；

答案第4页，共15页

选项B,取%=必，即4=兀，则，=sina,=sin"7i=0,只有一个元素，故B错误;

选项C,假设T只有2个元素4,%,这2个元素的乘积为如图可知当f等于4或芍时,

显然｛%｝不是等差数列，与已知矛盾，故C错误；

选项D,当"二丁时，

tx=sin41,

.（271

/2=sin4+彳

t3=sin[q+2x2兀）

L,

“二sina+（k-,

xyK_

tM=sin[ax+k-=sinflj,L,所以T最多有左个元素，

又因为正弦函数的周期为2兀，数列｛。,｝的公差为"=%,

所以为.化±2,左eN*）把周期2兀平均分成左份，所以左个元素的和为0,故D正确.

故选:D.

【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方

法判断.

11.16

【分析】结合等比数列通项公式计算即可得.

【详解】设。“,则a2a4=/=16,故。5=%/=16.

故答案为：16.

12.2

【分析】根据双曲线渐近线方程即可求解.

2

【详解】双曲线一一方=1初＞0）的渐近线方程为户土笈，所以6=2

答案第5页，共15页

故答案为：2

13.2,-1,-2(答案不唯一)

【分析】利用列举法，写出满足题意的结果即可.

【详解】当a=2,6=-l,c=-2时，满足a>6>c,但是=-2,c?=4,ab<c2.

故答案为：2,-1,-2(答案不唯一)

【分析】根据正六边形的性质即可求解空1,利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求

解.

【详解】取/C中点为

由于正六边形4BCD斯的边长为2,所以乙4OC=120°,CM=OC=2,

因此O到线段/C的距离为=

建立如图所示的直角坐标系，则/(-2,0),C(l,-6),P(cosasin8)8eR,

就=(3,-9,万=(cos6+2,sin8),

就/=3cos6»+6-Gsin6»=2石+6,

由于6£R,cosW，

71

^AC-AP=2y[3cos0八+—+66-2/3,6+2/3],

I6

15.①③④

【分析】利用函数的对称性、奇偶性与周期性即可判断各结论是否正确.

【详解】由⑴可得/(x+2)=/(r+2),即有/(x)关于x=2对称;

答案第6页，共15页

由(ii)可得/卜卜+^=-f21丫+口，即/'(2x+l)=-一2x+l),

用楙代替x,有/(x+l)=-/(-x+l),即/(无)关于(1,0)对称；

由/(X)关于*=2对称，故/■⑴=/(3),即①正确；

由x=2关于(1,0)对称的直线为x=0,

故/'(x)关于x=0对称，则/10)不一定等于0,故②不正确；

对/(x+2)=/(-x+2),令x=2,则有〃4)=/(0),

对/(x+l)f(-X+1),令x=l,则有〃2)=-/(0),

故/⑵+/(4)=/(0)-/(0)=0,故③正确;

对/(尤+2)=/(-x+2),即有/(x)=/(-x+4),

对/(x+l)=-〃r+1),即有/(x)=-/(-x+2),

即/(x)=/(-x+4)=-/(-x+2),即/(x+4)=-/(x+2),

则/(x+2)=-/(x),即有〃x+4)=/(x),

故/(x)周期为4,贝

对/(X+1)=-〃T+1),令》=-|，则"一］=一/1(■)，

i——12

即'(―-0,故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点睛：本题的关键是由题意去得到函数的对称性，并根据对称性去推导函数的

奇偶性与周期性，遇到此类问题一般采用赋值法对等式左右进行变形，从而得到函数的其它

性质.

16.(1)证明见解析

,八2同

~二—

【分析】(1)由题意先由线面垂直的性质得到线线垂直，再借助线线垂直得到线面垂直，即

答案第7页，共15页

可得到面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.

【详解】（1）；Bq_1_平面48C,CDu平面48C,，84_LCD,

又,：CA=CB,且。为中点，CDLAB,

又；BB1、平面48814，且BBq4B=B,

\CD"平面ABB{AX,又-.-CDu平面CDE,

平面CDEJ_平面ABBXAX•

（2）取中点E,以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

则有。(0,0,0),由CD_L/8,CA=CB=45,AAX=AB=2,

则/。=为8=1,CD=^(V5)2-I2=2,

即C(0,2,0)、£(1,0,1),5(-1,0,0),耳(一1,0,2),

则而=(1,-2,1)、而=(1,2,0)、函=(0,0,2),

令平面BCC/i的法向量为〃=(x,%z),

fx+2y-0-.、

则有，=0，可取>2,贝1J"=(2,-l,0),

则cos(CE,n)=,2+2_^^2回

'/Vl+4+lx>M+l15

故直线CE与平面BCC/i，所成角的正弦值名画.

15

答案第8页，共15页

17.⑴小

呜

【分析】（1）由余弦定理可得cosC=-1,进而可得sinC=立，再由打灰=!。尺出。求解

442

即可；

（2）若选①，结合正弦定理可得cos/=1,不满足题意，故舍去；

若选②，结合正弦定理及三角恒等变换可得百sin（/-$=0,求解即可;

6

若选③，由正弦定理可得c=2cos/,再由余弦定理求解即可.

【详解】（1）解：由题意可知。=1,6=2,0=2也，

匕匚1、1人2+。2―。23

所以cosC=--------------=-----<0，

2ab4

又因为。£（0,兀），

JT

所以。£(万,兀),

立

所以sinC=Jl-cos2c=4

且

所以以的=

j^sinC=4

(2)角军：若选①，则有N5=2N4且。=1,6=2,

,ab.乙日121

由----=----，可得—---=-----=---------

sin4sin5sin4sin274sinAcosA

所以即cosZ=l,不满足题意；

cosA

TT

若选②，则有且。=1,6=2,

%1=2

由号=三，可得而7一•,无上八，

sinAsinBsin(j+A)

所以2sin/=sin(]+4)=乎cos/+/in/,

即asin/-cosZ=0,V3sin(A-y)=0,

226

rr

又因为/e(0,兀)，解得/=自；

o

若选③，则有/C=244且。=1,6=2,

答案第9页，共15页

由‘^=」,可得——，

sin/sinCsin/sin2/2sin4cosZ

所以c=2cos/,

r-r-HI+02—。23+4cos2A.

所以cosZ=----------------=-----------------，

2bc8cos4

所以cos24=-,

4

因为。＜b,所以A不可能为钝角或直角，只能为锐角,

所以cos4=^~，

2

所以/=£TT.

6

7T

综上，选②或选③，A=y.

6

19

18.(1)—

'’30

17

⑵分布列见解析，E(X)=£

（3）我认为小王应该选择B快递公司，因为B快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A公司

大.（言之有理即可）

【分析】（1）从表中读取数据后计算即可得;

（2）先得出两个公司分别不低于75分的概率，再由离散型随机变量性质计算即可得;

（3）得出各个公司等级情况后，言之有理即可.

【详解】（1）调查问卷中共有120份，其中不低于75分的份数为29+47=76,则P=上=痴,

19

故可估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率为二；

（2）A快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为:

24+562

P1~120-3,

B快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为：

12+483

=--------二一.

X的可能取值为0,1,2,

2

p(X=0)=|1Irlr1

n,

2'325

p(X=l)=1x--1——x

4312

答案第10页，共15页

故其分布列为:

（3）A快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为云，

4744

“良好”等级占比为二，“一般”等级占比为二;

120120

B快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为黑=j，

805

“良好”等级占比为4券0=：1,“一般”等级占比为2二4=32；

8028010

其中A快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为奇=■,

B快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为",

我认为小王应该选择B快递公司，因为B快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A公司大.

2

19.（1）1-+/=1

（2）证明见解析

【分析】（1）根据顶点得到“，根据离心率得到。，则得到椭圆方程；

（2）设直线/的方程为》-4=磔，联立椭圆方程得到韦达定理式，求出两直线方程，得到

面积表达式，化积为和，代入化简即可.

【详解】（1）由题意得。=2,9=弓，则c=6,则八,一⑸=1,

则椭圆C的方程为土+「=1.

4

（2）显然当直线/的斜率为0和不存在时，不合题意，

则可设直线/的方程为x-4=gv,/（国,乂），N（x2,y2）,

2x-4=my

则联立椭圆方程工+/=1有/，化简得（川+4”2+8〃沙+12=0,

4——+/=1、7

[4/

答案第11页，共15页

2

贝ijA=64m一48（冽2+4）>o,解得m>2或加v—2^3，

则%+%=——2~~7，y^2=――7，玉二町1+4,x=my+4必％=一丁（必+%）,

m+4m+4222mf

则心则直线AMr的方程为y=上^（x-2）,令x=l,贝ij%,

x1-2xx-22-x1

kAN=-^>则直线NN的方程为y=*7（x+2）,令x=0,贝1］坨=&\,

%+2x2+2x2+2

1II2|y|11121yli12

则%皿=尸2%=?7,S皿.=x4谭=#，因为乂%==^>0,则必%同号,

11

2x2+222-x1m+4

贝1邑°虫_2|%|2-占_2_再_一加乂_2=％叼］+2

'S.OTPX2+22闻必|X2+2Rmy2+6必my2+6

33+1

町为+2为：f•百8+乃）+2为=-2^2^=J

阳而+6%一“：（％+为）+6%%,-\23

2m22

20.（l）a=2

⑵3个

（3）证明见解析

【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得；

（2）结合函数的单调性与零点的存在性定理去研究函数零点个数问题即可得；

（3）当0VaV2时去推导/（x）为单调函数可证明充分性，找出不在该范围内的。亦能使

/（X）为单调函数即可证明不必要条件.

X1+X-（1+X）-（1-2

【详解】⑴八…+―=“+

x2-l

2

则/'（0）=4H----=0,即a=2；

答案第12页，共15页

1—y1—丫

(2)当°=4时，/(x)=4x+ln-则——>0,即

1+x\+x

又/(-x)=-4x+ln^|=一卜+ln^^[=_/g),

故/'(x)为奇函数，

2

（X）=4H—---,—1<X<1,

令广（力>0,即《十一^〉。，m1--<x<—，

x-l22

令/（x）<0,即变或也<工<1,

22

故/⑴在上单调递减,在-m上单调递增,

\7\7

在巧,11上单调递减,

由/（0）=0+lnl=0,则/—>0,X/（0.99）=3.96-lnl99<0,

I2J

故/⑴在（』上必有一零点，

由/（X）为奇函数，则/（X）在T-1上亦有一零点，

V7

故当。=4时，/⑺的零点个数为3个；

（3）f'（x}=a+^—=a^~a+2,-1<X<1,

、）x2-lx2-l

由故一一l<0，

ax?-a+2=a（x?-1）+2,即-a+2<a（x~-l