1.1.2锐角三角函数的增减性

锐角三角函数的增减性（2015•扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【考点】锐角三角函数的增减性；圆周角定理．【分析】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，因为∠AEB=∠D+∠DBE，所以∠AEB＞∠D，所以∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．【解答】解：如图，连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，∵∠AEB=∠D+∠DBE，∴∠AEB＞∠D，∴∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，可得，sin∠C＞sin∠D，故①正确；cos∠C＜cos∠D，故②错误；tan∠C＞tan∠D，故③正确；故选：D．【点评】本题考查了锐角三角形函数的增减性，解决本题的关键是比较出∠C＞∠D．（2011•茂名）如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（）A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】计算题．【分析】根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，直接得出答案即可．【解答】解：∵45°＜A＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当∠A＞45°时，sinA＞cosA．故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，正确利用锐角三角函数的增减性是解决问题的关键．（2010•山西）在Rt△ABC中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据三角函数的定义解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，将各边长度都扩大为原来的2倍，其比值不变，∴∠A的正弦值不变．故选：D．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角函数值是一个比值，与角各边长度的变化无关．（2010•凉山州）已知在△ABC中，∠C=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB=n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的内角和定理，易知直角三角形的最小内角不大于45°．再根据sin45°=和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析．【解答】解：根据题意，知0°＜∠B＜45°．又sin45°=，∴0＜n＜．故选A．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律．（2010•黔东南州）设x为锐角，若sinx=3K﹣9，则K的取值范围是（）A．K＜3 B． C． D．【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】应用题．【分析】根据锐角x正弦的取值范围0＜sinx＜1作答即可．【解答】解：根据三角函数的增减性得：0＜sinx＜1，即0＜3K﹣9＜1，解得：3＜K＜，故选：B．【点评】此题考查的知识点是锐角三角函数的增减性，关键是明确锐角x有0＜sinx＜1．（2008•龙岩）已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（）A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥1【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】压轴题．【分析】根据锐角三角函数的概念，可以用直角三角形的边进行表示，再进一步根据三角形的三边关系进行分析．【解答】解：设在直角三角形ABC中，∠A=α，∠C=90°，故sinα=，cosα=；则m=sinα+cosα=＞1．故选A．【点评】此题综合考查了锐角三角函数的概念，以及三角形的三边关系．（2007•滨州）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sinA的值越大，梯子越陡 B．cosA的值越大，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关【考点】锐角三角函数的增减性；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．【解答】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡．故选：A．【点评】掌握锐角三角函数值的变化规律．（2007•兰州）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】锐角三角函数即为直角三角形中有关边的比值．【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍，那么它们的余弦值不变．故选A．【点评】本题考查三角函数的定义与性质：三角函数的大小只与角的大小有关；与角的两边长度无关．（2002•黄冈）已知A为锐角，且cosA≤，那么（）A．0°≤A≤60° B．60°≤A＜90° C．0°＜A≤30° D．30°≤A＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】首先明确cos60°=，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．【解答】解：∵cos60°=，余弦函数值随角增大而减小，∴当cosA≤时，∠A≥60°．又∠A是锐角，∴60°≤A＜90°．故选B．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．（2002•湘西州）在Rt△ABC中，∠C是直角，各边的长度都分别扩大2倍，那么∠A的三角函数值（）A．没有变化 B．分别扩大2倍 C．分别扩大倍 D．不能确定【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】由锐角三角函数的定义可知只要角的度数不变，边长无论如何变化与角的三角函数值无关．【解答】解：三角函数值的大小只与角的大小有关．故选A．【点评】本题比较简单，考查的是锐角三角函数的定义，属基础题．（2002•宁夏）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．不变化 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．不能确定【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A的正切值为对边和邻边的比值．一个角的锐角三角函数值只和角的大小有关，与角的边的长短无关．【解答】解：根据锐角三角函数的定义，知如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值不变．故选A．【点评】理解锐角三角函数的概念．（2002•太原）已知tanα=，则锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】首先明确tan30°=，tan45°=1，再根据正切函数随角增大而增大，进行分析．【解答】解：∵tan30°=，tan45°=1，正切函数随角增大而增大，若tanα=，则30°＜α＜45°．故选B．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．（2002•青海）在①0＜cosα＜1（0°≤α≤90°），②sin78°＞cos78°，③sin0°＞tan45°，④sin25°=cos65°这四个式子中，正确的是（）A．①、③ B．②、④ C．①、④ D．③、④【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】熟记cos0°=1，cos90°=0，sin0°=0，tan45°=1；熟悉正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：①中，根据余弦值随着角的增大而减小，得0≤cosα≤1（0°≤α≤90°）．错误；②根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，则sin78°＞cos78°正确；③sin0°=0＜tan45°=1．错误；④根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，则sin25°=cos65°．正确．这四个式子中，正确的是②、④．故选B．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．（2002•岳阳）当∠A为锐角，且cosA的值大于时，∠A（）A．小于30° B．大于30° C．小于60° D．大于60°【考点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值．【分析】由cos30°=，余弦函数随角增大而减小，根据题意即可求得∠A的取值范围．【解答】解：∵cos30°=，余弦函数随角增大而减小，又∵∠A为锐角，cosA＞，∴∠A＜30°．故选A．【点评】此题考查了三角函数的增减性问题．此题难度不大，注意掌握余弦函数随角增大而减小是解此题的关键．（2001•咸宁）当锐角A＞45°时，下列不等式不成立的是（）A．sinA＞ B．cosA＜ C．tgA＞1 D．ctgA＞1【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角三角函数的性质，正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小，正切值随角度的增大而增大，余切值随角度的增大而减小，分别分析即可得出答案．【解答】解：∵当锐角A=45°时，∴sinA=cosA=，tgA=ctgA=1，A．根据锐角A＞45°时，正弦值随角度的增大而增大，故sinA＞，故此选项正确；B．根据锐角A＞45°时，余弦值随角度的增大而减小，故cosA＜，故此选项正确；C．根据锐角A＞45°时，正切值随角度的增大而增大，故tgA＞1，故此选项正确；D．根据锐角A＞45°时，余切值随角度的增大而减小，故ctgA＜1，故此选项错误．故选：D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，熟练掌握其性质注意它们之间的区别与联系是解决问题的关键．（2001•宜昌）观察下列式子：①sin59°＞sin28°；②0＜cosa＜1（a为锐角）；③tan30°+tan60°=tan90°；④tan44°•cot44°=1，其中成立的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】锐角三角函数的增减性；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系．【专题】应用题．【分析】根据锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系进行判断．【解答】解：①根据正弦值随着角度的增大而增大，可知sin59°＞sin28°正确；②∵0°＜α＜90°，∴0＜cosa＜1正确；③tan30°+tan60°=+=≠tan90°，错误；④tan44°•cot44°=1，正确．故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系，属于基础题型，比较简单．（2000•天津）在直角三角形ABC中，如果各边长度都缩小2倍，则锐角A的正弦值和正切值（）A．都缩小2倍 B．都扩大2倍 C．都没有变化 D．不能确定【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】因为锐角A的各三角函数是Rt△ABC中边的比值，所以它们的值只与角的大小有关．【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知如果各边的长度都缩小2倍，那么锐角A的各三角函数没有变化．故选C．【点评】理解锐角三角函数的概念，明白三角函数只与角的大小有关．（2000•安徽）已知cosα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（）A．60°＜α＜90° B．0°＜α＜60° C．30°＜α＜90° D．0°＜α＜30°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】由于α是锐角，所以cosα＞0，即0＜cosα＜0.5，又cos90°=0，cos60°=0.5，而余弦函数随角度的增大而减小，从而得出锐角α的取值范围．【解答】解：∵cos90°=0，cos60°=0.5，又∵0＜cosα＜0.5，∴60°＜α＜90°．故选A．【点评】熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．（2000•兰州）α、β都是锐角，且cosα＜cosβ，则下列各式中正确的是（）A．α＜β B．cotα＜cotβ C．tanα＜tanβ D．sinα＜sinβ【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角三角函数的增减性解答．【解答】解：∵α、β都是锐角，且cosα＜cosβ，∴α＞β，∴cotα＜cotβ，tanα＞tanβ，sinα＞sinβ．故选B．【点评】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．（1999•内江）当∠A为锐角，且cosA的值大于时，则∠A（）A．大于30° B．小于30° C．大于60° D．小于60°【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】压轴题．【分析】首先明确cos60°=，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．【解答】解：∵cos60°=，余弦函数随角增大而减小，∴∠A＜60°．故选D．【点评】熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．（1998•天津）当锐角α＞30°时，则cosα的值是（）A．大于 B．小于 C．大于 D．小于【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据特殊角的三角函数值及锐角三角函数的增减性解答．【解答】解：∵α是锐角，余弦值随着角度的增大而减小，α＞30°，∴cosa＜cos30°=．故选D．【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性．（1998•大连）若α为锐角，且tanα=，则有（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】首先明确tan45°=1，tan60°=，再根据正切值随着角的增大而增大，进行分析．【解答】解：∵tan45°=1，tan60°=，α为锐角，α越大，正切值越大．又1＜＜，∴45°＜α＜60°．故选C．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．（1998•黄冈）当锐角A＞30°时，∠A的余弦值（）A．小于 B．大于 C．大于 D．小于【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】首先明确cos30°=，再根据余弦函数随角增大而减小进行分析．【解答】解：∵cos30°=，余弦函数随角增大而减小，∴当锐角A＞30°时，∠A的余弦值小于．故选A．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键（1998•四川）cos55°和sin36°的大小关系是（）A．cos55°＞sin36° B．cos55°=sin36°C．cos55°＜sin36° D．不能确定【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】把余弦化成正弦，然后锐角三角函数值的变化规律：正弦值是随着角的增大而增大这一规律进行排列大小．【解答】解：cos55°=sin35°，由正弦值是随着角的增大而增大可得：sin35°＜sin36°．故选C．【点评】本题主要考查锐角三角形的增减性，在锐角范围内，正弦值随着角度的增大而增大．（1998•东城区）已知α为锐角，且cosα的值小于，那么α角的取值范围是（）A．60°＜α＜90° B．30°＜α＜90° C．0°＜α＜60° D．0°＜α＜30°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据特殊角的三角函数值，以及余弦函数随角度的增大而减小即可判断．【解答】解：cosα=，则α=30°，∵余弦函数随角度的增大而减小，∴30°＜α＜90°．故选B．【点评】本题考查了余弦函数的增减性，以及特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．（1997•天津）当锐角A＞45°时，sinA的值（）A．小于 B．大于 C．小于 D．大于【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据45°角的正弦值，以及锐角的正弦值随角度的增大的变化情况即可作出判断．【解答】解：sin45°=，∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，∴当锐角A＞45°时，sinA的值大于．故选B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，以及正弦函数的增减性，正确理解增减性是关键．（2010•防城港）有四个命题：①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．其中正确命题的序号是

①④（注：把所有正确命题的序号都填上）．【考点】锐角三角函数的增减性；有理数的乘方；根与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小；判定三角形求全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS；一元二次方程的根与系数的关系：两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数，两根之积等于常数项除以二次项系数；半小时每个分裂成2个，则2小时由1个分裂为24个．【解答】解：①因为sin45°=cos45°=，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；③根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣，x1x2=．∴x1+x2+x1x2=，是正数．故此选项错误；④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确．故正确的有①④．【点评】此题涉及的知识的综合性较强．综合考查了锐角三角函数的知识、全等三角形的判定方法、一元二次方程根与系数的关系等知识．（2004•佛山）如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．【考点】锐角三角函数的增减性．【专题】压轴题；探究型．【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．【解答】解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP==sin40°在Rt△BPF中，sin∠FBP==sin20°又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP==sinα，sin∠FBP==sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．【点评】此题主要考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大．（2003•新疆）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小