河北省保定市高阳宏利佳学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省保定市高阳县宏利佳学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有(

)A. B. C. D.2.下列方程是一元二次方程的是(

)A. B.

C. D.3.把抛物线先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是(

)A. B.

C. D.4.如图，在中，将绕点C按逆时针方向旋转得到，点A在边上，则的大小为(

)A.

B.

C.

D.5.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是.(

)A. B. C. D.6.关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值是(

)A. B.1 C.4或 D.或17.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为(

)A. B.

C. D.8.如图，在中，，，，点P从点A开始沿AC边向点C以的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动，当的面积等于时，运动时间为(

)

A.5秒 B.20秒 C.5秒或20秒 D.不确定9.顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是(

)A. B. C. D.10.已知函数是常数，，下列结论正确的是(

)A.当时，函数图象过点

B.当时，函数图象与x轴没有交点

C.若，则当时，y随x的增大而减小

D.若，则当时，y随x的增大而增大11.在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是(

)A. B. C. D.12.二次函数的图象经过点，则代数式的值为(

)A. B. C.2 D.513.小刚在解关于x的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的c比原方程的c值小则原方程的根的情况是(

)A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根

C.有一个根是 D.有两个相等的实数根14.如图所示，已知二次函数的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点和点B，且，那么AB的长是(

)A.

B.m

C.

D.15.图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是(

)A.①

B.②

C.③

D.④16.如上图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④；⑤当时，有其中正确的有个(

)A.2

B.3

C.4

D.5二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。17.对于实数p、q，我们用符号表示p、q两数中较小的数，如，若，则______.18.抛物线，若其顶点在x轴上，则______.19.如图所示的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点，则抛物线的解析式是__________.

20.如图，正方形ABCD的边长为4，E在CD上，，将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，连接DF，则DF的长为______.

三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.本小题8分

嘉琪准备完成题目：解一元二次方程□

若“□”表示常数，请你用配方法解方程：；

若“□”表示一个字母，且一元二次方程□有实数根.求“□”的最大值.22.本小题8分

如图，，，，，

绕点______逆时针旋转______度得到；

画出绕原点O顺时针旋转的，点坐标______；若内一点在的对应点为Q，则Q的坐标为______用含m，n的式子表示

在x轴上描出点M，使最小，此时______.23.本小题8分

如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，，

在旋转过程中，

①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．

若摆动臂AD顺时针旋转，点D的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图2，此时，，求的长．

24.本小题8分

如图是2019年1月份的日历．任意选择图中的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是48

请证明发现的规律；

小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，请判断他的说法是否正确．25.本小题8分

我市某乡镇在农业产业合作化销售中，其中一农产品经分析发现月销售量万件与月份月的关系为：，每件产品的利润元与月份月的关系如下表：x123456789101112z1918171615141312111098请你根据表格求出每件产品利润元与月份月的关系式；

若月利润万元当月销售量万件当月每件产品的利润元，求月利润

万元与月份月的关系式；

当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？26.本小题8分

如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点

写出抛物线顶点D的坐标______；

点是点D关于y轴的对称点，判断点是否在直线AC上，并说明理由；

若点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方，过点E作轴交线段AC于点F，求线段EF的最大值．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；

B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；

C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；

D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；

故选：

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．2.【答案】D

【解析】解：A、时是一元一次方程，故A错误；

B、是一元一次方程，故B错误；

C、是分式方程，故C错误；

D、是一元二次方程，故D正确．

故选：

根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是3.【答案】C

【解析】解：把抛物线先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是，

故选：

根据平移规律：上加下减，左加右减写出解析式即可．

此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．4.【答案】A

【解析】解：由旋转得：，

，

，

，

故选：

根据题意：绕点C按逆时针方向旋转得到，即旋转角为，则：，根据直角三角形的两锐角互余求出的大小．

本题考查了旋转的性质和直角三角形的性质，比较简单；明确旋转前后的两个角相等，及两直角三角形的两锐角互余．5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算、、1时的函数值，然后比较大小即可．

【解答】

解：当时，；

当时，；

当时，，

所以

故选6.【答案】A

【解析】解：根据题意知，是关于x的一元二次方程的根，

，

解得，或，

，

故选：

根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，列出关于a的一元一次方程，通过解方程即可求得a的值．

本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解使方程的左右两边相等．7.【答案】A

【解析】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，正确；

B、由抛物线可知，，由直线可知，，错误；

C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，错误；

D、由抛物线可知，，由直线可知，，错误．

故选：

本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．

本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．8.【答案】C

【解析】解：由题意，，

，

，

，

解得或5，

或5s时，的面积为

故选：

根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．

本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于中考常考题型．9.【答案】A

【解析】解：设抛物线的解析式为，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同，

，

，

故选：

设抛物线的解析式为，由条件可以得出，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．

本题考查了二次函数的性质，根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关键．10.【答案】D

【解析】解：A、当，时，，函数图象不经过点，故错误；

B、当时，，函数图象与x轴有两个交点，故错误；

C、抛物线的对称轴为直线，若，则当时，y随x的增大而增大，故错误；

D、抛物线的对称轴为直线，若，则当时，y随x的增大而增大，故正确；

故选：

把，代入，于是得到函数图象不经过点，根据，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线判断二次函数的增减性．

本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，属于基础题．

如果设某一小组共有x个队，那么每个队要比赛的场数为场，有x个队，那么一共比赛的场数可表示为，然后根据题意列出方程即可.

【解答】

解：设某一小组共有x个队，

那么每个队要比赛的场数为场，

该小组共赛了90场，

所列方程为

故选12.【答案】B

【解析】解：二次函数的图象经过点，

，

，

故选：

把点代入函数解析式求出，然后代入代数式进行计算即可得解．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．13.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查一元二次方程的解，根的判别式，正确得出c的值是解题关键．

直接把已知数据代入进而得出原方程的c值，再根据判别式求出答案．

【解答】

解：小刚在解关于x的方程时，

只抄对了，，解出其中一个根是，

小刚解的方程是，

，

解得：，

故原方程中，

原方程中，，

原方程不存在实数根．14.【答案】C

【解析】解：因为二次函数的图象的顶点P的横坐标是4，

所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点D，

所以A、B两点关于对称轴对称，

因为点，且，即，

所以，

故选

利用图象可得点A的横坐标-对称轴解答即可．

考查二次函数的两点间距离的求法，注意结合图象．15.【答案】C

【解析】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．

故选：

根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．

此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．16.【答案】B

【解析】解：抛物线对称轴为直线，

，

，故①正确；

②抛物线开口向下，与y轴相交与正半轴，

，，

，

，故②错误；

抛物线与直线有两个交点，

方程有两个相等的实数根，故③正确；

由抛物线对称性，与x轴的一个交点，则另一个交点坐标为，

当时，，

，

，故④错误；

由图象可知，当时，，故⑤正确．

故选：

根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．

本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．17.【答案】2或

【解析】解：，

当时，，不可能得出最小值为1，

当时，，

则，

，

，，

解得：，不合题意，舍去，

当时，，

则，

解得：不合题意，舍去，，

综上所述：x的值为：2或

故答案为：2或

首先理解题意，进而可得时分情况讨论，当时，时和时，进而可得答案．

此题主要考查了解一元二次方程-直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．18.【答案】1

【解析】解：，

由若其顶点在x轴上，得

，

解得

故答案为：

根据配方法，可得顶点式函数解析式，根据顶点在x轴上，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

本题考查了二次函数的性质，利用顶点在x轴上的出关于m的方程是解题关键．19.【答案】

【解析】【分析】

本题主要考查的是二次函数的应用，根据图形确定出抛物线经过点的坐标是解题的关键．

根据题意可知抛物线经过点、、，设出交点式，然后利用待定系数法求解即可．

【解答】

解：根据题意，抛物线经过点、、，

设抛物线的解析式为，

则将点代入得：

解得：

抛物线的解析式为

故答案为：20.【答案】或

【解析】解：当点F落在边BC上时，如图，

四边形ABCD为正方形，

，，

，

，

线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，

，

在和中

，

，

，

，

当点F落在BC的延长线上的点时，如图，

同样可证明，

，

，

，

故答案为：或；

分类讨论：当点F落在边BC上时，如图，利用正方形的性质得，，利用旋转的性质得，则可证明，所以，于是得到，由勾股定理可求DF的长；当点F落在BC的延长线上的点时，如图，同样可证明，得到，则，由勾股定理可求DF的长，即可求解．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．21.【答案】解：，

，即，

解得，

设□中为m，则，

由题意得，，

解得，

□的最大的值为

【解析】按配方法的一般步骤求解即可；

设□中为m，根据判别式的意义得到，然后解不等式求出m后找出最大整数即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了配方法解一元二次方程．22.【答案】

【解析】解：绕点A逆时针旋转90度得到，

故答案为：A；90；

如图所示，即为所求，，，

故答案为：，；

如图所示，点M即为所求，

，

故答案为：

根据旋转的性质结合网格即可求解；

根据旋转的性质找出对应点即可求解，再根据图形写出点的坐标，根据旋转前后点的坐标规律写出点Q的坐标；

过点A作关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则点M即为所求，再根据勾股定理求出即可．

本题考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．23.【答案】解：①，或

②显然不能为直角．

当为直角时，，

或舍弃

当时，，

或舍弃

综上所述，满足条件的AM的值为或

如图2中，连接

由题意：，，

，，

，

，

，

，

，

，

，，

≌，

【解析】①分两种情形分别求解即可．

②显然不能为直角，当为直角时，根据，计算即可，当时，根据，计算即可．

连接首先利用勾股定理求出，再利用全等三角形的性质证明即可．

本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，，

解：设这5个数中最大数为x，则最小数为，

依题意，得：，

解得：，不合题意，舍去

在第一列，

不符合题意，

小明的说法不正确．

【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，，利用相对的两对数分别相乘再相减，可证出规律成立；

设这5个数中最大数为x，则最小数为，根据最小数与最大数的积是120，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可知不符合题意，进而可得出小明的说法不正确．25.【答案】解：

依题意，设每件产品利润元与月份月的关系式为：，由表中的数据有

，解得，

故每件产品利润元与月份月的关系式为：；

依题意，

当时，，

当时，，

均为整