吉林省长春市2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题

2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知P：1Og2x<1,则P的充分不必要条件是（）

A.x<2B.0<x<2C.0<x<lD.0<x<3

2.已知正实数a,6满足工+2=6,贝U（a+1）仅+9）的最小值是（）

ab

A.8B.16C.32D.36

3.己知函数/（x）=lg[（a2—1）必+（。+1口+1]的值域为尼则实数a的取值范围是（）

A.[1,|]

B.

/、ax+1,x„1

4.己知函数2/八u，，对VH/CR,石力电，满足

[2x~-(a+1)x+5,x>1

(x1-x2)[/(x1)-/(x2)]>0,则实数a的取值范围是O

A.l<o,,3B.l<a<3

八，5,5

C.1<tz<—D.1<ci,,一

22

5.己知定义在〃上的函数/(x)满足/(—%)+/(尤)=O"(%+1)=/(1—x),且当xe(—1,0)时,

/（X）=g—log4—X）,则卜（）

11

A.-B.—1C.D.1

22

6.如图，在边长为2的正方形相切中，其对称中心。平分线段就且MN=2BC,点£为小的中点,

则EM•EN=（）

1

A.-3B.-2

7.已知函数/(x)=1+m与函数g(x)=-ln——3x的图象上至少存在一对关于X轴对称

的点，则实数用的取值范围是()

-+ln2,22-ln2,-+ln2-+In2,2+ln2D.[2-ln2,2]

8.将函数/(%)=cosx的图象先向右平移3万个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的-

6CD

■Ji37r

(。＞0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(一)上没有零点，则。的取值范围

A.(0,|][|,|]

B.(0,§]

2Q

C.(O,-]U[-,1]D.(0,1]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设函数/(x)=sin2x+百cos2龙，则下列结论正确的是()

A./(%)的最小正周期为左

B./(%)的图象关于直线x=［对称

C./(%)的一个零点为x=?

D.7(%)的最大值为G+1

10.下列说法中错误的为()

A.已知:=(1,2),力=(1,1),且q与。+劝的夹角为锐角，则实数；I的取值范围是，

一一,13、

B.向量耳=(2,—3),02=1万,—/不能作为平面内所有向量的一组基底

r

C.若alb，则〃在b方向上的正射影的数量为。

ABCABACB

D.三个不共线的向量。4，OB，OC，满足。A。1~~|+1~I=OB・।~|+)一।

2

CABC

—OC-j—।+1-----r=0,则。是ABC的内心

11.在现代社会中，信号处理是非常关键技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，

而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.<sm](2z—1)可的图象就可以近似的模拟某种信号

八，白2/-1

的波形，则下列说法正确的是()

A.函数了(%)为周期函数，且最小正周期为兀

B.函数〃尤)为偶函数

C.函数y=/(x)的图象关于直线x对称

D.函数导函数/'(X)的最大值为7

12.设函数/(x)=sin[ox+]}①〉0),已知了⑴[0,2可有且仅有5个零点，则O

A.在(0,2兀)有且仅有3个极大值点

B.7(%)在(0,2兀)有且仅有2个极小值点

C./(%)在卡]单调递增

「1229、

D.G的取值范围是—I

_j1uy

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数y=/(元)在区间〃上是凸函数，则对于区间，内的任意为，巧，…，X”都有

(xj+)+…+/(七)]</[W~口)若函数/(%)=sinx在区间(0,万)上是凸函数，

则在△ABC中，sinA+sin6+sinC的最大值是.

14.在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知cos?A-cos2B+sin2C=sinBsinC=—,

4

且^ABC的面积为2石，则边。的值为.

jr—------]

15.如图，在中，=1,40=2£>5，尸为切上一点，且满足4。=m4。+/45,若」15。

3

的面积为2若，则\AP\的最小值为.

16.若函数/(x)=a+"cosx+csinx的图象经过点(0,1)和且当xe0,^时，，⑴〈忘恒

成立，则实数a的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.己知函数/(%)=H11；1+&1+/7在(1,/(1))处的切线为2x-2y-l=0.

(1)求实数。力的值；

(2)求了(%)的单调区间.

18.己知函数/(X)=V3COS2®X+sincoxcoscox(。＞。)的最小正周期为兀.

(I)求函数/(%)的单调递减区间；

(II)若于(X)〉母,求x取值的集合.

19.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台只已知射线47,AC为湿地两边

夹角为120°的公路(长度均超过2千米)，在两条公路47,力。上分别设立游客接送点弘N,从观景台户

到乱及建造两条观光线路掰PN,测得AM=2千米，AN=2千米.

(2)若/MPN=60°,求两条观光线路冏/与加之和的最大值.

20.已知函数/(%)二/一以+〃1nx有两个极值点片］,4.

4

(1)求〃的取值范围；

2424

(2)证明：/(xi)+/(x2)+^+^<161n2.

21.设函数=+asmx+b.

(I)当a=l,%w[0,+8)时，〃%)之0恒成立，求人的范围；

(II)若/(力在1=0处切线为X—y—1=0,且方程“力=上士恰有两解，求实数加的取值范围.

x

X_](兀、

22已知函数/(%)=sin%+——,xG1-71,—I.

⑴求证：了⑺在卜兀,3上单调递增；

(2)当(一兀,0)时，[/(%)—sinx]e"—cosxW左sinx恒成立，求左的取值范围.

5

2024届高三年级第二次调研测试数学学科试卷

命题人：戴丽美审题人：张伟萍

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知°：bg2X<l,则°的充分不必要条件是()

A.x<2B.0<x<2C.0<x<lD.0<x<3

【答案】C

【解析】

【分析】解出lOg2X<l的解集，。的充分不必要条件是其子集，选出即可.

【详解】解：由log?x<l得0(尤<2,。的充分不必要条件是(0,2)的子集，C符合，

故选：C.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.

2.已知正实数a,6满足工+2=6,则(a+l)("9)的最小值是()

ab

A.8B.16C.32D.36

【答案】B

【解析】

【分析】对工+3=6利用基本不等式求出疝21且b+9a=6ab,把(。+1)("9)展开得到

ab

(a+l)(Z?+9)=7〃Z?+9,即可求出最小值.

19

【详解】因为正实数处6满足一+7=6,

ab

1Ql~9~/—191

所以6=±+'22］二，即J罚21,当且仅当一二7时，即〃=—/=3时取等号.

ab\abab3

19

因为一+—=6,所以Z?+9〃=6次?，

ab

所以(a+l)(Z?+9)=9a+Z?+aZ?+9=7aZ?+9N7+9=16.

故(a+1)(。+9)的最小值是16.

故选：B

3.已知函数/(x)=lg［(a2—l)x2+(a+i)x+i］的值域为兄则实数己的取值范围是()

6

A.[1,|]

【答案】A

【解析】

【分析】

当函数的值域为R时，命题等价于函数y=(4+(a+l)x+l的值域必须包含区间(0,+8)得解

【详解】/(x)=lg[(〃2一1)%2+(^+l)x+l]的值域为R

令y=(a?—1)%?+(〃+])%+],则

y=(〃一1卜2+(〃+i)x+i的值域必须包含区间(0,+8)

当一1=0时，则〃=±1

当々=1时，y=2x+l符合题意;

当〃=-1时，y=l不符合题意；

片—1>05

当QW±1时，<2/?\，解得1<〃<大

A=(^z+1)-4(6Z2-1)>03

.•.l<a<-,即实数。的取值范围是口;

33

故选：A

【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.

/、|ax+1,x„1

4.已知函数2/八「，，对VXi，x,eR,x^x,满足

[2x~(a+l)x+5,x>l2

(%1-x2)[/(x1)-/(x2)]>0,则实数a的取值范围是()

A.1<«,,3B.l<a<3

,5

C.D.1<一

22

【答案】D

【解析】

【分析】先判断了(力是R上的增函数，列关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围.

7

【详解】由题意，得〃X)是R上的增函数,

a>\

则<一~一»1,解得1<%一,

42

〃+L,2—(〃+1)+5

故选：D

5.已知定义在句上函数“九)满足/(—%)+/(尤)=0"(%+1)=/(1-%),且当天£(—1,0)时，

/(X)=g—lOg4(—X),则()

11

A.-B.—1C.D.1

22

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数/*)满足/(x+D=/(l—%),得到〃2-x)=/(x),再结合/(-x)+f(x)=0,得到

/(4+%)=/(%),即Ax)的周期为4,然后利用周期结合当xe(—1,0)时，/(x)=g—logK—x)求解.

【详解】因为函数/*)满足/(x+l)=/(l—x),

所以“2-尤)=/(尤)，

又因为x)+/(x)=0,

所以/(2+x)=—/(%),

所以/(4+%)=/(%),

又因为xe(—1,0)时，/(x)=1-log4(-x),

则/怎卜/〔吗=根,

(1)

“,[2卜一〔2一腕42卜一2一叫24=一1

故选：B

【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用,还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

8

6.如图，在边长为2的正方形/况》中，其对称中心。平分线段期且AGV=25C,点£为小的中点,

则EMEN=()

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.

【详解】MN=2BC=4,OM=2,OE=1.

EMEN=(EO+.(E0+ON)

=(EO+OM^EO-OM^=EO1-OM2=

/

7.已知函数/'(%)=f+7然与函数g(x)=-ln」-3.g,2的图象上至少存在一对关于x轴对称

axe

的点，则实数加的取值范围是()

5，ccC.|+ln2,2+ln2D,[2-In2,2]

A.—I-In2,2B2-In2,-+In2

44

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得Mx)=/(x)+g(x)=x2+lnx—3x+m在1,2有零点，利用导数研究函数的性质进

而可得m-2<0<m+ln2-2,即得.

9

【详解】原问题等价于/<x)=〃x)+g(x)=x2+lnx—3x+相在1,2有零点，

而//(%)=2x+—-3=—(2x-l)(x-l),

JCX

：.xe^,l^,/z,(x)<0,/z(x)单调递减，xe(l,2],/zf(x)>0,/z(x)单调递增，

又无(1)=加一2,无(2)=ln2—2+加,无[；]=—In2—(+机，

由ln2>g可判断力(2)〉«£),

因而7i(x)的值域为[加—2,加+ln2-2],

又/z(x)有零点，Wm-2<0<m+ln2-2,

所以加e[2-ln2,2].

故选：D.

8.将函数/(%)=cosx的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的-

6co

■jr37r

(。>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(一,——)上没有零点，则。的取值范围

小2.28,

A.(0,-1J[r-,-]B.(0,§]

2Q

c(°，"』]D.(0,1]

【答案】A

【解析】

【分析】

57r

根据尸Aos(ox+0)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，根据定义域求出。X——的范围，再利用

余弦函数的图象和性质，求得。的取值范围.

【详解】函数/(无)=cos》的图象先向右平移!■万个单位长度,

可得y=cos的图象,

10

再将图象上每个点的横坐标变为原来的,＞0）倍（纵坐标不变）,

a）

得到函数g（x）=cos的图象,

•••周期T=—,

co

37r

若函数g（尤）在（（,1）上没有零点,

（D7i5乃5乃3a＞7i5不

(y2<b解得0<。<1,

7C,0715万

--------\-K7T<----------------

226，解得网

又〈

TC,3(0715万

—+k7T>

226

2Q

当代0时，解一＜。＜一,

39

2

当A=T时，可得0＜。＜一，

9

小2、『28,

…（H[359]-

故答案为：A.

【点睛】本题考查函数尸Aos（。矛+0）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建

不等关系式，求解可得，属于较难题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设函数/（x）=sin2x+百cos2龙，则下列结论正确的是（）

A./（九）的最小正周期为左

B.龙）的图象关于直线x=2对称

11

c.，(x)的一个零点为X=?

D./(X)的最大值为百+1

【答案】ABC

【解析】

【分析】先化简，得至ij/(x)=2sin[2x+]],再根据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.

【详解】函数/(x)=sin2x+A/3COS2X=2sin[2x+q].

对于A：/(x)的最小正周期为万.故A正确；

对于B：/|-^|=2sin|2x^+!|=2,所以"%)的图象关于直线x对称.故B正确；

乙JIi乙DJJLN

对于c：=2sin^2x|-+^=0,所以x=三是/(x)的一个零点.故C正确；

对于D：函数/(%)=25垣[2》+。],所以/(%)的最大值为2.故口错误.

故选：ABC

10.下列说法中错误的为()

A.已知；=(1,2),力=(1,1),且a与。+我的夹角为锐角，则实数；I的取值范围是，

一一,13、

B.向量弓=(2,—3),02=[],—/不能作为平面内所有向量的一组基底

r

C.若allb，则〃在/?方向上的正射影的数量为。

(・、(.A

)C，满足4+$=0B—片+g

D.三个不共线的向量。A,OB，(

=。。,1—।+1—।=o，则。是_A3C的内心

【答案】AC

【解析】

12

【分析】对于A,由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0,且两向量不共线，计算即可；

对于B,由6=4弓，可知％,4不能作为平面内所有向量的一组基底；

对于C,利用向量投影的定义即可判断；

AJ5CA

对于D,由。।~|+|~।=0,点。在角A的平分线上，同理，点。在角3的平分线上，点。在角C

的平分线上，进而得出点。是一A3C的内心.

【详解】对于A,已知建(1,2),"(1,1),且q与a+劝的夹角为锐角,

可得“a+训〉0,且a与不共线，a+劝=(1+42+2),

即有l+X+2x(2+2)>0,且2x(l+X)w2+X,

解得；l>—2且；Iwo,则实数；I的取值范围是X>—3且；lw。，

33

故A不正确；

-一门3、

对于B,向量，，=—,—'-,

ex=40，

二向量6，不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；

对于C,若ab,则a在6上的投影为土卜|,故C错误；

ABCA

对于D，G+dT表示与A3C中角A的外角平分线共线的向量,

\ABCA

AJ5CA

由。可知垂直于角的外角平分线,

〔网।——।+同।_।J=0,Q4A

所以，点。在角A的平分线上，

同理，点。在角B平分线上，点。在角C的平分线上，

故点。是.A3C的内心，D正确.

故选：AC.

【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示

和向量投影的定义等知识，属于中档题.

11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，

13

而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数./W=E~的图象就可以近似的模拟某种信号

；=12i—l

的波形，则下列说法正确的是（）

A.函数无）为周期函数，且最小正周期为兀

B.函数〃尤）为偶函数

C.函数y=/（x）的图象关于直线尤=三对称

D.函数了（%）的导函数/'（X）的最大值为7

【答案】CD

【解析】

【分析】利用周期的定义可判断A选项的正误；利用奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数的对称

性可判断C选项的正误；求得函数“X）的导数，求出了'（X）的最大值，可判断D选项的正误.

7sin[⑵-1）（无+初|7sin[（2z-1）7i+（2z-1）%]

【详解】对于选项A：因为/1（%+兀）=Z=z

Z=12z-lZ=12z-l

7sin[-兀+⑵-1）x]7sin[（2z-l）x]

=z=-z=一/（尤），

Z=12z-lZ=12z-l

即〃X+7l）=-〃X）,可知函数“X）的最小正周期不为兀,故A错误;

对于选项B：因为y=sinx为奇函数，所以sinx=—sin（—x）,

所以"尹1普…+甘+竽+干+甘+誓+*也是奇函数,

故B错误；

对于选项C：因为/•（兀-x）=£sin]（21）（兀-x）]=£sin[⑵-1）兀-⑵-l）x]

I7fr2z-ifr2z-i

_<sin[-7i-⑵—l）x]_fsin[⑵-）

=tr21^i=tr_2TI="可’

即/（7i—x）=〃x）,所以函数y=/（x）的图像关于直线尤=］对称，故C正确;

sin3_xsin5%sin7%sin9xsin1lxsin13x

对于选项D：因为/（%）=sin%+-+-------+------+-----1-------1------

5791113

所以/'（^）=cosx+cos3x+cos5x+cos7x+cos9x+cos1lx+cos13x,

14

因为cos尤，cos3x,cos5x,cos7x,cos9%,cos11%,cos13%的取值范围均为[-1,1],

可知/'（x）＜7,当尤=0时，/,（0）=7,

所以/'（%）的最大值为7,所以D正确.

故选：CD.

71

12.设函数/(x)=sinCOXH---（-。＞0）,已知“X）在［0,2可有且仅有5个零点,则（）

5

A.八九）在（0,2兀）有且仅有3个极大值点

B.了（九）在（0,271）有且仅有2个极小值点

C./（%）在0,2单调递增

1229

D.

0的取值范围是T,To

【答案】ACD

【解析】

【分析】由/（%）在［0,2兀］有且仅有5个零点，可得5兀＜2兀。+］＜6兀可求出。的范围，然后逐个分析

判断即可.

71

【详解】因为〃x）=sinCDX+—（0〉0）在［0,2兀］有且仅有5个零点，如图所示,

5

所以5兀＜2兀。+w＜6兀，所以;所以D正确，

兀TC

对于AB,由函数y=sinx在j,2nc（）+j上的图象可知，在（0,2兀）有且仅有3个极大值点，有3

个或2个极小值点，所以A正确，B错误,

,71兀①兀兀

对于C,当％历时，^X+—G而十二

15

「、,1229,cann49K兀士，,7T。兀兀

因为一<a><—,所以——+—<----<—,所以5'i(r+?

5101051002

所以“X)在10,看J单调递增，所以C正确，

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数y=/(x)在区间，上是凸函数，则对于区间，内的任意与，巧，…，x“都有

)"(玉)+/(%2)+…+/(%)］1+':~~三3)若函数1f(x)=sinx在区间(0,%)上是凸函数,

则在△ABC中，sinA+sin6+sinC的最大值是.

【答案】地

22

【解析】

［分析］根据题设凸函数的性质可得!(sinA+sinB+sinC)<sin(A+^+C)即可求最大值，注意等号成

立条件.

【详解】由题设知：j(sinA+sinB+sinC)<sin(^+^+^)=siny=>

sinA+sin8+sinCWt8，当且仅当A=3=C=£时等号成立.

23

故答案为：史.

2

14.在JLBC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos?A-cos2B+sin2C=sinBsinC=—,

4

且_ABC的面积为，则边。的值为.

【答案】26

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系以及正弦，余弦定理求得角A的值，再利用正弦定理可得

12

---=,结合^ABC的面积求出边a的值.

sinBsinCsin2A

16

【详解】解：cos?A—cos?5+sin?C=sin5sinC，

/.I-sin2A-(^l-sin2+sin2C=sinBsinC,

即sin2B-sin2A+sin2C=sinBsinC，

由正弦定理角化边得b2-a2+c2=bc9

b1+C1-a1be_1

cosA=

2bc2b^~2

abc

由正弦定理

sinAsinBsinC

be_a1

sinBsinCsin2A

bea2

即丁

s•in2——兀

43

化简得a2=3bc，

又ABC的面积为SABc=；bcsinA=26

:.be=8

/./=24

解得a=2底.

故答案为：2瓜

兀]

15.如图，在ABC中，NBAC=1,AD=2£)B，刀为切上一点，且满足+,若ABC

的面积为2百，则|AP|的最小值为.

【答案】上

17

【解析】

【分析】

用AC,AB表示CD,PD,利用这两者共线可求m,求出,尸『后利用基本不等式可求其最小值.

22

【详解】因为=故=所以CD=AD—=—AC,

一一-2-——1-1---

而尸。=AD—AP=—AB—相AC——AB=-AB-mAC,

326

因为czj与P。为非零共线向量，故存在实数X,使得:AB—AC=；L1!A3—mAC

故X=4,zn='，

4

11I|21-21-21III,I1

所以AP=—AC+—AB,所以AP=—AC+-AB+2x-xACxABx-,

42।।164811112

由_A3C的面积为2月可得;义卜0卜,3卜手=2百，故,。卜卜耳=8,

I.|21-21-21

所以AP=—AC+-AB+1>2J—x64+l=3,

II164V64

IUUll|IUUULi

当且仅当kq=4,|AB|=2时等号成立.

故=6,

IImin

故答案：A/3.

【点睛】思路点睛：与三角形有关的向量问题，如果知道边与夹角的关系，则可以考虑用已知的边所在的

向量作为基底向量，其余的向量可以用基地向量来表示，此时模长的计算、向量的数量积等都可以通过基

底向量来计算.

16.若函数/（九）=a+〃cosx+csinx的图象经过点（0,1）和］J,且当xe0,］时，，⑺归忘恒

成立，则实数a的取值范围是.

【答案】［0,4+272］

【解析】

18

【分析】先根据/(0)=1,=a将b,c转化为°来表示，由此化简F(x)的解析式，对a进行分类讨

论，根据|/(x)|V拒恒成立列不等式来求得a的取值范围.

【详解】因为/(X)经过点(0,1)和]一：，d，所以/(0)=a+6=l,f^-^=a+^b-^c=a,可

得b=c=l—a,故

/(x)=a+(l-a)cosx+(1—a)sinx=a+(1—〃)(sinx+cosx)=a+0(1-a)sinx+—.

I4j

因为0〈九〈工，所以巴<x+巴〈包，所以1<sin[x+工]<1,

24442(4)

当av1时，1—〃>0,可得1—a<V^(l—〃)sin[x+w)«^"(1—〃),

所以1<f(x)<^2(1—ci)+a9要使—恒成立，

只要0(1—。)+a<0,即“20,又avl,从而0«〃<1；

当〃=1时，/(X)=1G[-V2,^]；

当a>l时，1一。<0,所以1—后(1—〃)sin[x+；)N0(l—〃)，

所以IN/(x)>V2(l-a)+a,要使一五</(%)«0恒成立，

只要V^(l—a)+aN,解得a<4+2^/^，又a>l,从而1<〃W4+2A/5.

综上所述，乃的取值范围为4+20.

故答案为：[0,4+20]

【点睛】求解不等式恒成立的问题,主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中

恒成立，就转化为了(X)的值域，也即三角函数的值域来进行求解.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.己知函数/(X)=xlnx+av+Z?在处的切线为2x-2y-l=0.

(1)求实数。力的值；

19

(2)求y(x)的单调区间.

a=0

【答案】⑴L1(2)减区间为(0」),增区间为d，a)

b=—ee

[2

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，计算(1),可求出a,6的值；(2)求出函数的解析式，求出函

数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

【详解】(1)依题意可得：2—2/(1)—1=0即/'(1)=；

f(x)=x]nx+ax+b

「./(%)=In1+Q+1

又函数/&)在(1,y(1))处的切线为2x—2y—l=。，f(l)=1

7''⑴"+1=1

・•<1

f(l)=a+b=-

、乙

a=0

解得：Li

b--

I2

(2)由(1)可得：f(x)=l+lnx,

当工£[(),工时，f(x)WO,fQx)单调递减；

当+时，f(x)>0,f(x)单调递增，

“X)的单调减区间为(0,，)，"％)的单调增区间为[,+s].

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题.

18.已知函数/(X)=A^COS2®X+sinoxcosox(。>。)的最小正周期为1.

(I)求函数/(X)的单调递减区间；

20

（II）若于⑺〉与，求X取值的集合.

/\TC/TC

【答案】（1）函数/（九）的单调递减区间为—+k7i,—+k7r,k^Z；（2）x取值的集合为

<x------Fk兀<x<-----Fkyi,keZ：

2424

【解析】

【详解】试题分析：（I）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简

〃X）==s%128+§J,利用正弦函数的单调性解不等式5+2痴<2x+1<万+2k兀,即可求得函数

/（力的单调递减区间；（II）即sin[2x+g]>等

由正弦函数的性质得

TTTT37r

-+2k7v<2x+-<—+2k7r,k^Z,化简后，写成集合形式即可.

434

c\1.cG

试题解析：（I）/(%)=石cos26yx+sin0>xcostyx-+cos2G%)H—sin2G%------

722

—cos2(yx+-sin2(yx=sin125+工

22I3

因为周期为‘■=»,所以G=l,故〃x)=sin2%+f,

2a>\37

rrrr37rTC77r

由——b2k7t<2x-\——<---F2左keZ,得---\-k7t<x<-----Fkn.keZ,

2321212

函数/'(尤)的单调递减区间为—+k7r,—+k7r,keZ,

（II）f（x）>与,即sin[2x+g]>*,

冗rr37r

由正弦函数得性质得一+2左万<2x+—<—+2k兀,kwZ,

434

rr57rTCS冗

解得-----F2左》<2x<----F2k兀,所以-----\-kji<x<----F左肛keZ,

12122424

JI57r

则X取值的集合为〈x-----+k7i<x<