2023-2024学年小升初奥数《通项归纳》题库版

通项归纳

［例131+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=

【考点】通项归纳【难度】2星【题型】计算

【关键词】2023年，第七届，走美杯，初赛，六年级

【解析】方法一：令°=1+2+4+8++1024,则20=2+4+8+16++1024+2048,两式相减，得

4=2048—1=2047。

方法二：找规律计算得到1024x2-1=2047

【答案】2047

【例2】在一列数：』二,2,中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于」一?

3579111000

【考点】通项归纳【难度】2星【题型】计算

【关键词】2023年，第九届，华杯赛，初赛

【解析】这列数的特点是每个数的分母比分子大2,分子为奇数列，要1一女二1■<」一，解出”>999.5,

2n+\1000

1QQQ

从〃=1000开始，即从上也开始，满足条件

2001

【答案】1999

2001

计算：1+——+11

［例3］+...------------------

1+21+2+31+2+...2007

【考点】通项归纳【难度】3星【题型】计算

121、

【解析】先找通项公式=

1+2+nnx(n+l)nn+1

111

原式=1+2x(2+l)+3x(3+l)++2007x(2007+1)

222

2222c20072007

=-----+------+------+H-----------------=2x------

1x22x33x42007x200820081004

2007

【答案】

1004

1111

【巩固】—I-----------1-----------------+-H------------------------

33+53+5+73+5+7+..+21

【考点】通项归纳【难度】3星【题型】计算

111

【解析】先找通项：an

3+5++(2〃+1)gx(2〃+l+3)x〃+2)

原式,+'+,+'+11

~\-------------1-------------

1x32x43x54x69x1110x12

111111

---------1-----------F.,■++----------1------------F--+•

1x33x59x112x44x610x12

175

264

175

【答案】

264

【巩固】计算：-+-^+—-—+——-——+---------------+--------------------

22+42+4+62+4+6+82+4+6+8+102+4+6+8+10+12

【考点】通项归纳【难度】2星【题型】计算

【关键词】南京市，第三届，兴趣杯，决赛

【解析】先通项归纳：an--------------=---------------=―—-,

2+4++2"|x（2+2w）x«巾+1）

111111

原式=---------1------------1------------1------------1------------1----------

1x22x33x44x55x66x7

【答案】-

7

111

a

[例4]3+一+---------1999--------

(l+-)x(l+-)xx(l+^-)

1+-(l+-)x(l+-)

223231999

【考点】通项归纳【难度】3星【题型】计算

11

2c/11、

【解析】_____________几+1__________〃_+_1=2x(-----------)

a+；)x(i+»J(I+L)〃+2("+1)("+2)n+1n+2

2

111999

原式=-+(-~■)x2=1-

2334451999200010001000

999

【答案】

1666

2x24x46x68x810x10

[例5]----------1------------1------------1------------1-------------

1x33x55x77x99x11

【考点】通项归纳【难度】3星【题型】计算

-^―=l+-l—=1+1

【解析】（法1）:可先找通项v

n-1H-1(71-1)X(77+1)

原式=(1+2)+(1+工)+(1+工)+(1+工)+(1+;^7T)

1x33x55x77x99x11

u1八1、u5厂5

=5H—x(1)=5H—=5——

2111111

石W-2、,88、1818、3232、z5050、

3355779911

610141850szi6「5

3579111111

59

【答案】

11

1

【巩固】XX1+

992—1

【考点】通项归纳【难度】3星【题型】计算

15+1)25+1)2

【解析】

(«+1)2-1-(«+1)2-1-wx(n+2)

后*2x23x398x9899x99

=_____________x_____________xx________________x________________

'、"(2+l)x(2-l)(3+l)x(3-l)(98+l)x(98-l)(99+1)x(99-1)

2x23x34x45x598x9899x9929949

=----X-----X-----X-----Xx______x________—__x____—I___

3x14x25x36x499x97100x98-1100-50

【答案】1竺49

50

【巩固】计算：乙?2三32X992

XX------

99,-1

【考点】通项归纳【难度】3星【题型】计算

(〃+1『5+1)2

【解析】通项公式:

(w+l+l)(〃+1-1)〃(及+2)

hw2x23x34x498x9899x99

,甲—________x_____________x______________xx________________x________________

'、"(2+l)x(2-l)(3+l)x(3-l)(4+l)x(4-l)(98+l)x(98-l)(99+1)x(99-1)

2x23x34x45x598x9899x99

—____x_____x_____x_____xx_______x________

3x14x25x36x499x97100x98

2233449898999929999

=—X—X—X—X—X—XX——X——X——X---_x____—___

1324359799981001100-50

99

【答案】—

50

1+21+2+31+2+3+41+2+3+-+50

［例6］____x________X___________Xx

22+32+3+42+3+.+50

【考点】通项归纳【难度】4星【题型】计算

(l+n)xn

2_nx(n+1)

【解析】找通项an=

(1+n)xnnx(n+l)-2

--------------------1

2

原式=经3x44x55x62x33x44x55x6

X----X-----X----X=----x-----X-----X-----X

41018281x42x53x64x7

通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有

仁*2x33x44x55x648x4949x5050x51350c23

周、------X-----X-----X-----Xx______x_______x_______——x__=2___

1x42x53x64x747x5048x5149x52-152-26

［答案1

26

1

[例7]计算:---------1-----------------------1----------------------------------FH------------------------------------

1x2Ix2+2x3Ix2+2x3+3x4Ix2+2x3+3x4++9x10

【考点】通项归纳【难度】3星【题型】计算

【解析】由于Ix2+2x3+

____________1____________3

Ix2+2x3++nx(n+l)H(H+1)(H+2)

rz；v3333

原式=-------+--------+--------+-+----------

1x2x32x3x43x4x59x10x11

+1六一高

81

【答案】

HO

计算：-+2+2004-2005-2005-2006-

[例8]++++

1x22x32004x20052005x2006

【考点】通项归纳【难度】3星【题型】计算

【解析】（法1）:可先来分析一下它的通项情况,

n2+(n+1)2n2+(篦+1)2nn+1

=---1---

nx(H+1)nx(H+1)nx(n+1)n+1n

2132、43、54、20052004、20062005、

原式二zzzz

T+2+2+3+3+4+4+5++2004+2005+2005+2006

r2005^^2005

=2005x2+----=4010----

20062006

_T?+(U+1)2_2九2+2九+1=2+^—=2+1

(法2)：

an2

HX(H+1)n+nn+nnx(H+1)

【答案】4呜i

19QOQ

[例9](1——)x(2——)x(3--)x..x(8--)x(9-—)

234910

【考点】通项归纳【难度】3星【题型】计算

〃(〃+1)—〃n2

【解析】通项为：a=n.....-

〃n+177+1n+\

222

6L、1234

原式=-x—X——X—)xx——x—=3x4x6x7x8x9=36288

2345910

【答案】36288

2222222222222

rttllinlI1+2l+2+3l+2+3+4I+2+...+26

I3l3+23l3+23+33l3+23+33+43…I3+23+...+263

【考点】通项归纳【难度】4星【题型】计算

nx(n+l)x(2n+1)

l2+22+...+n222n+l21、

【解析】6A

I3+23+...+w3n2x(n+1)23〃x(〃+1)3nn+1

4

11111I

原式二一x[(一+—)一(一+—)+(—+-)

3122334

52

【答案】

81

[例11]24x(^—1

+•••H--------------

<2x34x520x21)UI2+22I2+22+---+102

【考点】通项归纳【难度】3星【题型】计算

【解析】虽然很容易看出」一="!■-4，^―=---……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不

2x3234x545

象分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式

1〜+2~+32+...+n=—xnx(n+1)x(2n+1)

6

]6

于是我们又有

I2+22+32+---+n2nx(zz+1)x(2〃+1)

减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个“

呢？

----------1H•••H......---1--+•••H-----------------

2x34x5---------20x21)UI2+22I2+22+---+102

=24X-------------1--------------F•••H----------------------------6X--------------------1---------------------F•••H------------------------------

12x34x520x21J(1x2x32x3x510x11x21

〜(1111〜(1

=24x------H----------1■…H----------------24x-----------—^...—M

12x34x520x21J(2x4x34x6x5++20x22x21；

11]

=24x+…+

<2x34x6x520x2120x22x21

-M=6xpU，+…+，

=24x------+-------+…+

12x44x620x22；11x22x310x11

【答案】—

11

I222992

【例12】计算:-----------------------1—------------------------FH-------------------------------

12-100+500022-200+5000992-9900+5000

【考点】通项归纳【难度】4星【题型】计算

“2

【解析】本题的通项公式为二——--------,没办法进行裂项之类的处理.注意到分母

Z72-100M+5000

n2-100n+5000=5000-；7(100-n)=5000-(100-M)[100-(100-n)],可以看出如果把“换成

100-〃的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个

5。2

502-5000+5000,

将项数和为100的两项相加，得

n2(100-71)2n2+(100-n)22/-200"+10000。

----------------------------1-----------------------------------------------------=----------------------------=--------------------------------=2,

n2-100n+5000(100-n)2-100(100-n)+5000»2TOO"+5000H2-100〃+5000

所以原式=2x49+1=99.(或者，可得原式中99项的平均数为1,所以原式=1x99=99)

【答案】99

22426219982

【例131计算:--------X----------X----------XX-----------——

32-152-172-119992-1

【考点】通项归纳【难度】4星【题型】计算

(2九『2nx2n_n

【解析】通项归纳:

(2〃+1)2—12〃x(2〃+2)n+1

原式」「占.x_9_9__9____1__

234100()-1000

【答案】

1000

【例14］计算：三f+三'士少+82+92+102

H--------------------------

33+53+5+.+17

【考点】通项归纳【难度】4星【题型】计算

12+22+3222+32+4282+92+102

【解析】原式=+