2024全国初中数学高中自招竞赛试题 因式分解（解析版）

专题05因式分解

学校:姓名：班级:考号：

一、填空题

1.(2024.全国•八年级竞赛)若x=l,则

1+X+X。+X)+x(l+x)2+X。+x)3+…+X。+x)x'3+XI+X)20"=.

【答案】22M5

【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题

的关键.将所求代数式反复提取公因式(X+D,得到(I+X产'，再将X=1代入即得答案.

【详解】解：当X=1时，

原式=(1+x)[l+X+A(1+X)+X(1+X)2+A(1+x)3+…+X(1+X严2+X(1+X严。

—(1+x)-[l+x+x(l+X)+x(l+x)~+x(l+x)‘+…+x(l+X严"+x(]+x)-0i~]

=(l+x)

二22015

故答案为：2235.

2.(2024・全国.七年级竞赛)若“、6是正整数，且756a=3,则。的最小值是.

【答案】98

【分析】本题主要考查了因式分解、有理数乘方等知识点，掌握因式分解的应用是解题

的关键.

先将756因式分解，然后表示出a的最小值即可解答.

【详解】解：：756=33x2^x7,156a=b3,

.上一_二

**a-756-33x22x7；

■•ainin=2x7"=98.

故答案为98.

3.(2024全国•八年级竞赛)已知“、人为正整数，且满足ab+a+b=2011,则满足条件

的有序实数对(。，方)的组数是.

【答案】4

【分析】本题主要考查因式分解的应用，将必+0+8+1=2012变形为

(a+l)(ft+1)=22X503,

根据人人为正整数得a+122,6+122,再分类讨论即可求解

【详解】解：•.5+4+6+1=2012,

.,.（a+l）（/,+l）=22x503,

又“、匕为正整数，

.*.«+1>2,Z?+l>2,

J+1=2J。+1=4p+l=503p+l=1006/

"p+l=1006，'[/7+l=503，j6+1=4'[b+\=2'共。组，

即有序实数对（。，力共有4组.

4.（2024•全国•八年级竞赛）设/+2〃_1=0,h4-2b2-1=0,且1-加工（），则

翻+/-3°+1£1

2at------------'

【答案】-1

【分析】本题考查了分式的化简求值，将/+2〃-1=0与64-2/一1=0的差进行因式分

解，得到R+⑹（〃-从+2）=0,推出〃与匕的关系，并判断其是否满足1一他、0,最

后将其代入产「J中化简求解，即可解题.

【详解】解：（4+2。-1）一（/-»2-1）=0,（。+从）（。一/+2）=0,

若a-加+2=0,则〃=a+2,

贝Ijl—a"=l_a（a+2）=_（/+2a_l）=0,矛盾.

所以a+〃=0,

即从=一〃，

所以

/,2,°,\2015（o,'2015z..\2OI5,x2OI5

cib+h2-3ci+1।-a2-〃-3〃+1a2+2a+2a-1।（2aj1

、2aJt2<7JI2aJ\2a）

故答案为：-1.

5.（2024•全国•八年级竞赛）若加=”+2015,〃2=m+2015（，〃/〃），则田-2如?+/的

值为.

【答案】-2015

【分析】本题考查整式的化简求值，利用〃=〃+2015与〃2=胆+2015（加工”）的差，结

合平方差公式进行因式分解，得出，"+"=-1,将加-2〃皿+”3变形为含〃?+〃的式子，

再将机+〃=-1代入式子，即可解题.

试卷第2页，共17页

【详解】解：由题知，/_〃2=〃_6，

则m+n=-\,

又M—2mn+n3=m^m2—〃)—〃(〃？一〃，=2015(m+H)=—2015.

故答案为：—2015.

6.(2024・全国•八年级竞赛)已知多项式/+7而+M2—50+43。—24分解因式后能够变

成两个含有。、匕的一次因式的乘积，则实数2的值为.

【答案】-18

【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式，二元一次方程组的求解，根据因式

分解结合多项式乘以多项式可得加+〃=7①，攵②，3〃-8利=43③，利用加减消

元法求解二元一次方程组得到团，〃的值，即可求出最后结果.

【详解】解：/+7而+加一5〃+43。-24可分解为(。+加2+3)(。+)必-8),

.,.(a+/?/%+3)(a+8)

=a?+inab+3。+nab+mnb1+3nb—8a—8mb-24

=a2+[m+ri)ab+nmb1-5々+(3〃一8m)人一24,

cr+lab+kb1—5a+43Z?-24,

:.m+n=l®,mn=k②,3〃-8M=43③,

③一3x①得：一8m—=43—3x7,解得：m=-2,

将相=一2代入①得：n=9,

;.k=mn=-18,

故答案为：-18.

7.(2024・全国•八年级竞赛)已知：x=2012r+801,y=2012r+803,z=2012r+805,

则J+y2+/一肛一片_ZX=.

【答案】12

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出兀-y=-2,y-z=-2,X-Z=-49

再根据完全平方公式把原式因式分别为g[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)]，据此代值计算

即可.

【详解】解：Vx=2012r+801,y=20⑵+803,z=20⑵+805,

x-y=-2,y-z=-2,x-z=-4

x2-I-y2+z2-xy-yz-zx

222

^^(%-2xy+/)+i(/-2yz+2)+1(x-2xz+z2

=1(4+4+16)

=12,

故答案为：12.

8.(2024・全国•八年级竞赛)分解因式：1-病-/+2〃m=

【答案】+

【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，利用添括号把1-病-〃2+2〃机后三项放

一起，得到1-(1-2,W〃+/),利用完全平方公式进行因式分解，得到1_(机-”)2,再

利用平方差公式因式分解即可求解，掌握分组分解法是解题的关键.

【详解】解：原式=1一(，〃一〃)2,

=(1+加一”)(1一加+〃),

故答案为：｛\+m-ri)[\-m+n).

9.(2024.全国•七年级竞赛)若|2x-3|+(y-2)2=O,则/_2孙+y2=.

【答案】-J-/0.25

4

【分析】根据非负数的性质求出x=T，y=2.再把字母的值代入f—2孙+y2=(x—y)2

进行求解即可，此题考查了求代数式的值、完全平方公式和非负数的性质，求出字母的

值是解题的关键.

【详解】解：V|2x-3|+(y-2)2=0,|2x-3|>0,(y-2)2>0,

A|2x-3|=O,(y-2)2=O,

2x—3=0,y—2=0,

.3

・・%==92.

x2-2xy+y1

=(x_y『

试卷第4页，共17页

1

~4f

故答案为：—

4

10.（2024•全国•八年级竞赛）已知一43c的三边为a、b、c,且满足4-?+,=―J~-

abco-b+c

则JSC的形状为.

【答案】等腰三角形

【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的判定，先将分式变形得出

止宏型=，^，得出%=[（.—〃）+c][ab—c（a—6）],再进行因式分解，进而

得出〃=6或6=°,即可得出答案.

1111

【详解】V----1-=-----

abca-b+c

.hc-ac+ab1

,•-------=-----

abca-b+c

abc=[(a-Z?)+c]["-c(a-b)]

ab^a-b]-c^a-by+abc-c2(a-b),

(a-/?)[(aZ?-ac)+(bc-c2)]=0,

/.(tz-Z?)(Z?-c)(6f4-c)=0,

••a—bWcb=c.

故答案为：等腰三角形.

11.（2024♦全国•八年级竞赛）已知/+从=2,/+/=10。3,则多项式

{ax+by）2+（bx-ay）2的值为.

【答案】2006

【分析】本题考查了整体代入求多项式的值，整式的混合运算，分组法因式分解等知

识.先将（公：+。），）2+（公—砂尸进行计算得至I」//+//+//+。29，再利用分组因式

分解得到（/+用（f+力，整体代入即可求解.

【详解】解：（仪+b）2+（以-砂＞

=a2x2+b2y2+2abxy+b2x2+cry2-2abxy

=a2x2+b2x2+b2y2+a2y2

=*2（a2+从）+y2+）

=（。2+/;2）卜2+力

=2x1003

=2006.

12.（2015•全国•八年级竞赛）若”为整数，且J〃2+9〃+30是自然数,则〃=.

【答案】-14或-7或—2或5

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，设J”2+9〃+30=P（P

为非负整数），贝IJ可推出（2〃+9）2+39=4犷，进而得至iJ（2p+2”+9）（2p—2〃—9）=39,

再由题意可得2P+2〃+9和2P-2〃-9都是整数，再由39=-lx（-39）=lx39,由此得

2p+2〃+9=lj2p+2〃+9=39j2p+2〃+9=3、j2p+2〃+9=13

2p-2n-9=39^[2p-2n-9=\[2/7-2n-9=l3^（2/?-2n-9=3,解方程组

即可得到答案.

【详解】解：设J/+9〃+30=p（P为非负整数）,

/+9〃+30=p2,

：.4/+36〃+120=4/

.,.（2n+9）2+39=4p2,

,2

..4/r-（2/I+9）=39,

（2p+2〃+9）（2p-2〃-9）=39,

，都为整数，

2/?+2〃+9和2。-2〃-9都是整数,

39=1x39=3x13

j2p+2〃+9=l、J2P+2〃+9=39j2p+2〃+9=3j2p+2〃+9=13

（22-2〃-9=39或12p-2〃-9=l或12p-2〃-9=13或12p-2〃-9=3

〃=10p=;°或…或〃二4

解得14或

n=-ln=-2

二〃=一14或-7或—2或5,

故答案为：-14或-7或—2或5.

22

13.（2024•全国•九年级竞赛）分解因式：a-b-2a+l=

试卷第6页，共17页

【答案】(a-\+b)(a-1-b)

【分析】先分组，得至U(“2-24+1)-62,运用完全平方公式变形得到(a-1)?-从，再根

据平方差公式分解因式.

［详解］a2-b2-2a+\=(a2-2a+l)-b2=(a-l)2-/?2=(a-l+&)(«-l-Z?),

故答案为：(a—l+b)(a—1—力.

【点睛】此题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分

解，因式分解常用的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，因式分

解必须分解到每个因式都不能分解为止.

14.(2024•全国•八年级竞赛)正整数以6满足必+a+8=90,则而=.

【答案】72

【分析】本题考查因式分解的应用，根据条件可得(。+1)仅+1)=91,然后由a、6为正

整数，可得。+1>1且6+1>1,进而求出a,b的值，代入求值即可.

【详解】解：•.,"+a+A=9O,

ab+a+b+l=9i,即(a+l)(6+l)=91,

又,：a、b为正整数，

且b+l>l

.J67+1=7p+l=13

,力+1=13，［*+1=7'

［a=6(a=12

解得：,［。或L£,

\b=\2［b=6

ab=6xl2=72>

故答案为：72.

15.(2024・全国•八年级竞赛)分解因式：2/-12/丫+18孙2=.

【答案】2x(x-3y)2

【分析】本题主要考查提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式2x,再运用完全

平方公式进行分解因式即可求解，掌握分解因式的方法是解题的关键.

【详解】解：2x3-12x2y+18xy2

=2x(x2-6孙+9y2)

=2x(x-3>,)2,

故答案为：2x(x-3y)2.

二、单选题

16.(2024.全国•八年级竞赛)若、=,20072+20072*ZQQG+2008'，则关于"的说法正

确的是().

A.是正整数，而且是偶数B.是正整数，而且是奇数

C.不是正整数，而是无理数D.无法确定

【答案】B

【分析】设"=2007,将根号下的整式通过加添项凑成完全平方式，去掉根号，再根据

整式的性质进行判断正负性和奇偶性，本题考查了运用完全平方公式分解因式，解题的

关键是：熟练掌握完全平方公式，及加添项的分解因式技巧.

【详解】设”=2007,

a=J/+〃2++

=++2〃(”+1)+["(”+1)了

=++1)+[〃(〃+1)丁

=++了

=1+«(«+1)

"("+1)是偶数，

.•.1+〃(”+1)是奇数，选项B符合题意，

故选：B.

17.(2024・全国•九年级竞赛)任意正整数”都能够分解成两个正整数的乘积，若相乘的

这两个正整数之差的绝对值最小，则分别记为。、b(a<b),并规定/(〃)=£.例如：

71q

/(6)=§，/(7)=],/(12)=1,现有下列说法：

①42)=4；②〃24)=J；③若〃是一个完全平方数，则/(〃)=1；④若〃是一个完全

立方数，即〃是正整数)，则/(〃)=;.其中正确的有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

试卷第8页，共17页

【答案】B

【分析】此题主要考查了完全平方数，分解因数，新定义的理解和应用，掌握分解因数

的方法是解本题的关键.

①将2分解因数，进而找出2的两个因数即可得出结论；

②将24分解因数，进而找出24的两个因数即可得出结论；

③根据题意找出n的符合题意的分解即可得出结论；；

④利用“相乘的这两个正整数之差的绝对值最小”举出反例，进而确定此说法错误即可.

【详解】解：①：2=lx2,,/⑶毛，此说法正确；

②24可以分解成1x24,2x12,3x8或4x6,因为24-1>12-2>8-3>6-4,所以4x6是24

的符合题意的分解，所以〃24）V，故错误；

③Q〃是一个完全平方数，

设〃=X2（尢>0）,

・••XXX是〃的符合题意的分解，则此说法正确；

④若〃是一个完全立方数，即〃="（“是正整数），a是正整数，如64=43=8x8,

Q11

”64）44,则〃〃）=上不一定成立，此说法错误.

ooa

综上所述，有两个正确，

故答案为：B.

18.（2024・全国•八年级竞赛）三位数次的平方的末三位数恰好是诙，这样的三位数

abc有（）

A.0个B.1个C.2个D.多于2个

【答案】C

【分析】本题考查分解因式的应用，掌握提取公因式分解是解题的关键.

【详解】由题意知（而丁-/=忘（而-1）是1000的倍数，

V1000=8x125,（abc\abc-l）=l,

，（1）8整除次且125整除（次-1）；（2）125整除次且8整除（五-1）,

由（1）得正=376，由（2）得正=625，

，共有两个，

故选C.

19.（2024・全国•八年级竞赛）已知实数"人〃、p满足，”2-2p=7,川-6%=—17,

p2+2n=-l,则心+〃+〃的值等于().

A.2B.4C.3D.5

【答案】C

【分析】本题考查了因式分解的完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是

解答本题的关键，先将三式相加，并移项配方成三个完全平方式，即可得到答案.

【详解】将m2-2p=7,tv-6m=-17,p?+2〃=-1三式相加，

得m2一2p+tr-6m+/?2+2/?=7—17-1

整理得nr—6m+9+n2+2〃+1+p?-2p+1=0

BP(w-3)2+(/?+l)2+(p-l)2=0

.•.6=3,n=—[,〃=1,

..m+n+p=3.

20.(2024・全国•八年级竞赛)己知在中，b、c是三边的长，且

a2—12b2-c2+4ab+8bc=0，刃H么----的值是().

a+c

1Q

A.-B.!C.-D.1

424

【答案】B

【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式因式分解，根据完全平方公式变形得出

(4+26)2-(46-C)2=0,得出(a+27?+4b-c)(a+2人一46+C)=0,求出a—4+C=0,

再代入求值即可得出答案.

【详解】解：.°2-12〃-,2+4,活+8公=0,

:.(a2+4ab+4b2)-(l6b2-8bc+c2)=0,

(a+2Z?)2-(4Z>-c)2=0,

(a+2^+4b-c)(a+»-4b+c)=0,

a+h-c>0,

：.a+6b-c^0,

:.a-2b+c=0,

b_1

----=.

a+c2

故选：B.

21.(2024•全国•八年级竞赛)已知〃、〃、c分另ij是ABC的三边，贝ij(病+〃-/了-4//

试卷第10页，共17页

为()

A.正数B.负数C.零D.无法确定

【答案】B

【分析】本题主要考查了因式分解，三角形三边的关系，先利用平方差公式和完全平方

公式把原式分解因式得到(a+Hc)(a+匕-8-c),再根据三角形中，任

意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边推出(/+〃—4/"<o即可得

到答案.

【详解】解：(a2+b2-c2^-4a2b2

=(/+b2+2ab-c2^a2+b2-2ab-c2^

=[(a+0)2-c2][("b)2-c1

=(a+b+c)(q+A-c)("6+c)(a-/7-c),

,・"、b、c分别是，ABC的三边，

a+b+c>09a+h—c>0,a+c—/?>0,a—b—c<0,

:.(〃+Z?+c)(Q+b-c)(〃-b+c)(〃-Z?-c)<0,

(〃2+人2-c2y一4〃2匕2<Q

故选：B.

22.(2024・全国•八年级竞赛)若多项式/+即+12因式分解得(x+3)(x+〃)，则6+〃=

()

A.8B.9C.10D.11

【答案】D

【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算.根据因式分解的定义，列出

等式，利用等式性质分别求出机和〃的值，再求解即可.

【详解】解：由已知，

(X+3)(X+H)=X2+(3+〃)X+3〃=%2+〃ZX+12

故可得，3+〃=6,3〃=12,

n=4,m=3+n=l,

.**w+n=4+7=11,

故选：D

三、解答题

23.(2024.全国•八年级竞赛)有〃(“W2且为整数)支乒乓球队进行单循环赛，每支参

赛队同其他各队都进行一场比赛.如果用q和仿分别表示第/•(i=L2,3,,〃)支球队

在整个赛程中胜与负的局数

求证：a\+匹+L+“：=bf+b；+L+b~.

【答案】见解析

【分析】本题考查了等式证明问题，利用平方差公式进行因式分解，作差比较是非常常

用的方法.找出比赛规则下隐含的条件且q+的++凡=4+仇++b„

是证题的关键.

【详解】证明：•••比赛没有平局，且所有球队胜的总场数与负的总场数相等，

cij+bj=〃-1,4+/++。〃=4+4++b”.

.•.才一环=3+1)3—])=(〃T)(q一1),

：(4+域+.+d)_(b]2+&+)

=侬_加侬智)++(a”f)

=(4+伪)(4一伪)+(%+©(生一4)+,+(。”+2)(。"一々)

=(〃-1)(4-伪)+(〃-1)(%-4)++(〃-。(4,-勿)

-1)[4_〃+%_,++an-bn]

=(〃-乳4+/+-+an-bt-b2----仇]

=(n-l)[(a1+a2+--+a)n-(Z?1+Z?2+--+&„)]

=0；

:.af+a^++a；=〃：+,++8.

24.(2024.全国.九年级竞赛)中国古代数学家秦九韶和古希腊数学家海伦分别提出了一

般三角形面积的计算方法：

①S=J；a2h2-j-cj；®S=Jp(/?-a)(/?-Z>)(p-c).

(其中a、从c•为三角形的三边长，p=为面积)

试卷第12页，共17页

2

/a2+t1r2-c2

⑴请证明:=Jp(p_a)(p_b)(p_c)；

,2-

(2)如图，线段MV=6,点8在MN上，且MB=4,点A是线段MB上一点，分别以A、8

为圆心，40、8N的长为半径画圆，A和-8交于点P,直接写出R4B的面积的最

【答案】(1)见解析

⑵G

【分析】本题考查了乘法公式的应用，二次函数的图象与性质.

(1)对被开方数的字母因式利用乘法公式变形即可完成；

(2)设/W=a,则PA=4-“，利用S=Qp(p_a)(p_b)(p_c)表示出面积,再利用二

次函数知识即可求解.

【详解】(1)证明：a2b2-[a+b~C

-TIN

222222

=-[ab+a+b-c}(八a+b-c

4-一^L

1(a+b)2-c2c2-(a-b)2

=-X-------------------------X----------------------------

422

1(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)

=-x------------------------------------------x---------------------------------------------

422

a+b+ca+b-cc+a-bc+b-a

=,**t

2222

..a+h+c

•P-~，

Aa+b-c=2p-2ac+a-b=2p-2b,c+b-a=2p-2a,

.a+h+ca+h-cc+a-hc+h-a

・・--------------------------------------------

2222

=p(p-c)(p-b)(p-a),

=Qp(P-a)(p-b)(p-c)；

⑵解：设AB="，则PA=MB-AB=4-a,PB=BN=MN—MB=2,

/.p=gMN-3,

5=j3(3-a)(3-2)[3-(4-明

-丁3(-a，+4a-3)

=V-3(a-2)2+3.

而对于-3(a-2>+3,当a=2时，它有最大值3,

，S有最大值G；

故答案为：6

25.(2024・全国•八年级竞赛)在实数范围内因式分解：

(l)-2x3+2y/6x2y-3xy2；

⑵a,+a2-6;

(3)4(6+1)，-4/-8/T.

【答案】(l)-x(缶-网2

⑵(a++3)

⑶(2/+47?+1丫

【分析】本题考查了实数范围内的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关

键.

(1)先提取公式因，再利用完全平方公式的方法进行因式分解即可；

(2)利用完全平方公式和平方差公式的方法进行因式分解即可；

(3)利用完全平方公式的方法进行因式分解即可.

【详解】(1)解：-2x3+2\Jbx2y-3xy2

=-x(2x2-2y/6xy+3y2)

=-x(应x)-2y/6xy+^>/3y^

=-x(>/2x->/3y)；

(2)a4+a2-6

=("-2)(a2+3)

=+-+3)；

试卷第14页，共17页

（3）4（6+1）**-4〃-8b—3

=4（/?+l）4-4（/?+l）2+l

=[23+1）2-1『

=（2/+46+1）2.

XXX

26.（2024・全国•八年级竞赛）己知。+++

m~+1m~+1+1

ahc111sd

SLabc=6,求一+---F------------的值.

becaababc

【答案】y

【分析】本题考查了分式化简求值，根据题意得出a-b=-l,6-c=-l,c-a=2是解题关

键.

【详解]解：依题意得：a-b^-\,b-c=-\,c-a=2,

目_ti,矿+Z?~+c~—be—cci—ab

原式=---------------------

abc

二2〃2+2b2+2c2-2bc-2ca-2ab

2abc

（6f-/?）2+（Z?-c）2+（＜?—〃1

2abc

_（T）2+（T）2+22

2x6

一万.

532

27.（2024・全国•八年级竞赛）设a,b,c,d都是正整数，B^a=b\c=d,c-a=339

求d+Z?的值.

【答案】5937或375

【分析】本题主要考查了幕的乘方、因式分解的应用、解方程组等知识点，灵活运用相

关知识成为解题的关键.

设/=/=m2O,c3=d2=