2024年高考数学大一轮(人教A版文)第四章4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质复习讲义(学生版+解析)

§4.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质考试要求1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．知识梳理1．简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0振幅周期频率相位初相AT＝____f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2.用“五点(画图)法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径常用结论1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.()(2)函数f(x)＝sin2x向右平移eq\f(π,6)个单位长度后对应的函数g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).()(3)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，所得函数解析式为y＝sineq\f(1,2)x.()(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为eq\f(T,2).()教材改编题1．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的振幅、频率和初相分别为()A．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,4) B．2，eq\f(1,2π)，eq\f(π,4)C．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,8) D．2，eq\f(1,2π)，－eq\f(π,8)2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))图象上所有的点()A．向左平移eq\f(π,5)个单位长度B．向右平移eq\f(π,5)个单位长度C．向左平移eq\f(π,15)个单位长度D．向右平移eq\f(π,15)个单位长度3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)t－\f(π,6)))，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象，则f(x)等于()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))C．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(7π,12))) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq\f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．跟踪训练1(1)(2023·金华模拟)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，若将f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则()A．g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6))) B．g(x)＝sin4xC．g(x)＝sinx D．g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))(2)(2023·宁夏模拟)将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))(ω>0)的图象分别向左、向右各平移eq\f(π,6)个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为()A.eq\f(3,2)B．2C．3D．6题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)(2023·包头调研)函数f(x)＝2sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))的图象如图所示，现将y＝f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))C．y＝2cos2x D．y＝2sin2x听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝______.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．跟踪训练2(1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)x＋\f(π,6)))B．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(π,6)))C．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x－\f(π,6)))D．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(π,6)))(2)(2023·潍坊模拟)已知函数g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35π,12)))＝________.题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合应用例3若函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法中，正确的是()A．函数g(x)的图象关于直线x＝eq\f(7π,24)对称B．函数g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，0))对称C．函数g(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋2kπ，\f(π,12)＋2kπ))，k∈ZD．函数geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))是偶函数听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________．命题点3三角函数模型例5(2023·乐山模拟)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为()A．摩天轮离地面最近的距离为4米B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cos

eq\f(π,15)t＋68C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为15D．∃t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3(1)(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－π<φ<－\f(π,2)))的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的eq\f(11,10)倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是()A．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))为偶函数B．g(x)的最小正周期是πC．g(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称D．g(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，π))上单调递减(2)(2023·六安模拟)已知函数f(x)＝sinπωx－eq\r(3)cosπωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(23,6))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(13,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(17,6)，\f(13,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(17,6)，\f(23,6)))(3)(2023·青海模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t－\f(π,8)))，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin

\f(3π,10)≈0.8))()A．1.4hB．2.4hC．3.2hD．5.6h§4.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质考试要求1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．知识梳理1．简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2.用“五点(画图)法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径常用结论1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(×)(2)函数f(x)＝sin2x向右平移eq\f(π,6)个单位长度后对应的函数g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(×)(3)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，所得函数解析式为y＝sineq\f(1,2)x.(×)(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为eq\f(T,2).(√)教材改编题1．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的振幅、频率和初相分别为()A．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,4) B．2，eq\f(1,2π)，eq\f(π,4)C．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,8) D．2，eq\f(1,2π)，－eq\f(π,8)答案A解析由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的振幅为2，频率为eq\f(1,π)，初相为eq\f(π,4).2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))图象上所有的点()A．向左平移eq\f(π,5)个单位长度B．向右平移eq\f(π,5)个单位长度C．向左平移eq\f(π,15)个单位长度D．向右平移eq\f(π,15)个单位长度答案D解析因为y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))＝2sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,15)))，所以要得到函数y＝sin3x的图象，只要把函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))图象上所有的点向右平移eq\f(π,15)个单位长度即可，故选D.3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)t－\f(π,6)))，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是m.答案1解析当t＝12时，f(12)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5π－\f(π,6)))＝2sin

eq\f(5π,6)＝1，即12点时潮水的高度是1m.题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象，则f(x)等于()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))C．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(7π,12))) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))答案B解析依题意，将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))eq\o(→,\s\up10(将其图象向左平移\f(π,3)个单位长度))y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))的图象eq\o(→,\s\up7(所有点的横坐标扩大到原来的2倍))f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))的图象．(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案C解析记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ωx＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,3))))).因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得ω＝2k＋eq\f(1,3)(k∈Z)．因为ω＞0，所以ωmin＝eq\f(1,3).故选C.思维升华(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq\f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．跟踪训练1(1)(2023·金华模拟)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，若将f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则()A．g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6))) B．g(x)＝sin4xC．g(x)＝sinx D．g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))答案D解析将函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，可得函数y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象；再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图象．(2)(2023·宁夏模拟)将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))(ω>0)的图象分别向左、向右各平移eq\f(π,6)个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为()A.eq\f(3,2)B．2C．3D．6答案A解析将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后，可得f(x)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－\f(π,2)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)ω－\f(π,2)))，将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，可得g(x)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－\f(π,2)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)ω－\f(π,2)))，因为函数f(x)与g(x)的对称中心重合，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)ω－\f(π,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)ω－\f(π,2)))＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，即eq\f(π,3)ω＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，解得ω＝eq\f(3k,2)，k∈Z，又因为ω>0，所以ω的最小值为eq\f(3,2).题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)(2023·包头调研)函数f(x)＝2sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))的图象如图所示，现将y＝f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))C．y＝2cos2x D．y＝2sin2x答案D解析由图可知，y＝f(x)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，2))，解得φ＝eq\f(π,3)，将f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后得到y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝2sin2x.(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝.答案－eq\r(3)解析由题意可得，eq\f(3,4)T＝eq\f(13π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(3π,4)，∴T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2，当x＝eq\f(13π,12)时，ωx＋φ＝2×eq\f(13π,12)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－eq\f(13,6)π(k∈Z)．令k＝1可得φ＝－eq\f(π,6)，据此有f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,2)－\f(π,6)))＝2cos

eq\f(5π,6)＝－eq\r(3).思维升华确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．跟踪训练2(1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)x＋\f(π,6)))B．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(π,6)))C．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x－\f(π,6)))D．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(π,6)))答案B解析由图象知π<T<2π，即π<eq\f(2π,|ω|)<2π，所以1<|ω|<2.因为图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)，0))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)ω＋\f(π,6)))＝0，所以－eq\f(4π,9)ω＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以ω＝－eq\f(9,4)k－eq\f(3,4)，k∈Z.因为1<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝eq\f(3,2)，所以f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(π,6))).(2)(2023·潍坊模拟)已知函数g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35π,12)))＝.答案1解析由题图可知，周期T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2，所以g(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，－2))在g(x)的图象上，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋φ))＝－2，所以eq\f(5π,6)＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得φ＝eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，所以φ＝eq\f(2π,3)，所以g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，所以f(x)＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(2π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，故f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(35π,12)＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,6)＋\f(π,3)))＝1.题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合应用例3若函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法中，正确的是()A．函数g(x)的图象关于直线x＝eq\f(7π,24)对称B．函数g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)，0))对称C．函数g(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋2kπ，\f(π,12)＋2kπ))，k∈ZD．函数geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))是偶函数答案D解析由题意得，g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，将x＝eq\f(7π,24)代入g(x)得，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,24)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,3)))＝2sineq\f(π,4)≠±2，故A错误；将x＝eq\f(π,24)代入g(x)得，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq\r(2)，故B错误；令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z，故g(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5π,12)＋kπ))，k∈Z，故C错误；geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6)－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x，为偶函数，故D正确．命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是．答案(－2，－1)解析方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋eq\r(3)sin2x＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).设2x＋eq\f(π,6)＝t，则t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))，∴题目条件可转化为eq\f(m,2)＝sint，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))有两个不同的实数根．即直线y＝eq\f(m,2)和函数y＝sint，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))的图象有两个不同交点，作出y＝eq\f(m,2)，y＝sint的图象，如图中实线部分所示．由图象观察知，eq\f(m,2)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))，故m的取值范围是(－2，－1)．延伸探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是．答案[－2,1)解析同例题知，eq\f(m,2)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．命题点3三角函数模型例5(2023·乐山模拟)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为()A．摩天轮离地面最近的距离为4米B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cos

eq\f(π,15)t＋68C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为15D．∃t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米答案B解析由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A不正确；t分钟后，转过的角度为eq\f(π,15)t，则h＝60－60cos

eq\f(π,15)t＋8＝－60cos

eq\f(π,15)t＋68，故B正确；h＝－60cos

eq\f(π,15)t＋68，周期为eq\f(2π,\f(π,15))＝30，由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，又t1，t2∈[0,30]，且离地面高度相等，则t1，t2关于t＝15对称，则eq\f(t1＋t2,2)＝15，则t1＋t2＝30，故C不正确；令0≤eq\f(π,15)t≤π，解得0≤t≤15，令π≤eq\f(π,15)t≤2π，解得15≤t≤30，则函数h＝－60cos

eq\f(π,15)t＋68在区间[0,15]上单调递增，在区间[15,20]上单调递减，当t＝15时，hmax＝128，当t＝20时，h＝－60cos

eq\f(4π,3)＋68＝98>90，所以h＝90在t∈[0,20]内只有一个解，故D不正确．思维升华(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3(1)(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－π<φ<－\f(π,2)))的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的eq\f(11,10)倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是()A．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))为偶函数B．g(x)的最小正周期是πC．g(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称D．g(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，π))上单调递减答案B解析由图知，A＝2，f(0)＝－1，则2sinφ＝－1，即sinφ＝－eq\f(1,2)，因为－π<φ<－eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(5π,6).因为x＝eq\f(5π,6)为f(x)的零点，则eq\f(5πω,6)－eq\f(5π,6)＝kπ(k∈Z)，得ω＝1＋eq\f(6k,5)(k∈Z)．由图知，eq\f(5π,6)<T＝eq\f(2π,ω)<2π，则1<ω<eq\f(12,5)，所以k＝1，ω＝eq\f(11,5)，从而f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,5)x－\f(5π,6))).由题设，g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,5)×\f(10,11)x－\f(5π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,6)))，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(5π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))为非奇非偶函数，所以A错误；g(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，所以B正确；当x＝eq\f(π,2)时，2x－eq\f(5π,6)＝eq\f(π,6)≠eq\f(π,2)，则g(x)的图象不关于直线x＝eq\f(π,2)对称，所以C错误；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，π))时，2x－eq\f(5π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(7π,6)))，则g(x)的图象不单调，所以D错误．(2)(2023·六安模拟)已知函数f(x)＝sinπωx－eq\r(3)cosπωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(23,6))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(13,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(17,6)，\f(13,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(17,6)，\f(23,6)))答案A解析f(x)＝sinπωx－eq\r(3)cosπωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πωx－\f(π,3)))，因为x∈(0,1)，所以πωx－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，ωπ－\f(π,3)))，又因为函数f(x)＝sinπωx－eq\r(3)cosπωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，由图象得3π<ωπ－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,2)，解得eq\f(10,3)<ω≤eq\f(23,6)，所以实数ω的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(23,6))).(3)(2023·青海模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t－\f(π,8)))，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin

\f(3π,10)≈0.8))()A．1.4hB．2.4hC．3.2hD．5.6h答案B解析设t1时开始开放，t2时开始闭合，结合时钟花每天开闭一次，可得20－10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t1－\f(π,8)))＝20，t1∈[5,17]，解得t1＝9，20－10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t2－\f(π,8)))＝28，t2∈[5,17]，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t2－\f(π,8)))＝－eq\f(4,5)，由sin

eq\f(3π,10)≈0.8得sin

eq\f(13π,10)≈－eq\f(4,5)，由eq\f(π,8)t2－eq\f(π,8)＝eq\f(13π,10)得t2＝eq\f(57,5)∈[5,17]，∴t2－t1＝eq\f(12,5)＝2.4(h)．课时精练1．(2023·武汉模拟)为了得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,8)))的图象，只需将y＝sinx图象上每一点的纵坐标不变()A．每一点的横坐标变为原来的eq\f(1,4)，再向右平移eq\f(π,8)个单位长度B．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移eq\f(π,8)个单位长度C．先向右平移eq\f(π,8)个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍D．先向右平移eq\f(π,2)个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的eq\f(1,4)答案C解析y＝sinx图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin

eq\f(x,4)的图象，再向右平移eq\f(π,2)个单位长度得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,8)))的图象，故A，B错误；y＝sinx的图象先向右平移eq\f(π,8)个单位长度得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,8)))的图象，故C正确，D错误．2．(2023·烟台模拟)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象是由函数g(x)的图象向左平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))个单位长度得到的，若geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，则φ的值为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)答案A解析因为函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象是由函数g(x)的图象向左平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))个单位长度得到，所以g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－φ－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)－2φ)).因为geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2φ))＝－eq\f(\r(3),2).故可得eq\f(π,3)－2φ＝2kπ－eq\f(π,3)，k∈Z或eq\f(π,3)－2φ＝2kπ－eq\f(2π,3)，k∈Z，又0<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3).3．某城市一年12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos

eq\f(π,6)(x－6)(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28度，12月份的平均气温最低，为18度．则10月份的平均气温为()A．20.5度 B．21.5度C．22.5度 D．23.5度答案A解析令f(x)＝a＋Acos

eq\f(π,6)(x－6)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f6＝28，,f12＝18，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋Acos

\f(π,6)6－6＝28，,a＋Acos

\f(π,6)12－6＝18，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋A＝28，,a－A＝18，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝5，,a＝23，))所以f(x)＝23＋5cos

eq\f(π,6)(x－6)，所以f(10)＝23＋5cos

eq\f(2π,3)＝20.5.4．(2023·湘潭模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为()A．y＝－cos2x B．y＝cos2xC．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))答案C解析观察图象得A＝1，令函数f(x)的周期为T，则有eq\f(3T,4)＝eq\f(11π,12)－eq\f(π,6)＝eq\f(3π,4)，解得T＝π，则ω＝eq\f(2π,T)＝2，而当x＝eq\f(π,6)时，f(x)max＝1，则有2×eq\f(π,6)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，则φ＝eq\f(π,6)，因此，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，将y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度得f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6)))，所以将y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6))).5．(2023·赤峰模拟)已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移eq\f(2π,3)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则()A．g(x)的最小正周期是2πB．g(x)的最小值为－2C．g(x)在(0，π)上单调递增D．g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))对称答案C解析由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))；再将所得图象向右平移eq\f(2π,3)个单位长度得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2π,3)))－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(2π,3)))，所以g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(2π,3)))，其最小正周期为4π，最小值为－1.排除A，B；其单调递增区间为－π＋2kπ≤eq\f(1,2)x－eq\f(2π,3)≤2kπ(k∈Z)，解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋4kπ，\f(4π,3)＋4kπ))(k∈Z)，C正确；对称中心为eq\f(1,2)x－eq\f(2π,3)＝－eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得x＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以其图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，0))(k∈Z)对称，排除D.6．已知函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，则实数a的最小值为()A．πB.eq\f(π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(π,4)答案B解析函数f(x)＝－sin2ωx＝eq\f(cos2ωx－1,2)(ω>0)的最小正周期为eq\f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝eq\f(cos2x－1,2)，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，可得y＝eq\f(cos2x－2a－1,2)的图象，再根据所得图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，可得2×eq\f(π,3)－2a＝kπ，k∈Z，令k＝0，可得实数a的最小值为eq\f(π,3).7．(2022·镇江模拟)已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))解析将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，即g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，由eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)，x∈[0,2π]，得eq\f(π,6)≤x≤eq\f(7π,6).8．(2023·芜湖模拟)函数y＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则φ＝.答案－eq\f(π,6)解析由y＝sin(2x＋φ)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，可得f(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ))的图象，因为f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ))的图象关于y轴对称，所以－eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得φ＝kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z.因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6).9．(2022·杭州模拟)求范围和图象：(1)y＝sinx的函数图象先向左平移eq\f(π,4)个单位长度，然后横坐标变为原来的eq\f(1,2)，得到f(x)的图象，求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的取值范围；(2)如图所示，请用“五点法”列表，并画出函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))在一个周期内的图象．2x＋eq\f(π,4)xy解(1)由题设，可得f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，所以f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1)).(2)2x＋eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(π,8)eq\f(π,8)eq\f(3π,8)eq\f(5π,8)eq\f(7π,8)y020－20所以y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象如图．10．(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3))).(1)当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(9π,4)))时，求f(x)的最大值和最小值；(2)说明f(x)的图象是由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？解(1)当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(9π,4)))时，有－eq\f(π,4)≤eq\f(1,2)x－eq\f(π,3)<eq\f(19π,24)，可得－eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))≤1，故－eq\r(2)≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))≤2，则f(x)的最大值为2，最小值为－eq\r(2).(2)先将函数y＝sinx的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象；然后所得图象上各点的纵坐标不变，将横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的图象；最后所得图象上各点的横坐标不变，将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的图象．11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)的值分别为()A．f(x)＝eq\f(1,2)sin2πx＋1，S＝2023B．f(x)＝eq\f(1,2)sin2πx＋1，S＝2023

eq\f(1,2)C．f(x)＝eq\f(1,2)sin

eq\f(π,2)x＋1，S＝2024

eq\f(1,2)D．f(x)＝eq\f(1,2)sin

eq\f(π,2)x＋1，S＝2024答案D解析由图象知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(T＝\f(2π,ω)＝4，,A＋b＝\f(3,2)，,－A＋b＝\f(1,2)，))∴ω＝eq\f(π,2)，b＝1，A＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋φ))＋1.由f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))得eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＋1＝eq\f(3,2)，∴φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，则φ＝0.∴f(x)＝eq\f(1,2)sineq\f(π,2)x＋1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin0＋1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin

\f(π,2)＋1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinπ＋1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin

\f(3π,2)＋1))＝4.又2024＝4×506，∴S＝4×506＝2024.12．(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(x,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(x,2)))＋sinx，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,4)，纵坐标不变，然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ的值为()A.eq\f(π,24)B．－eq\f(π,24)C.eq\f(3π,8)D.eq\f(π,4)答案A解析由题意可知，f(x)＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(x,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(x,2)))＋sinx＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(x,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(x,2)))＋sinx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋sinx＝eq\r(3)cosx＋sin