2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市乌江新高考协作体高一（上）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.“x<1”是“久2一八+3>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知tan（a+力=,，则cos2（.一a）=（）

A.：B.4C.票D.碧

25252525

3.函数）/=4*+2计1+3（久€/?）的值域为（）

12

A.[2,+8）B.（3,+8）C储,+8）D.[9,+8）

4.已知tan（a+，）=2,tan（a—夕）=3,则力cm2上=（）

AiB.-1C.1D.-i

77

5.函数/（%）=As讥为常数，>1>0,3>0的部分图象如图片/、

所示，则f（0）的值为（）

A.V2B.CC.0D.-<2

2

6.已知a>b>0,二次函数/（%）=心+2一有且仅有一个零点,则七的最小值为（）

A.1B.AA2C.2D.272

.已知函数/（%）=心器弁二

73,若函数9（久）=〃久）-%。+1）|有9个零点，则实数k的取值范围为

（）

11„,111rl1、

B<一]，—跳射）

1111.[-；，一加口

C（-]，-4）U（d，ND

8.高斯函数是数学中的一种函数，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影.设

XER,用团表示不超过x的最大整数.则方程一=2[幻+1的解的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若募函数/(%)=(m2+m-11)久加一1在(0,+8)上单调递减，贝心)

A.m=3B./(-l)=1C.m=-4D./(-l)=-1

10.已知+。-2=3,则o+。一1等于()

A.y/~SB.—y/~SC.1D.-1

11.已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是()

A.sin6+a)=sin(引—a)B.sin©+a)=-cos第—a)

C.tan(^—a)=tan育+a)D.tan2crsin2cr=tan2a—sin2a

12.已知函数/(%)=(sinx+cosx)•\sinx—cosx\,下列说法正确的是()

A./(%)的最小正周期为7T

B.若If。1)|+If3)1=2,则比1+久2=：(kez)

C"(久)在区间［-9刍上是增函数

D.y=/(%)的对称轴是％=Mr+与(々€Z)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13,已知集合Z={-1,0,1},B={x\x=t2,tEA］,那么用列举法表示集合8=.

14,函数y=©)--2x的值域为.

15.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数“久+2)为偶函数，/(3)=3,则f(7)+f(4)=.

16.已知函数/0)=『：先；一：)1：”［。函数尸"=/(久)一口有四个不同的零点%「%2,久3,应且满足

1%—2%+Z,%>0

Xr<X2<X3<X4,则募+“3%1=%4%1的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

若函数f(%)是奇函数，g(%)是偶函数，且其定义域均为{%|%ER,x±1}.若/(%)+0。)=去，求/(%),

9(%)的解析式.

18.(本小题12分)

已知ta7ia=一了,求：

4

sin(27r—a)+cos(詈+a)

⑴求的值;

sin(a—

sina+cosa

⑵求sinTcosa的值.

19.(本小题12分)

已知函数f(x)=lg(3-4x+久2)定义域为M

(1)求定义域M；

(2)当xeM时，求g(x)=2>2-3X4工的最值及相应的久的值.

20.(本小题12分)

已知函数;'(©=翳是奇函数.

(1)求实数m的值；

(2)若对任意的t6[0,5],不等式/(/+2t+k)+/(—2/+2t—5)>0恒成立，求实数k的取值范围.

21.(本小题12分)

已知函数/(%)=\x-a\,g(x)=x2+2ax+l(a为正常数)，且函数/(久)和g(久)的图象与y轴的交点重合.

(1)求a实数的值

(2)若h(x)=/(%)+6/靛;(b为常数)试讨论函数八(久)的奇偶性；

(3)若关于x的不等式/'(x)-2jg(x)>a有解，求实数a的取值范围.

22.(本小题12分)

关于工的一元二次方/+mx+n=0恒有两个实数根X1，x2-

(1)当n=3-爪且两个根皆为负时，求实数优的取值范围.

(2)不等式t<(m-l)2+(n-l)2+(m-n/恒成立，求实数t的最大值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：解不等式--4%+3>0得x>3或x<1,

记4=(-co,1)(J(3,+oo),B=(-co,1),

因为B星A,

所以“x<l”是“/一4%+3>0”的充分不必要条件.

故选：A.

先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：,；tan(a+[)=,，

2

2不、.2,I冗、sin(a+S1119

22

4I4，sin(a+5)+cos(a+J)cos2(a+?)1+11+^25,

1+诉塔.2(呜)9

故选：B.

利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：令t=2，(t>0),

...函数y=4*+2X+1+3(%eR)化为/(t)=产+2t+3=(t+1)2+2(t>0),

y(t)>3.

即函数y=4X+2X+1+3(xeR)的值域为(3,+oo).

故选：B.

x

令t=2(t>0),把原函数转化为关于t的一元二次函数求解.

本题考查利用换元法及配方法求函数的值域，是基础题.

4.【答案】D

【解析】解：tan(a+°)=2,tan(a-/?)=3,

则tan2s=tan[(a+0)—(a—夕)]

tan(a+S)—tan(a—0)

~1+tan(a+£)tan(a—0)

2-3

=1+2x3

__i

=

故选：D.

由.2"tan[(a+£)-(a-期=；舞嘉黑肾)，能求出结果.

本题考查三角函数值的求法，考查二倍角正切公式等基础知识，考查运算运解能力，是基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由函数的图象可知，A=2,7=4义冬—勺=学，«=§=1.

bN33

函数图象经过得2).

所以函数/(%)=2sin(|X:+9)=—2,

所以◎=当.

所以f(0)=2sin(0+Y)=<2.

故选A.

由题意直接求出4求出函数的周期，推出3,利用图象经过的特殊点，求出函数的解析式，然后求出/(0)

的值.

本题考查三角函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力.

6.【答案】D

【解析】解；a>>0,二次函数/(%)=。%2+2%+27有且仅有一个零点，

•••△=4—4ab=0,

即ab=l,a>Z)>0,a-b>0

222

a+b(a—6)+22r-

=(a-b)H-----之2v2

a-ba-ba-bY

正Q的最小值为271,

a-b

故选；D.

根据题意得出.•・△=4—4ab=0,即ab=l,a>b>0,a-b>0,变形为基本不等式的条件《立

a-b

2

比2士=(a—b)+」—22，I，即可得出答案.

a—b、1a—b

本题考查了二次函数的性质，基本不等式，难度不大，简单知识的综合，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：令g(x)=0,则f(x)=|k(x+1)|,

则函数%(%)=fc(x+1)过定点(-1,0),

在直角坐标系中画出函数/'(X)与函数y=|八(%)|的图象,

则蜉引"，飞因V

<fc<。或一<k<

o44o

故选：B.

令g(x)=0,则/(x)=|k(x+1)1，在直角坐标系中画出/(x)和y=|k(x+1)1的图象，根据图象结合条件

即可得到关于k的不等式.

本题考查了函数的零点的判定定理的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意[久]<%<[%]+1,贝!1%-1<[%]<%,

所以2x-1<2[x]+1<2x+1,即2x-1<x2<2x+1,

—2x+1=(%—l)2>0

今xe[1-<2,1)U(1,1+

-2x-1=(x-l)2-2<0

由/=2[久]+120,则[x]2弓且[x]eZ,故[x]20,且％2=2k+l,keN*,

若/=3,则％=yw,满足;

若/=5,则久=V~^，满足;

若久2=7,则久=V-7>1+V-2>不满足；

故其它情况均不满足题设，

综上，x=gX=4为方程/=2[用+1的解，共2个.

故选：C.

根据函数新定义得久-1<[%]<%,结合方程得2久-1<x2<2x+1求x范围，再由/=2[x]+1>0有

[%]>0,且/=2k+1,keN*,讨论/=3、x2=5、x2=7即可得解的个数.

本题属于新概念题，考查了高斯函数的性质、一元二次不等式的解法，属于中档题.

9【答案】CD

【解析】解:因为基函数/(X)=(爪2+6—在。,+8)上单调递减，

所以，+爪11=1,

解得根=-4,

故/(%)=

所以/(—1)=—L

故选：CD.

根据幕函数的定义和性质可得[爪2tM:11=1,解之即可.

本题主要考查塞函数的定义和性质，属于基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：；a2+a-2=(a+a-1)2-2,

又a2+a~2—3,

(a+a-1)2=5,

a+a-1—士

故选：AB.

根据已知条件，结合指数塞的运算性质，即可求解.

本题主要考查指数哥的运算性质，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于4sin/+a)=sin[?r-/+a)]=sin(当一a),故A正确；

对于B,sing+a)=cos[^—(；+a)]=cos©—a)

=­cos[?r+（：—a）]=—cos（常一a）,故8正确;

对于C,tan《-a)=-tan,-6-a)]=-tan(-^+a),故C错误;

.2,2sin2a.7,1—cos2a-7

对于D,tan^asina=—n-smza=sm”a

cos"aIcos2a)

.2

=,m2a—sin2a=tan2a—sida，故D正确.

cosza

故选：ABD.

利用诱导公式分析运算即可判断48C,根据平方关系和商数关系分析计算即可判断D.

本题考查三角函数的诱导公式及同角三角函数的关系式的应用，属基础题.

12.【答案】BD

【解析】解：f(x)=(sinx+cosx^sinx—cosx\=[cos^x's^nx<^osx,

‘'''八1I—cos2x,sinx>cosx

其图象如图：

由图可知，/(x)是周期为2兀的周期函数，故A错误；

若+，。2)1=2,由|/(%i)|WL|/(%2)|W1，

则只有1foi)|=|/(x2)l=1，即%1，久2只能是函数的最值点的横坐标，

可得久1+%2=(keZ),故B正确；

由图象可得，/(x)在区间[-9刍上不是单调函数，故C错误;

由图象可知，y=/(久)的对称轴是x=k兀+eZ),故。正确.

故选：BD.

由已知写出分段函数，作出其图象，结合图象逐一判断四个选项得答案.

本题主要考查三角函数的图象与性质，正确作出分段函数的图象是解题的关键，属于中档题.

13.【答案】{0,1}

【解析】解：•.•集合4={-1,0,1},B={x\x=t2,tEA],

B={0,1},

故答案为：{0,1}

根据集合a=[-2,3,4}>B={x\x-t2,tE.A},将4中元素一一代入x=t2,可得集合B.

本题主要考查集合的表示方法，要求熟练掌握描述法和列举法表示集合，比较基础.

14.【答案】(0,2]

【解析】【分析】

本题考查函数的单调性的应用，注意指数函数的性质，考查计算能力，属于基础题.

求出指数的取值范围，利用指数函数的单调性，即可求出函数的值域.

【解答】

解：因为/—2%=(%—1)2—1,所以/—2比2—1,

又因为指数函数y=©尸是减函数，且y=0尸〉0,

所以y=G)/-2xe(0,2].

故答案为：(0,2].

15.【答案】—3

【解析】解：根据题意，函数〃K+2)为偶函数，则有/(乃=f(4一%),

又由/(%)为奇函数，则有/O)=

则有f(4-x)=变形可得+4)=则f(7)=—f(3)=-3,

又由/(久)为R上为奇函数，则f(0)=0,/(4)=-/(0)=0,

故/(7)+/(4)=-3+0=-3；

故答案为：-3.

根据题意，分析可得f(x+4)=J/Q),则有f(7)=—f(3),/(4)=一/(0),计算可得答案.

本题考查抽象函数性质的应用，涉及函数值的计算，属于基础题.

16.【答案】岑，曾

【解析】解：作出/(%)的函数图象如图所

示：

由图象可知％3+久4=2,且—44第1<

-2.

log2(-^l)=-log2(-X2)'­••久1万2=1-

.也,一蛀+%44_上”2

,・五十一2一—7+支1,

令t=就,则4<tW16,

令g(t)=t+：(4<tM16),则g(t)在

(4,16］上单调递增，

又9(4)=彳，9(16)=

17,〜、/257

■,-T<9⑴-'16-

故答案为：(3,舞］.

作出〃久)的函数图象，得出F(x)的各零点的关系及范围，从而得出结论.

本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题.

17.【答案】解：依题意，函数f(x)是奇函数，g。)是偶函数，

1

所以/'(f)+g(f)=

-1

所以一小(久)+9。)=-［<

又因为/(%)+g(x)=二,

组成方程组，解得/(刀)=彩匕(*力±1)，g(x)=1五(刀H±1).

【解析】利用函数的奇偶性得到方程组，解出/(久)，g(x)的解析式即可.

本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由诱导公式得，sin(2…产+a)=-sina-sina=2tma=

sin(a-2)-cosa2

sina-^-cosatana+11

(2)s\na—2cosatana—2TT

【解析】(1)利用诱导公式化简求值即可；

(2)利用同角三角函数间的基本关系求解.

本题主要考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题.

19.【答案】解：(1)y=lg(3一4%+%2),

・••3—4%+/>o,

解得：M={x<1或久>3},

.・.M=[x<1或%>3].

(2)由/(%)=2X+2-3x4x=4x2x-3x(2X)2

令2%=t,

M={x<t或第>3],t>8或0<t<2.

/(x)=y=4t—3t2=-3(t-|)2+*(t>8或0<t<2)

由二次函数性质可知：

当0<t<2时，/(x)G(-4,1],

当t>8时，/(%)E(-00,-160)；

当2*=t=',即％=log2|时，/(%)='

综上可知：当X=10g2机寸，/⑶取到最大值为%无最小值.

【解析】(1)由题意可知3-4%+/〉0,从而解出集合M；

(2)由题意，利用换元法求函数的最大值及最大值点；

本题考查对数函数的定义域，考查求函数的最值，正确运用配方法求最值是关键.

20.【答案】解：(1)函数/(*)=翳的定义域为R,

由f(x)是奇函数，得f(0)=吟=0,解得爪=1,即/(%)=高，

当m=1时，/(—久)=与=号=_/(%)，即函数外切是奇函数，

所以TH=1.

(2)由(1)知，，(久)=备—1,而函数y=1+3"在R上单调递增，

因此f(x)在R上单调递减，

不等式f(r+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0化为/(产+2t+fc)>一八-2t2+2t-5),

由f(x)是奇函数，得一/(一2产+2t-5)=f(2t2-2C+5),因此不等式化为/(/+2t+k)〉/(2t2-

2t+5),

于是/+2t+k<2t2—2t+5,即k<产—4t+5,

依题设，对任意的te[0,5],不等式k</一4t+5恒成立,

显然当t=2时，/-4t+5取得最小值1,从而k<1,

所以实数k的取值范围是仅优<1).

【解析】(1)由奇函数在R上有定义知f(0)=0，即可求机的值;

(2)判断函数/Q)的单调性，结合奇函数可得k<t2-4t+5,再求出二次函数最小值即得.

本题主要考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由题意得：

f(0)=9(0)，

即|a|=1,

又(2>0,

a=1.

(2)由(1)可知,<(x)=\x-l\,

g(久)=x2+2x+1=(x+I)2,

h⑺=f(x)+bjg(x)

=|x-1|+b\x+1|,

若八(久)为偶函数，即/i(%)=M-x),则有

b=l,此时八(2)=4,八(一2)=4,

故h(2)丰-h(-2),即h(x)不为奇函数;

若八(久)为奇函数，即八(%)=—八(一支),贝防=一1,此时八(2)=2,八(一2)=-2,

故饮2)丰八(—2),即初久)不为偶函数；

综上，当且仅当b=1时，函数八(久)为偶函数，且不为奇函数,

当且仅当b=-1时，函数仅均为奇函数，且不为偶函数，

当6*±1时，函数做©既非奇函数又非偶函数.

(3)关于x的不等式/(%)-2jg(X)>a有解，

即x的不等式|久-1|-2|x+1|>a有解

故-1|-2|x+1|的最大值大于或等于a,

画出函数y=|无一1|一2|久+1］的图象，如图所示:

由图象可知，|x—l|—2|x+l|的最大值为2,

a<2

【解析】(1)由题意得:f(0)=,g(0),即|a|=l,可得a=l.

(2)利用奇偶函数的定义，确定b的值，进而可得函数的奇偶性.

(3)关于％的不等式/(%)-2jg(%)>。有解转化为-1|-2|x+1|的最大值大于或等于a,画出函数画出

函数y=|%—1|一2|%+1]的图象，由图象可得答案.

本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性，正确运用函数奇偶性的定义是关键，属于中档题

22.【答案】解：(1),•・关于％的一元二次方程/+