2024年高考押题预测数学（理）试题（全国卷2）含解析

绝密★启用前

2024年高考押题预测卷【全国卷02】

理科数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合4=付口201B={x|log2(x-1)<3},则做=()

A.[3,9]B.(1,9]C.(1,3]D.(1,3)

z1.\2025

2.已知复数z=*,贝丘的虚部为()

A.-1B.—iC.1D.i

3.设/，加是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，若/uaa〃£，贝！”是“加，尸”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知函数人尤)的图象如图所示，则函数/(尤)的解析式可能为()

r'

/\1V2

A./(^)=cos2x-(eA-e-x)B./(x)=--ln-^

XX2

E+E-Y+1

C.f(x)=----------D./(x)=sin2x-ln——

XX2

5.已知平面向量a,b,c满足a+b+<?=0,同=回=1,吊=代，则a与b的夹角为()

io

6.已知/（x）+l在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a,6满足“a-4）+〃6）=-2,则上+■的最小值

ab

为（）

A.3+交B.-+V2C.3+2亚D.-+V2

4242

7.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队

在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足

球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村

至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须

选同一个村，则不同的选法种数是（）

A.18B.36C.54D.72

8.已知sina+cos4二^^,cosa-sin£=，则cos（2a—2/7）=（）

A2_Rr5屈n5739

A.IJ.C•------------JL/.-------------

32323232

9.已知。=$m0.5,6=3°，5,。=1080.30.5,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

22

10.已知椭圆E：1+方=l（a>6>0）的左焦点为尸，如图，过点尸作倾斜角为60。的直线与椭圆E交于A,

3两点，M为线段的中点，若5|FN|=|O同（。为坐标原点），则椭圆E的离心率为（）

A.B

33

11.在棱长为1的正方体ABCD-4耳CQ中，分别为4c的中点，点P在正方体的表面上运动,

且满足“p_Lav,则下列说法正确的是（）

D\

A.点尸可以是棱的中点B.线段MP的最大值为立

2

C.点P的轨迹是正方形D.点P轨迹的长度为2+石

12.若函数尤)=<dnx+gx2-2尤有两个不同的极值点为，三，且f一/(玉)+/</(%)-石恒成立，则实数f的

取值范围为()

A.(—co,—5)B.(—co,—5]C.(—00,2—21n2)D.(YO,2—21n2]

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.若数列｛%｝满足4=1,«„+1-«„-1=2",则4=.

14.已知函数"x)=2cos[s-1其中0为常数，且°«0,6),将函数小)的图象向左平移聿个单位所

得的图象对应的函数g(x)在x=0取得极大值，则。的值为.

15.已知函数产x-2/+r的最大值为加，若函数g(/)=M+〃—机有三个零点，则实数m的取

值范围是.

16.已知四棱锥P-ABCD的高为2,底面A3CD为菱形，AB=AC=5E,尸分别为尸APC的中点，贝|

四面体E的的体积为；三棱锥尸-ABC的外接球的表面积的最小值为.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.已知的内角A,B,C的对边分别为4,40,星=詈4.

c4b-a

⑴求sinC的值；

⑵若ABC的面积为姮，且a+b=2西C,求，ABC的周长.

23

18.某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛.决

赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得0分.已

知1班的三名队员答对的概率分别为:、：、k2班的三名队员答对的概率都是：，每名队员回答正确与

4323

否相互之间没有影响.用J、〃分别表示1班和2班的总得分.

⑴求随机变量J、〃的数学期望召(4),矶〃)；

(2)若J+〃=2,求2班比1班得分高的概率.

19.如图，在圆柱0Q中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形43瓦A,其中AA，B片为圆柱。。|的母

线，点C在底面圆周上，且BC过底面圆心。，点D,E分别满足AO=2ZH4E=2EC,过OE的平面与8月

交于点尸，且37=4EB(4>0).

(1)当2=2时，证明:平面D£F//平面ABC；

⑵若叫=2AB=2AC,”与平面4麻所成角的正弦值为零’求力的值.

20.已知动圆E经过定点0(1,0),且与直线产-1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)设过点P(l,2)的直线4，4分别与曲线C交于A,B两点，直线心4的斜率存在，且倾斜角互补，求证:

直线的倾斜角为定值.

21.已知函数/(x)=_xe*—2or(a>0).

(1)若函数/(X)在x=l处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为］,求。的值;

(2)若函数的最小值为-e,求a的值.

(-)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.已知在平面直角坐标系方力中，以坐标原点。为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的

x=m+J3cosa

极坐标方程为夕=2sin。；在平面直角坐标系％Oy中，曲线。2的参数方程为厂.(。为参数)，

y=弋3sina

点A的极坐标为且点A在曲线c之上.

⑴求曲线G的普通方程以及曲线c?的极坐标方程；

(2)已知直线/:x-&y=0与曲线G，C?分别交于P,。两点，其中P,。异于原点0,求△APQ的面积.

选修4-5：不等式选讲

23.已知函数〃。=国+值一2|+|尤一4.

⑴当a=2时，求不等式/(x)<14的解集；

(2)若/(x)>+8同+16恒成立，求。的取值范围.

2024年高考押题预测卷【全国卷02】

理科数学•全解全析

第一部分(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合人=〃B={x|log2(%-1)<3},则他A)cB=()

A.[3,9]B.(1,9]C.(1,3]D.(1,3)

【详解】由=y-L12。，解得x>3或xWT,

x-3

所以A=H碧20卜(一8,—I]“3,+8),则0A=(—1,3],

^log2(x-l)<3,即log2(*-l)Wlogz23,所以0<x-lV8,解得l<x=9,

所以3={x|log2(x-l)V3}={x|l<xW9},

所以低犷3=（1,3].

故选：C

1+i2025

2.已知复数zI,则之的虚部为（）

1-i

A.-1B.-iC.1D.i

【详解】因为二芯KT'又'—・'』'

.N2025

所以Z=黑=i2025=i506x4+1=（i4）506xi=i,

所以z=-i，所以z的虚部为-L

故选：A

3.设/,机是两条不同的直线，夕是两个不同的平面，若/ua,a//（3,则〃2_1/"是'〃八尸"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【详解】若机，/,lua,a///3,则机与夕的位置关系不能确定；

若机_1_6，因为a〃力，所以〃z_La,又lua,所以m_!_/成立.

所以"±/”是"m±p”的必要不充分条件.

故选：B

4.已知函数“元）的图象如图所示，则函数/（元）的解析式可能为（）

A./(x)=cos2x-(ex-e-x)B./(x)=--ln—―-

ex+-xY2+1

C.f(x)=----e--D./(x)=sin2x-ln——广

XX

【详解】对于A,函数〃x)=cos2x.(e，-eT)的定义域为R,而题设函数的图象中在自变量为0时无意义,

不符合题意，排除；

对于B,当x>0时,f(x)=—-In—=—Flnx2-Infjc2+1)~|<0,不符合图象，排除.

对于C,当x>0时，/(x)=£±>0,不符合图象，排除；

X

故选：D

5.已知平面向量a,b,c满足a+6+c=。,同=回=1,|4=6,则a与b的夹角为()

71c兀-2-3

A.——B.——C.—兀D.—71

4334

【详解】由题意知平面向量。也c满足〃+匕+。=0,同=回=1,同=百，

故与+/?=」，所以(a+/?)2=",

1

所以9=3，所以。电=］,

.a-b1

则COSQ,。二同“二］,〃,。£［0,兀］,故7r

故选：B.

1o

6.已知〃力+1在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a,。满足/(。-4)+/(6)=-2,则上+［的最小值

ab

为()

A.—+B.—+V2C.3+2A/2D.—+V2

4242

【详解】由于/(%)+1为奇函数,所以/a)+l+/(T)+l=0n/(%)+/(T)=—2,

由/("一4)+/。)=一2得々一4=一/?=々+6=4,

fTA1Ar-riM121f12V7、1f_b.n：\3&

由于tz>0,Z?>0,所以—|————I—|(a+b)=—3H---1—匡―13+2J21=—I---，

ab41ab)4^ab)4^，42

当且仅当a=6时取等号，故▲+：的最小值为』+1，

ab42

故选：A

7.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队

在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足

球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村

至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须

选同一个村，则不同的选法种数是（）

A.18B.36C.54D.72

【详解】若五位同学最终选择为3,1/，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，

剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有C；A；=18种选择，

若五位同学最终选择为2,2,1,将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，

此时有C；C；A；=18种选择，

综上，共有18+18=36种选择.

故选:B

8.已知$皿£+<：0$£=^^,8$<7-$吊尸=-3，则cos（2a-2月）=（）

A.—B.--

3232

「5A/39n5A/39

3232

【详解】解：因为sina+cos分=^>cosa-sin；5=-g,

所以siYa+Zsinacos尸+cos24=—,cos2cr-2coscrsiny0+sin2y0,

24

33

两式相加得：2+2（sincrcosy0-coscrsiny0）=—,即2+2sin（a-■分）=1,

化简得sin（a_/?）=_1

O

7

所以cos（2a-2/7）=l-Zsin?（a-月）=豆，

故选：A

9.已知〃=$苗0.5,/?=3°5,。=108030.5,则。，瓦c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

【详解】对xe1。段;因为y=sinx-x,贝ij=cosx-l<0,即函数y=sinx-x在（0段］单调递减，

且％=0时，y=。，贝!Jsinx—x<0,即sinx<x,所以a=sin0.5v0.5,

25

因为210go30.5=log0.30->logo.30・3=1且log030.5<log030.3=1,所以0.5<c=log030.5<1,

又Z?=3°s>3°=1,所以“<c<瓦

故选：C

22

10.已知椭圆E：1r+方=1（。>6>0）的左焦点为歹，如图，过点下作倾斜角为60。的直线与椭圆E交于A,

8两点，/为线段A8的中点，若51rM=|。司（0为坐标原点）,则椭圆E的离心率为（）

「2V2

D,也

37

【详解】依题意，椭圆的左焦点为产（-c,0）,忻闾=，。刊=!1

5

9

——C,贝UM-----c,——C

1010

107

=tan60°=739c必+%_®

设乃（九2，%），则有

々210210

2222

由W+2=1，冬+冬=1，两式相减得=0,

ababa2b2

V3

则有*-5+%）5一%）

a——c

5

所以七」H

故选：B.

11.在棱长为1的正方体ABC。-AgGA中，M，N分别为4G的中点，点P在正方体的表面上运动,

且满足MP_LC?V,则下列说法正确的是（）

B.线段的最大值为走

A.点尸可以是棱2片的中点

2

C.点尸的轨迹是正方形D.点尸轨迹的长度为2+如

在正方体中，以点。为坐标原点，分别以D4、DC、OR方向为X轴、>轴、z轴正方向,

建立空间直角坐标系,

因为该正方体的棱长为1,M,N分别为4c的中点，

则0（0,0,0）,C（0,l,0）,

所以CN=L，设p（x,y,z）,则=W，z-

因为AZP_LaV,

所以《（x-：］+z-!=°,2x+4z-3=0,当x=l时，z=—；当x=0时，z=g；

2<2J244

取中口G（O，T，即,0，1

连接EJF,FG,GH,HE,则EF=G"=（0』,0）,EH=FG=^-1,0,—,

所以四边形£FGH为矩形，

则£F-CN=0，EHCN=0,即EF_LGV,EHLCN,

又EF、EH=E,且EFu平面EFGH,EHu平面EFGH,

所以。V_L平面£FGH,

又=所以M为EG中点，则Me平面£7/汨，

所以，为使MPLCN,必有点Pe平面所GH,又点P在正方体的表面上运动，

所以点尸的轨迹为四边形EFGH,

因此点P不可能是棱2瓦的中点，即A错；

又用=碎|=1,附卜因=乎，所以叵卜阿则点尸的轨迹不是正方形；

且矩形EFGH的周长为2+2xg=2+石，故C错，D正确；

2

因为点M为EG中点，则点M为矩形EFG〃的对角线交点，所以点M到点E和点G的距离相等，且最大,

所以线段叱的最大值为故B错.

2

故选：D.

【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由”p，av,

求出动点轨迹图形，即可求解.

12.若函数〃x)=alnx+gx2-2x有两个不同的极值点X],%,且/-/⑷+马〈/㈤-西恒成立，则实数，的

取值范围为()

A.(-00,-5)B.(-8,-5]C.(-oo,2-21n2)D.(-oo,2-21n2]

【详解】依题意得尸(x)=£+x_2「2：+a(x>0),

若函数有两个不同的极值点和三，

则方程d-2x+a=0有两个不相等的正实数根为，三，

A=4-4〃>0

可得<%+%2=2>0,解得0<tz<l,

玉％=〃>0

因为%，

可得/</(玉)+/(%2)一七一%2=H%+gX；-2石+dtlnx2+；石一2/-xl-x2

\12

+—+/)=〃1口(％1%2)+](41+%2)~XlX2—3(玉+%2)

12

=cAna+—x2-a—3x2=cAna一Q一4.

2

设/2(a)=〃lna-a—4(0<a<l),贝!J/z'(〃)=lna<0,

则单调递减，/z(a)>/i(l)=-5,可知IK-5.

所以实数力的取值范围是(-8,-5].

故选：B.

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

n

13.若数列｛%｝满足4=1,an+1-an-l=2,则氏=.

【详解】因为数列｛%｝满足％=1,%-1=2",

所以。2-%=1+2,,

一%=]+22,

〃4一为二]+2?,

%-%=1+2〃'

以上各式相加得〃〃—％=^-1+C21+22+23+...+2〃T),

所以牝=2〃+〃—2.

【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，熟记累加法即可，属于常考题型.

14.已知函数〃x)=2cos"-「其中0为常数，且oe(0,6),将函数小)的图象向左平移聿个单位所

得的图象对应的函数g(x)在x=0取得极大值，则。的值为.

【详解】由题意可知g(尤)=2cos[01x+《j-"|=2cos[s+詈-]j,

因为g(%)在x=0取得极大值，所以g⑺在x=0取得最大值，

所以艺-二=2m，keZ,即0=2+123

63

又因为。《0,6),所以，当且仅当k=0时，。=2满足条件，所以。=2,

故答案为：2.

15.已知函数/("=-4+2/》-2/+7的最大值为加，若函数g(f)=M+»一根有三个零点，则实数小的取

值范围是.

【详解】解：因为/'(无)=一及2+2产x-2r+r=-《xT)2一/3+「，

所以/'(X)的最大值为M=-户+f,

易知函数g(f)=M+〃—〃2=-3+/+”机有三个零点，

等价于函数刈。=-r+/+1的图象与直线y=机有三个交点，

因为〃«)=—3〃+2才+1=-(3/+1)(/-1),

所以当或t>l时，〃⑺<0,当一；</<1时，h\t)>0,所以“⑺在。,+⑹上单调递减，

在上单调递增，

所以无⑺极小值+]T卜得'响极大值=MD=T+I+IJ

又当/f-oo时，〃(。一用；当时，函数万⑺=--+/+.的图象如下所示：

结合函数图象可知，若函数%")=--+产+，的图象与直线>=机有三个交点，则相一5」

故答案为：卜得，11

16.已知四棱锥P-ABCD的高为2,底面ABCD为菱形，AB=AC=6,乱产分别为PA,PC的中点，则

四面体EKBD的体积为；三棱锥P-ABC的外接球的表面积的最小值为.

【详解】如图，设ACcBD=G,连接尸G,EG,

EFG+VD—EFG，

易知E,F,G分别为PA,PC,AC中点，，S后口=：$作，

=

所以VB_EFG=~^B-PACWD-EFG~^D-PAC'

••VEFBD=W^B-PAC+Z^D-PAC=[(YB-PAC+%—PAc)=[Vp_ABCD，

四边形ABC。是菱形，AB=AC=y/3,

ABC,AC。为全等的正三角形，

•••SABCD=2义;AB•BCsin60°=拒义0义与=^~，

v_11373

■■VEFBD=_><2X^-X2=^7：

因为ABC是边长为6的正三角形，记其中心为。一

则ABC的外接圆的半径为厂=且乂6x2=1,

23

设三棱锥尸-ASC的外接球的半径为R,球心为。，则。a，底面ABC

过P作PH，底面ABC交于H，则。@〃PH,

结合图象可知尸O+OOR/W,其中R=OO；=R2-r2=R2-l,

因为尸到平面ABC的距离为2,即尸8=2,所以尺+，之一1上2,

易知关于R的函数y=R+7FW在［L”）上单调递增,

所以当且仅当R+VF=1=2时，R取得最小值,

此时，尸。,a三点共线，由R+VF二1=2,解得尺=:,

所以棱锥尸-ABC的外接球的表面积的最小值为4兀改=牛.

4

故答案为：1；亨.

44

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为“,40,4=詈4.

⑴求sinC的值；

⑵若..ABC的面积为姮，且a+八城。，求，ABC的周长.

23

■、斗五刀./八曲HdCosCcosA.cosCcosA,八

【详解】(1)解：因为----=——，由正弦定理rmZ得H一^=1F~~—........................................1分

c4b-asmC4smB-sinA

可得4sin_BcosC-sinAcosC=cosAsinC,

即4sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,.......................................................................3分

因为3£(0,兀)，可得sin5>0,所以4cosc=1,gpcosC=-,

4

所以sinC=A/1-COS2C=...............................................................6分

4

(2)解：由(1)知sinC=巫，

4

因为若的面积为姮，可得1"sinC=姮，即!"、巫=巫，解得劭=4,..................8分

222242

又因为a+Z?=

3

由余弦定理得/=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abx^=(a+b)2=(^^-c)2-10,

整理得02=6,解得c=",..............................................................................................................................10分

所以a+Z?=x痛=4，

3

所以ABC的周长为a+Z7+c=4+#...............................................................................................................12分

18.某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛.决

赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得。分.已

知1班的三名队员答对的概率分别为=3、：9、；1，2班的三名队员答对的概率都是7：，每名队员回答正确与

4323

否相互之间没有影响.用4、〃分别表示1班和2班的总得分.

⑴求随机变量乙〃的数学期望召（劣,矶〃）；

（2）若J+〃=2,求2班比1班得分高的概率.

【详解】（1）依题意可得4的可能取值为0、1、2、3,

40123

111]_

P

244244

....................................................................................................................................................................................3分

1111193

所以E(J)=0x+1X：+2X+3XT=G..................................................................................................4分

v7724T4：2；47412

又2班的总得分〃满足〃~《3,,则矶〃)=3xg=2................................................................................6分

(2)设“J+〃=2”为事件A,“2班比1班得分高”为事件B........................................................................7分

2

则尸（A）=gx:xC；xgx(l2

3

59

..............................................................................................................................................................9分

24x27

所以尸（小9=喘124x2712

——x-----------...................................................................................................11分

545959

所以2班比1班得分高的概率为三................................................................................................................12分

19.如图，在圆柱中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形A3与A,其中AA，5与为圆柱。O1的母

线，点C在底面圆周上，且BC过底面圆心0,点、D,E分别满足AD=2D4,4E=2EC,过OE的平面与8月

交于点尸，且用k=ZEB(X>0).

(1)当2=2时，证明:平面DEF//平面4BC；

(2)若M=2AB=2AC,AF与平面AAC所成角的正弦值为回,求A的值.

10

UUUUUUUUUUUUUU1ULUULU

【详解】(1)当2=2时，得BF=2FB,又4。=2以，BtE=2EC,

所以DF/MB,EF//BC,.................................................................................................................................2分

方N平面ABC,ABu平面ABC,.1£>/〃平面ABC,

同理得所〃平面ABC,.....................................................................................................................................4分

因为所,小是平面DE//内两条相交直线，

所以平面DEF//平面ABC..................................................................................................................................5分

(2)因为&A，8与为圆柱OQ的母线，所以AA垂直平面ABC,又点C在底面圆周上，且BC过底面圆心

O,

所以AB_ZAC,所以A",AC,9两两互相垂直.以点A为坐标原点，AB,AC,9分别为x,y,z轴，建立如图

空间直角坐标系...........................................................................6分

设AC=1,则A（0,0,0）,3（1,0,0）,C（0,l,0）,4（0,0,2）,耳（1,0,2）,

所以AB=（l,0,0）,=（0,0,2）,44=（1，°，°），4。=（。/,一2）,.........................................................7分

因为4b=4EB(X>0),所以8尸=六84=(0,0,2)，则

”=项+m=(1,。,。)+(。,。,言1]1,。,11......................................................................................

8分

设平面44c的一个法向量为n=(x,y,z),

A4=0x=0

即令z=1,解得x=0y=2,

•AC=y-2z=0

所以72=(0,2,1),.............................................................................10分

所以"与平面ABC所成角的正弦值为卜os〃

解得彳=1或-3,.................................................11分

2>0,：.A=1..............................................................................12分

20.已知动圆E经过定点。(L0),且与直线产-1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)设过点P(l,2)的直线心乙分别与曲线C交于A,3两点，直线心4的斜率存在，且倾斜角互补，求证:

直线的倾斜角为定值.

【详解】(1)因为动圆E经过定点。(1,0),且与直线x=T相切，

即动圆圆心E到点。(1,0)的距离与到直线x=-l的距离相等，.................................1分

又点。(1,0)不在直线x=-l上，

由抛物线的定义可知动圆圆心E是以。(1,0)为焦点，直线了=-1为准线的抛物线，...............3分

所以动圆圆心E的轨迹为y2=4x...............................................................4分

(2)依题意设直线4方程为y=k(x-l)+2(k^0),

•，一直线4，6的斜率存在，且倾斜角互补,

•­-4的方程为y=—k(x—i)+2.

Iy=k(x-l)+2____

联立方程组2,，消元得公公一(2%2一4左+4)尤+(%-2)2=0,

[y=4x

A=(2左2-4k+47一4左2(左-2)2=16(左一I)?>0,..............................................6分

因为此方程的一个根为1,设A（4%）,3（孙为），

则3=出囚=如一:f+4,同理可得/+j+4,............................................................................................8分

2k2+8-8k-8

・'石+”2=一记一，玉一/==1•

2尸+88

/.%一%=伙（玉一1）+2]—[一女（%—1）+2]=k（玉+%）—2k=---------2k=_.

kk

；/=上二^=T,.......................................................................10分

%~X2

4

设直线AB的倾斜角为。，贝心血夕=_1,又。目0,兀），所以。=学7r，...........................11分

「•直线A3的斜率为定值-1,倾斜角为定值43兀..............................................12分

4

21.已知函数/(x)=xe"-2依(〃>0).

⑴若函数“尤）在x=l处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为],求a的值;

⑵若函数〃尤）的最小值为-e,求a的值.

【详解】(1)因为f(x)=:reX-2ax(a>0),所以/'(x)=(x+l)e;2a,

贝ir(l)=2e—2a,又/⑴=e-2a,

所以函数〃x）在x=l处的切线方程为y-e+2a=（2e—2a）（x—l）..............................2分

由题意，显然awe