山东省东营市广饶县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

2023-2024学年第一学期期末考试

八年级数学试题

（总分：130分考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本试题分第I卷和第n卷两部分，第I卷为选择题，30分；第n卷为非选择题,

100分；本试题共8页.

2.数学试题答题卡共4页.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号

等填写在试题和答题卡上.

3.第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

IABCD］涂黑.如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案.第H卷按要求

用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上.

第I卷（选择题共30分）

一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确

的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超

过一个均记零分.

1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

螺旋线

2.如图，四边形/BCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积.通过分

析图形中所标线段的长度，将多项式加2+3冽〃+2根因式分解，其结果正确的是（

A.(m+2H)2B.(加+2〃)(加+〃)C.(2m+n)(m+n)D.(m+2n)(m-n)

3.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-V,a—b,2,

北-产，。，x+y,分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将

2a（x2-产）-23（T2-户）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A.爱我中华B.我游中华C.中华美D.我爱美

4.如图，口ABCD的周长为36,对角线AC、BD相交于点0,点E是CD的中点，BD=12,

则△口£«的周长为（）

A.15B.18C.21D.24

5.如图，P是面积为S的YA8CD内任意一点，的面积为S,APBC的面积为S,则

12

（）

A.S+S>-B,S+S<-

122122

C

C.s+s=?D.S+S的大小与P点位置有关

6.如图，在四边形/BCD中，£是3C边的中点，连接。E并延长，交N2的延长线于点

F,AB=BF.添加一个条件使四边形N5CD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选

择的是（）

A.AD=BCB.CD=BFC.ZA=ZCD./F=/CDF

7.定义一种，区”运算：a®b=J（awb）,例如：1区3=上=—:，则方程2区x=<+1

a-b1-32x-2

的解是（）

1I3

A.x——IB.x=-C.x——D.x—2

22

8.在光明中学组织的全校师生迎，五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分

情况如图所示.这些成绩的中位数和众数分别是（）

C.98分，96分D.97分，96分

9.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果Nl=50。，/2=40。,

B.12°C.15°D.20°

10.如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形/BCD,转动

一张纸条的过程中，下列四个结论：

①四边形48co的周长不变；②四边形48co的面积有变化；③4D=BC；④AD=AB；

其中一定正确的是（）

A.②④B.①③C.①②D.②③

第n卷（非选择题共loo分）

二、填空题：（本大题共8小题，其中1L14题每小题3分，15-18题每小题4

分，共28分.只要求填写最后结果.）

11.若多项式x2-（加-l）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则加=.

12.若关于x的方程匕+2==无解，则”的值是

x-lX-1

13.已知YMCD的顶点A在第三象限，对角线/C的中点在坐标原点，一边与x轴平

行且AB=2.若点A的坐标为（-2,-3）,则点。的坐标为.

14.若一组数据4,x,54,7,9的平均数为6,众数为5,则这组数据的方差为.

15.某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生

产10个.设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为.

11

16.已知x+y=l,贝！]]X2+xy+2产的值是.

17.如图，将正方形/8C。中的A/BP绕点8顺时针旋转到AC2P的位置，且8P=1.则

PP'=____

18.如图，等边的边长为4,。为坐标原点，A在x轴上，沿x轴正方向作无

滑动的翻滚，经一次翻滚后得到A4V。，翻滚2024次后48中点M坐标为.

三、解答题：本大题共8小题，共72分、解答要写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤.

19.解方程:

32

⑴口一厂°;

(―•

20.化简求值:

X2+2X+1JX_1-2X]^其中x为数据4,5,6,5,3,2的众数.

2x-41x-2）

21.每年的4月15日是我国全民国家安全教育日.某中学在全校七、八年级共800名学生

中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生

的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）.相关数据统计、整理如

下：

八年级抽取的学生的竞赛成绩：

4,4,6,6,6,6,7,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,9,10,10.

七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数7.47.4

中位数ab

众数7C

合格率85%90%

七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

⑴填空：«=,b=

(2)估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；

(3)根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优

异.

22.如图，在平面直角坐标系中，已知A48C的三个顶点坐标分别是4(1,1),B(4,1),C

(3,3).

(1)将A43C向下平移5个单位后得到△^与请画出△///-；

(2)将绕原点。逆时针旋转90。后得到△氏约。2，请画出约C?；

(3)判断以O,3为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)

23.如图，Y/BCD的对角线/C与8。相交于点。，E,尸是AD上的两点.

(1)当尸满足什么条件时，四边形NECF是平行四边形？请说明理由;

(2)当乙4E8与/CF。满足什么条件时，四边形NECF是平行四边形？请说明理由.

24.八年级(1)班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km.一部分学生乘慢

车先行，出发0.5h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区.已知快车的

速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度

25.【三角形中位线定理】已知：在“3C中，点E分别是边/反/C的中点.直接写出

。石和3C的关系；

【应用】如图②，在四边形/BCD中，点£、尸分别是边/氏幺。的中点，若8c=5,

CD=3,EF=2,NAFE=45°.求//DC的度数；

【拓展】如图③，在四边形4BCD中，NC与AD相交于点瓦点N分别为40,BC的

中点，MN分别交4C、5。于点尸、G,EF=EG.求证：BD=AC.

我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形.

(1)如图1,小BC是等边三角形，在3c上任取一点。(不与3,C重合)，连接我们

把绕点A逆时针旋转60。，则与NC重合，点。的对应点为点£.请根据给出的

定义判断，四边形/DCE(选择"是''或"不是”)等补四边形.

(2)如图2,等补四边形48c。中，AB=BC,ZABC=ZADC=9Q°,=8,则5D

四边形4BC。

的长为

图2

(3)如图3,四边形48C£>中，AB=BC,ZA+ZC=180°BD=5,求四边形4BCD面积的

最大值.

参考答案与解析

1.C

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即

可.

【详解】A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C.是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

D.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选C.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图

形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.B

【分析】根据图形是长方形列面积式子，又得到该图形由两个边长为"的正方形，3个长、

宽为〃与加的长方形，1个边长为优的正方形组成，由此列出面积等式

【详解】•••四边形是一个长方形，

••.该长方形的面积=。"+2〃)(加+〃)，

•••该图形由两个边长为〃的正方形，3个长、宽为〃与a的长方形，1个边长为根的正方形

组成，

;该图形的面积=加2+3%〃+2〃2,

•••mi+3mn+2«4—(w+2nxm+n),

故选：B.

【点睛】此题考查因式分解与几何图形面积，正确理解几何图形的组成列面积等式是解题的

关键.

3.A

【分析】本题考查因式分解的应用，综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，即可求

解.

［详解］解：2aQ-产)-26(x2_产)=2(4-6)。2_y2)=2(q_6)Q+y)G_y),

••,2,a-b,x+了，x-V对应的汉字分别为：爱、我、中、华，

，呈现的密码信息可能是‘爱我中华”，

故选A.

4.A

【分析】此题涉及的知识点是平行四边形的性质.根据平行四边形的对边相等和对角线互相

平分可得，OB=OD,又因为E点是CD的中点，可得0E是aBCD的中位线，可得0E=；

BC,所以易求△口()£的周长.

【详解】解：•.・□ABCD的周长为36,

•••2(BC+CD)=36,贝］BC+CD=18.

•.•四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点O,BD=12,

1

.•.OD=OB=-BD=6.

2

又•••点E是CD的中点，DE=；CD,

••.OE<ABCD的中位线，.•.()£=；BC,

・••△DOE的周长=OD+OE+DE=?BD+；(BC+CD)=6+9=15,

即aDOE的周长为15.

故选A

【点睛】此题重点考查学生对于平行四边形的性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的

对角对边性质是解题的关键.

5.C

【分析】过点P作AD的垂线PF,交AD于F,再延长FP交BC于点E,表示出SJS2,

得到s+s=7即可.

122

【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF,交AD于F,再延长FP交BC于点E,

根据平行四边形的性质可知PE1BC,AD=BC,

.•.S,=-ADxPF,S.—BOPE,

1222

q+s2

=J-ADXPF+1BCXPE

22

=J-ADx(PE+PE)

2

UADxEF

【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点

P的高.

6.D

【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项.添加D选

项，即可证明ADEC三AFEB,从而进一步证明DC=BF=AB,且DC〃AB.

【详解】添加A、AD=BC,无法得到AD〃BC或CD=BA,故错误；

添加B、CD=BF,无法得到CD〃:BA或4D=8C,故错误；

添加C、/4=/C,无法得到4=故错误；

添加D、NF=NCDF

•••ZF=ZCDF,NCED=NBEF,EC=BE,

NCDE也\BFE,CDHAF,

CD=BF,

•••BF=AB,

CD=AB,

二.四边形4BCD是平行四边形.

故选D.

【点睛】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定

方法是解题的关键.

7.B

【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解.

【详解】解：根据题中的新定义得：9=3+1,

2-xx-2

整理得：:L='+l,

%—2x—2

去分母得：-x=l+x-2,

解得：x=—,

2

检验：把x=L代入得：六2加，

2

•••分式方程的解为X=L.

2

故选：B.

【点睛】此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，分式方程注意要检验.

8.A

【分析】利用众数和中位数的定义求解.

【详解】98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分；

共有25个数，最中间的数为第13个数，是96,所以数据的中位数为96分.

故选A.

【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.也考查了中位数.

9.B

【分析】本题考查了三角形内角和定理、平角的定义以及多边形内角与外角，在ANBC中,

利用三角形内角和定理求出/NCB的度数是解题的关键.

【详解】解：在图中标上点A,B,C,如图所示，

根据题意得：^BAC=180°-Z2-90°-180°-40°-90°=50°；

ZABC=180°-Zl-60o=180o-50°-60°=70°；

44c8=180°-ABAC-ZABC=180°-50°-70°=60°.

Z3=180°-ZACB-=180°-60°-108°=12°.

故选：B.

10.D

【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等.由

平行四边形的性质进行判断，即可得到答案.

【详解】解：由题意可知，

•••AB//CD,AD//BC,

.•.四边形48co是平行四边形，

.■.AD=BC-故③符合题意；

随着一张纸条在转动过程中，AD不一定等于AB,四边形周长、面积都会改变；故

①、④不符合题意，②符合题意；

故选：D.

11.9或-7##-7或9

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求物的值.

【详解】解：••・多项式立-(m-1)x+16能用完全平方公式进行因式分解，

加-1=±8,

解得：m=9或m=-7,

故答案为：9或-7

【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

12.2

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到xT=O,求出x的值，

代入整式方程即可求出。的值.

［详解］解：=+2=4，

分式方程去分母得：x+1+2(x—1)—a,即3x—l=a,

由分式方程无解，得到xT=O,即x=l,

将x=l代入整式方程3x-l=a得：3-l=a,

解得：。=2.

故答案为：2.

【点睛】此题考查了分式方程无解的情况，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方

程时，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方

程的解.

13.(0,3)或(4,3)

【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特

征.根据平行四边形的性质得到8=48=2,根据已知条件得到5(-2+2-3)或5(-2-2,-3),

由于点。与点B关于原点对称，即可得到结论.

【详解】解：当3点在A点的右边时，如图1,

;与x轴平行且=2,2(-2,-3),

8(-2+2,-3),

■:对角线/C的中点在坐标原点，

二点A、C关于原点对称，

四边形48C。为平行四边形，

，点8、。关于原点对称，

。(—(—2)—2,—(—3))即(0,3)；

同理可得B(-2-2,-3),则。(一(一2)+2,-(一3))即(4,3).

故点。的坐标为(0,3)或(4,3).

故答案为：(0,3)或(4,3).

14.«

3

【分析】先根据这组数的平均数及众数求出X/中一个是5,另一个是6,再利用方差公式

计算即可.

【详解】•••一组数据4,x,5/,7,9的平均数为6,众数为5,

.・.x，y中至少有一个是5,

1•・一组数据4,x,5,-7,9的平均数为6,

.-.x+y=11,

中一个是5,另一个是6,

・•.这组数据的方差为:[(4一61+2(5-6)+(6-6»+(7-61+(9-61]=:；

63

O

故答案为：—.

【点睛】本题考查了数据的平均数、众数及方差，熟练掌握知识点是解题的关键.

15.20%=15(%+4)-10

【分析】设原计划每天生产无个，则实际每天生产(x+4)个，根据原计划在20天内完成的

任务实际15天完成且还多生产10个，列方程.

【详解】解：设原计划每天生产x个，则实际每天生产(x+4)个，

由题意得，20%=15(%+4)-10.

故答案为：20x=15(x+4)-10.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数,

找出合适的等量关系，列方程求解.

16.工

2

【分析】利用完全平方公式化简，然后将x+y=i代入计算即可得出结果。

11

【详解】解：-x2+xy+->>2

=JCv2+2xy+y^)

=:(x+y)2

当x+y=l时，原式==工。

22

故答案为：-O

2

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题

的关键。

17.&

【分析】本题考查了旋转性质的运用，根据旋转角判断三角形的形状，根据旋转的对应边相

等及勾股定理求边长.观察图形可知，旋转中心为点B,A点的对应点为C,P点的对应点

为P',故旋转角NP8P=//8C=90。，根据旋转性质可知BP=BP,可根据勾股定理求

PP'.

【详解】解：由旋转的性质可知，旋转角NPBP=NABC=90°,BP=BP'=1,

.•.在RtAB尸尸中，由勾股定理得，

PP'=\BP2+BP'2=<12+12=板•

故答案为：.2.

18,(8094,0)

【分析】本题考查的是坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质等知识.作出把经

3次翻滚后的图形，作轴于点£,由勾股定理可得5E的长，从而可知点2的纵坐

333

标，再根据等边三角形的边长为4及等腰三角形的三线合一性质，可得的长，从而可知

点8的坐标；由图象可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚2024次后中点M的坐标.

3

【详解】解：如图所示，把A/台。经3次翻滚后，点B落到点q处，点M经过点N、点”

落到点AT处，点A落到点K处，作轴于点E,

yt

则/i£=60。,BK=A,

3

：.KE=-BK=2,BE=—BK=,

23323

.•.O£=2x4+2=10,

・•.K(8,0),5

由图象可知，翻滚三次为一个循环，

•••2024=3x674.......2,

・•・翻滚2024次后AB中点M的纵坐标与点”的纵坐标相同，横坐标为674x12+6=8094,

翻滚2024次后48中点M的坐标为(8094,0).

故答案为：(8094,0),

19.(l)x=-2

(2)x=-4

【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是解分式方程注意要检验.

(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分

式方程的解；

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分

式方程的解.

【详解】(1)解：去分母得：3x-2(x-l)=0,

去括号得：3x-2x+2=0,

移项、合并同类项得：x=-2,

检验：把x=-2代入得：x(xT)wO,

・••分式方程的解为x=-2,

检验：把x=-2代入得：x(x-l)7^0,

，分式方程的解为》=-2；

(2)解：去分母得：2(l-x)=x-(2x-6),

去括号得：2-2x=x-2x+6,

移项得：—2x—x+2x=6—2,

合并同类项得：-x=4,

解得：x=-4,

检验：把x=-4代入得：2(x-3)w0,

，分式方程的解为x=-4.

【分析】本题考查分式的化简求值，众数.先根据分式混合运算法则进行化简，根据众数的

定义求出x的值，最后代入计算即可.

X2+2x+ll-2x]

【详解】解:X一x-2

2x-4J

(x+1)2x2-2x-l+2x

2(x-2)x-2

(x+1)2(x+l)Q-l)

2(x-2)x-2

_(x+1)2x-2

2(x-2)(x+l)G-l)

x+1

~2x-29

4,5,6,5,3,2的众数为5,

将x=5代入，得：

21.(1)7.5,8,8

(2)200人

⑶八年级的学生成绩更优异，理由见解析

【分析】本题考查条形统计图，中位数、众数，利用样本估计总体等：

(1)根据中位数、众数的定义求解；

(2)利用样本估计总体思想求解；

(3)从合格率或中位数方面进行比较.

【详解】(1)解：七年级抽取的20名学生中，将成绩按从小到大的顺序排列，由条形统计

图可知，第10位学生的成绩是7分，第11位学生的成绩是8分，

••・七年级抽取学生的成绩的中位数是q?=7.5,即“=7.5；

同理可求得八年级抽取学生成绩的中位数是8,即6=8；

八年级抽取的学生成绩中，8分出现的次数最多，

...众数是8,即c=8,

故答案为：7.5,8,8；

(2)解：800x^12=200(人)，

40

即该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的约有200人；

(3)解：八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异，因为八年级的中位数高于七年

级的中位数.

22.(1)画图见解析；(2)画图见解析；(3)三角形的形状为等腰直角三角形.

【分析】(1)利用点平移的坐标特征写出/八BrJ的坐标，然后描点即可得到△///(3/

为所作；

(2)利用网格特定和旋转的性质画出/、B、C的对应点/?、台2、C2'从而得到

(3)根据勾股定理逆定理解答即可.

【详解】(1)如图所示，与J即为所求；

(2)如图所示，A4/2C2即为所求；

(3)三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OAj=、l^^=g,

即OB2+OA[2=AJB2,

所以三角形的形状为等腰直角三角形.

【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角,

对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应

点，顺次连接得出旋转后的图形.

23.(1)BE=DF,理由见解析；(2)NAEB=NCFD,理由见解析

【分析】(1)根据四边形48。是平行四边形，则NO=CO,BO=DO,由3£=D厅即可

得到0E=0尸，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形AECF是平

行四边形；

(2)根据四边形/BCD是平行四边形，进而可得N3=CD,/8//CD,NABE=NCDF,结

合NAEB=NCFD,证明尸进而可得/£=CF,NAEB=NCFD,根据等角的补角

相等可得=进而得到/£〃CF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四

边即可得证.

【详解】解：(1)BE=DF,理由如下，

四边形4BCD是平行四边形

:.BO=DO,AO=CO

BE=DF

BO-BE^DO-DF

:.OE=OF

四边形/ECF是平行四边形；

(2)NAEB=NCFD,理由如下，

四边形是平行四边形

AB^CD,AB//CD

ZABE=NCDF

义•；NAEB=NCFD

.•△4BE必CDF

AE=CF

•••NAEB=NCFD

AAEF=ZCFE

:.AEHCF

四边形血力是平行四边形.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上性质定

理是解题的关键.

24.慢车的速度为40km/h

【分析】根据已知快车的速度是慢车速度的L2倍，列方程即可；

【详解】解：设慢车的速度为xkm/h,则快车的速度为1.2xkm/h,根据题意，得

120120_1

解得：x=40；

经检验：x=40是原方程的解；

答：慢车的速度为40km/h.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键.

25.［三角形中位线定理］见解析；［应用］135。；［拓展］见解析

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位

线的性质是解题的关键.

［三角形中位线定理］根据三角形中位线定理即可得到结论；

［应用］连接2D,根据三角形中位线定理得到屈3。，BD=2EF=4,根据勾股定理的逆

定理得到ZBDC=90°,计算即可；

［拓展］取。C的中点“，连接W、NH,则W、NH分别是AACD、△8。的中位线,

由中位线的性质定理可得〃/C且NH〃BDaNHJBD,根据等腰三角

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形的性质即可得结论.

【详解】解：［三角形中位线定理］DE〃BC,DE=^BC.

理由：：点。，E分别是边ZB,/C的中点，

是"8C的中位线，

DE//BC,DE=-BC；

2

［应用］连接8。，如图所示,

(图②)

•••£、"分别是边43、4D的中点,

EF//BD,BD=2EF=4,

NADB=ZAFE=45°,

BC=5,CD=3,

:.BD2+CDI