辽宁省七校协作体2023-2024学年高二年级下册开学考试数学试题

2023-2024学年度（下）七校高二联考数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在

每小题所给的四个选项申，只有一项是符合题目要求的）

1.经过两点K（-L3）,3（-L0）的直线的倾斜角为（）

nnn_.__.

A.—B.—C.—D.不在

642

2.双曲线的渐近线方程为（）

3.二棱柱且BC-DEF中，G为棱XD的中点，若艮4BC=b>

A

BD=c>WJCG=（）D/

A.-a+b-c

C.——a+—b+c

22

4.点尸是抛物线V=4x上一点，尸到该抛物线焦点的距离为4,则点尸的

横坐标为（）

5.已知椭圆方程为二+£=1（。>b>0）,其右焦点为F（4,0）,过点

ab

产的直线交椭圆与A,8两点.若出的中点坐标为&T）,则椭圆的方程为

（）

D.一+--=1

189

6.现安排甲，乙，丙，丁，成5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人

从事翻怪，导游，礼仪,司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲，

乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安

排方案的种数是（）

A.152B.126C.90D.54

7.如图，在四棱锥尸-且88中，R4_L底面X58,底面为正方

形，R4=2,3C=2,E为CD的中点，尸为PC的中点,则异面直线BF与PE

所成角的正弦值为（）

A.迫B.一迫C.孚D.区

9999

8.已知?weR,直线［：mx+y+2m=Q^l2；x-巾，+2切=0的交点

尸在圆C：（x-2）2+（y-4）2=r2（r>0）±,贝卜的最大值是（）

A.4^2B.3^C.2^2D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在

每小题给出的四个选项申，有多项是符合题目要求的.全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.若C：=CM则正整数*的值是（）

A.1B.2C.3D.4

10.现有带有编号L2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确

的有（）

A.全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒，共有45种放法

B.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有点一才种不同的放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有

0c种放法

D.全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法

11.已知圆3/《一疗+。，-4一以=1（。61i）,贝|］（）.

A.圆M可能过原点

B.圆心M在直线x+y-1=0上

C.圆M与直线x-］，-1=0相切

D.圆M被直线》-『=0所戴得的弦长为立

12.如图,在棱长为1的正方体-44G9中，及尸分别为J5］和

3。的中点，”是截面4KCG上的一个动点（不包含边界），若

4M，，珥，则下列结论正确的是（）

A.,必/的最小值为立

2

B.三棱锥，一历M的体积为定值

C.有且仅有一个点使得EM//平面J5CD

D..W+EM的最小值为理

2

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知两条直线G-J-2=0和（a+2）x-y+l=0互相垂直，则a等

于.

14.若（x+a）（l-2x）5的展开式中X2的系数为70，则实数a=

15.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,准线为/,P是/上一点，。是

直线尸产与C的一个交点，若再=4而，则|Q尸I=.

16.如图,在坡面a与水平面J3所成二面角为60。的山坡上，有段直线型

道路,"与坡脚/成30。的角，这段路直通山顶A,已知此山高135君米,

若小李从3沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达

山顶A需要的时间是分钟.

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤）

17.（本小题满分10分）

已知直线2x-y-l=0与直线X-2y+l=0交于点P

（1）求过点尸目平行于直线3x+4丁-15=0的直线的方程；

（2）在（1）的条件下，若直线（与圆/+/=2交于45两点，求直线

与圆截得的弦长1481.

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱,超C-4&G中，44c5=90。，"尺二一NI

^=AC=BC=2fD,E分别为℃,48的中点.

（1）证明：ED〃平面JBC;A

（2）求直线CC,与平面43。所成角的余弦值.B

19.（本小题小分12分）

已知P是离心率为寺的椭圆C：'+J=1(a>£>>0)

ab

上任意一点，厂是椭圆。的右焦点，目|尸产|的最小值是L

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点厂的直线/与椭圆C相交于A,3两点，若|，"|=葭，求直线

/的方程.

20.（本小题满分12分）

已知抛物线E:d=2刀（0<p<3\E上一点C的横坐标为由C到抛

物线E的焦点的距离为2.

（1）求抛物线石的方程;

（2）直线，交抛物线E于43两点，O为坐标原点，满足上3AB=-4,

求A043面积的最小值.

21.（本小题满分12分）

如图所示,正方形JBCD所在平面与梯形所在平面垂直，ANHBM,

AN=AB=BC=2,BA/=4,CN=26.

（1）证明：3M'J■平面J3C。；

（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E,使得二面角E-BN-M

的余弦值为坐.若存在，求出的唾值；若不存在，请说明理由.

3

22.（本小题满分12分）

已知动点尸到点尸（2,0）的距离等于其到直线x=g距离的2倍，记点尸

的轨迹为曲线「.

（1）求曲线「的方程；

<2）已知斜率为#的直线」与曲线「交于点4瓦。为坐标原点，若

Q4_LO3,证明：大，■+焉•为定值.

\OA\1\OB|2

2023-2024学年度(F)七校高联考答案

1.C2.B3.D4.B5.C6.B7.D8.A

9.AB10.ABC11.AD12.BCD

13.-114.215.316.18

2x—i'—1=0fx=1

17⑴由阴以PL1),

[x-2y+l=Qb=l

令h：3x+4y+m=0,将P(L1)代入得：4:3x+4p—7=0........5

分

(2)圆心。。0)到直线4：3x+4v-7=0的距离d=|0~0-71=2,

49+16〉

所以即|=2,2T=1........10分

18、(1)如图建立空间直角坐标系，则0(0,0/)，3(0,20),4(2,0,2),

E(LL1),G(0,0,2),所以反=(LL0),因为加C-431cl是直棱

柱，

所以J■平面HSC,因此平面J5c的一个法向量为n=(0,0:1),

所以避；=0,即诙_1_7,又EDU平面

所以ED〃平面JBC。.....6分

(2)因为西=(0。2),55=(0-21),而=(2,-2.2)

设平面48。的法向量为in=(xs乂二),

而BD=-2y+==0

>令二=2,得而=(-LL2),

fhBAi=2x—2y+2z=0

设直线CG与平面所成角为6,则

sin6=

|w|-|c^|-2x5/6

.................12分

r1

19、（1）由题意得一F（c：O）,故〃=牝2,又〃=〃+/,故

a2

az=-b\

3

223

设尸（皿〃），-a<m<a,则々+—=1,即〃、/-一小

a'b4

\PF\=J（……=巧一/—2由+*+^=新一2c…

（2）当过点F的直线/的斜率为。时，|，钳|=2。=4,不合要求,

当过点F的直线I的斜率不为。时，设为x=）+1,

联立工+广=1得（3产+4»2+6。_9=0,

43

A=36产+36（3产+4）>0恒成立,

设&再,））3（孙必），则M+必=另七，内必=金='

故

I孙=附层示善=黑1

故12（1+r）=以解得「=±坦，

3"+453

故直线/的方程为3x±73y-3=0......................12分

20解：（D令C（WJ）,因为C到抛物线E的焦点的距离为2,

所以尸2—个代入/=2加得：3=242—｝；,解得P=l,

故求抛物线E的方程为：f=2y............4分

（2）令直线/的方程为：y=&+AN（玉，乃）1（国也）•联立直线/与抛

1

物线E的方程得：x-2kx-2b=Qf故石+电=2左，石电=-2b.

因为分「屁8=-4,所以乜竺=一1,又川=£,M=⑹，所以6=8・

玉玉22

得直线/的方程为：y=fcv+&再为=-16.

|,13|=J1+二J（再+为f-41xp^=-^l+k^-^Ak2+64,

|8|

原点。到直线I的距离d=，所以40AB面积

71+A:2

s=^[4B\d=4^4k2+64,

当上=0时，AO/B面积的最小值为32...........................12分

21【详解】(1)证明：•.•正方形JBCD中，BCJ.AB,

又平面JBCDJ"平面月3MV,平面JBCOC平面.4BA£V=JB,5Cu平

面ABCD,

二BC_L平面ABMN,又BMu平面ABMN,

.-.BC1BA/,且3C_LBV,又BC=2,CA「=2出，

/.BN=4CN--BC1=272,又AB=AN=2,

:.BN2=AB2+AN1,:.AN上AB,又ANHBM,:.BM±AB,

又5cpiA4=3,BA,BCu平面JBCD,

二BM_L平面JBCD;.........4分

(2)如图，以A4,BA/,BC所在直线分别为x,y,二轴，建立空间直

角坐标系，

则8(0,0,0),A(2,0,0),C(Q,0,2),

D(2,0,2),N(2,2,0),河(0,4,0),设点E(a,b,c),

--CE=2C^(O<<1<1),.-.(a,b,c-2)=2(0,4,-2),

4=0

二<。=42>二七(0>4尤>2—22)>二面=(2,2,0),而=(0,4卷2—22),

c=2—2/1

设平面3EN的法向量为而=(”二)，：J竺标f+2j=°,取

BEm=4召，+(2—22上=0

__,22、

又易知平面3MV的法向量为BC=(0,0,2),

的网23令3

1-A

4A.

二|cos<BC,m）|=匹"'=——上^----=—,

1

2

22.（D解：设动点尸（xj，）,则PF|=7（X-2）2+J2,

点尸到直线x=W的距离d=x-：,由题意知|尸产|=2d,即

yl（x-2）2+y2=2卜j,

化简，得f-4=i,即曲线r的方程为——4=1...............4

33

分

（2）证明：设直线」的方程为广云+%（鼻乂）潭（马弘），

2/_[

联立方程，得“一行=1，消去了并整理，得

y=Ax+Z,

(3-5卜--2ktx-1，-3=0,贝|J3-二H0,目

A=(-2A/)2-4(3-*2)(-/