线性代数试题(答案)

(―)

一、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求)

1、设A,8为n阶方阵，满足等式A8=0,贝必有()

(A)A=O或8=0;(B)A+B=0；(C)同=0或囚=0;(D)|A+B|=0.

2、A和B均为〃阶矩阵，^.(A+B)2=A2+2AB+B2,贝!)必有()

(A)A=E；(B)8=E；(C)A=B.(D)AB=BAo

3、设A为,〃x〃矩阵，齐次方程组Ax=0仅有零解的充要条件是()

(A)4的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；

(C)A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.

4、"阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是()

(A)4的秩小于“；(B)同彳0；

(04的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；

二、填空题(本题共4小题，每题4分，满分16分)

5、若4阶矩阵A的行列式间=-5,A*是A的伴随矩阵，则|A*卜.

6、A为〃x〃阶矩阵，且A2-A—2E=0,贝!J(A+2E)T=。

(\21>

7、已知方程组23a+2工2—3无解，则(?=o

<X3>

8、二次型/区,々/3)=23+3考+思+2中2+2中3是正定的，贝卜的取值范围

是。

三、计算题(本题共2小题，每题8分，满分16分)

1+X111

11-X11

9、计算行列式。=

111+y1

1111-y

10、计算〃阶行列式

X1+3x2・-4

xx+3•.%

D.=}2

再入2・•%+3

四、证明题(本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程)

11、若向量组线性相关，向量组。2，。3，%线性无关。证明：

(1)/能有线性表出；

⑵不能由a|，a2，a3线性表出。

12、设A是〃阶矩方阵，E是〃阶单位矩阵，A+E可逆，且

f(A)=(E-A)(E+A)~'.

证明

(1)(E+/(A))(E+4)=2E；

(2)/(/(A))=Ao

五、解答题(本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明

或演算步骤)

00、

13、设4=032,求一个正交矩阵P使得P-MP为对角矩阵。

23,

X1+x2+=0

14、已知方程组,X]+2X2+ax3=0与方程组X]+2*2+%3=a-l有公共解。

2

X1+4X2+axi=0

求a的值。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知小，力，生是它的三

个解向量，且

求该方程组的通解。

解答和评分标准

一、选择题

1、C；2、D；3、A；4、Ao

二、填空题

5、-125;6、-；7、-1；8、/>—o

25

三、计算题

9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：

xx00

11-x11

D=

00yy

1111-y

x00（)

1-r1（)(4

第二列减第一列，第四列减第三列得：D=c八

00y（)

101-y

分）

按第一行展开得

-%10

D=x0y0

01-y

按第三列展开得

D=-xyX=x2y2»（4分）

1y

'£±+3],再通过行列

10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子

3=17

式的变换化为上三角形行列式

1*2…%

&=住"；T…?

(4分)

\1=1）.,,

1x2…x〃+3

1x2

£X，+3)030

k»=1)

00­••3

(H、

=3"TZ'，+3(4分)

\»=1)

四、证明题

11、证明：

(1)、因为。2，。3。3线性无关，所以。2,％线性无关。，

又四，%，%线性相关，故%能由&2，。3线性表出。(4分)

r(at,a2,a3)=3,

(2)、(反正法)若不，则%能由%,线性表出，

不妨设+%2a2+左3a3°

由(1)知，%能由线性表出，

不妨设四=t]a2+t2a3o

所以＜74=ki(tla2+t2a3)+k2a2+k3ay,

这表明。2，。3，%线性相关，矛盾。

12、证明

(1)(E+f(A))(E+A)=[E+(E-A)(E+A)-'](E+A)

=(E+A)+(E-A)(E+AY'(E+A)=(E+A)+(E-A)=2E(4分)

(2)f(f(A))=[E-f(A)][E+f(A)y'

由(1)得：[E+/(A)「=；(E+A),代入上式得

/(/(A))=[E-(E-A)(E+A)T]g(E+A)=；(E+A)-(£-A)(E+A)T；(E+A)

=-(E+A)--(E-A)=A(4分)

22

五、解答题

13、解：

（1）由—A|=0得A的特征值为4=1,否=2,4=5。（4分）

'0、

（2）4=1的特征向量为-1,

个

4=2的特征向量为$=0,

⑼

9、

4=5的特征向量为&=1»（3分）

（3）因为特征值不相等，则44g正交。（2分）

（0、T'0、

（4）将配&，刍单位化得Pi=£

-1，P1—0-W1（2分）

°

o

0

l

1

0

(5)取P=M，P2，P3)=一正f

1a

0

‘100、

(6)P'AP=020（1分）

、005,

14、解：该非齐次线性方程组Ax=b对应的齐次方程组为

Ax=0

因R（A）=3,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零

解都是它的基础解系。（5分）

另一方面，记向量］=2〃i一（小+/），则

=4（2彷一〃2_〃3）=247—=2b-h-h=0

直接计算得J=（3,4,5,6）「工0,J就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程

组解的结构知，原方程组的通解为

x=k百+小ksR。(7分)

15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组：

须+工2+工3=°，

芭+2X2+ax3=0,

占+442+。飞=0，

%14-2X2+x3=a-1.

若此非齐次线性方程组有解，则①与②有公共解，且③的解即为所求全部公共

解HTT*

对③的增广矩阵,作初等行变换得:

‘1110、'1110、

12a001a-\0

彳=.(4分)

14a2000(a-2)(a-l)0

J21a-ly、001—(7〃—1,

1°当a=l时，有r(A)=r(W)=2<3,方程组③有解，即①与②有公共解，其全

部公共解即为③的通解，此时

(1010、

(0000J

61、

则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为：0

、Iy

'一1、

所以①与②的全部公共解为k0,A为任意常数.(4分)

、1)

2°当a=2时，有r(A)=r(X)=3,方程组③有唯一解，此时

"1000、

_0101

A—>

001-1

、0000,

0、0、

故方程组③的解为：1,即①与②有唯一公共解》=（4分）

Q

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只

有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

aua12a13allalla12+a13

1.设行列式=m,=n,则行列式等于（)

aaa21a22+a23

2l2223a2i

A.m+nB.-(m+n)

C.n-mD.m-n

(\00、

2.设矩阵人=020,则A-I等于（)

03)

00

300

]_]_

A.00B.00

22

001

00

(\_

2_00

002

3

010D.00

j_3

0000

2)

3-12

3.设矩阵人=10-1,A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1,2）的元素是（)

<-214；

A.-6B.6

C.2D.-2

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有（)

A.A=0BBwC时A=0

C.AwO时B=CD.|A|wO时B=C

5.已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（)

A.1B.2

C.3D.4

6.设两个向量组a1，a2,和储，/，・・・，Bs均线性相关，则（)

A.有不全为0的数X1»入2»9入s使入1a:2a2+…+入sas=0和)[B[+02B2+

PS=。

B.有不全为0的数人1»入2>•••»人§使人1(ai+Bi)+入2(。2+。2)+••,+、§(as+ps)

=0

C.有不全为0的数入I，入2,…,入s使入1(a|-PI)+入2(a2—2^+…+、s(aS—S)

=0

D.有不全为0的数人”入2,…，3和不全为o的数ui，1*2，…，Us使入ia1+入2a2+…

+

+入sas=0和口）P|+u2P2"",+Usg=0

7.设矩阵A的秩为r,则A中（）

A.所有r-l阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0

C.至少书•一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,Hi.。2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）

A.ni+n2是Ax=O的一个解B.-n,是Ax4的一个解

22

c.iii-n2^Ax=o的一个解D.2ni-n2^Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

A.秩（A）〈nB.秩（A）=n-1

C.A=0D.方程组Ax=（）只有零解

10.设A是一个n（》3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）

A.如存在数人和向量a使Aa=入a,则a是A的属于特征值人的特征向量

B.如存在数人和非零向量a,使（入E-A）a=0,则入是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如人”入2，入3是A的3个互不相同的特征值，a,,a2,a3依次是A的属于X1，

X2,入3的特征向量，则a”a2,（I3有可能线性相关

11.设入0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入。的线性无关的特征向量的个数为k,

则必有()

A.kW3B.k<3

C.k=3D.k>3

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）

A」AF必为1B.|A|必为1

C.A-|=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）

A.A与B相似

B.A与B不等价

C.A与B有相同的特征值

D.A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（)

23

A.B.

'100、(\1r

C.02-3D.I20

<0-35,J02,

第二部分非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在

每小题的空格内。错填或不填均无分。

111

15.356=.

92536

16•”设A=「fl-iJnB=L(11-22J3、.e则A+2B=

17.设A=(ag)3x3,|A1=2,Ay表zjx|A|中兀素a0的代数余子式(ij=l,2,3),则

(a“A2i+a|2A22+ai3A23)?+(a21A2i+a22A22+a23A23),+(a31A21+a32A22+a33A23『=.

18.设向量(2,-3,5)与向量(46,a)线性相关，则a=.

19.设A是3X4矩阵，其秩为3,若山，n2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，

则它的通解为.

20.设A是mXn矩阵，A的秩为r(<n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解

的个数为.

21.设向量a、B的长度依次为2和3,则向量a+B与a-0的内积(a+6,a-6)=.

22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.

‘0106'2

23.设矩阵A=1-3-3已知a=-1是它的一个特征向量，则a所对应的特征值

、-2108,、2,

为.

24.设实二次型f(X|,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为,

三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)

fl20>,、

(23-1A.

25.设A=340,B=卜求(1)AB1；(2)|4A|.

、-12b

31-1

26.试计算行列式-；5*1；3

1-53

‘423、

27.设矩阵A=110求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B

-123

28.给定向量组a

试判断a4是否为a”a2a3的线性组合；若是，则求出组合系数。

-2-102'

29.设矩阵人=[426—6

2-1023

<33334,

求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

0-22、

30.设矩阵A=-2-34的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使

124-V

T-,AT=D

31.试用配方法化下列二次型为标准形

f(X],X2,X3户xj+2x；-3xj+4x]X2-4X]X?-4X?X3,

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A、0,试证明E-A可逆，且（E-A）T=E+A+AL

33.设Ho是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，&1，&2是其导出组Ax=0的一个基础解

系.试证明

(1)ni=n0+&1，n2=no+2均是Ax=b的解;

(2)Ho,Hi,n?线性无关。

答案:

一、单项选择题（本大题共14小题,每小题2分,共28分)

1.D2.B3.B4.D5.C

6.D7.C8.A9.A10.B

11.A12.B13.D14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）

15.6

337

16.

-1-3

17.4

18.-10

19.1气(112-11|)(或。2+,112-5))，C为任意常数

20.n-r

21.-5

22.-2

23.1

24.zf+Z2+z1-

三、计算题（本大题共7小题,每小题6分，共42分）

'120Y2-2、

25.解(1)AB'=34034

-121八-10>

'86、

1810

、310,

(2)|4A|=43|A|=64|A|,而

120

|A|=340=-2.

-121

所以14Al=64•(-2)=-128

31-1251-11

-513-4-1113-1

26.解

201-10010

1-53-3-5-530

51

-111-1

-5-50

51

2

-6230+10=40.

-5

-5-5

27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

223、Tf1-4-3、

(A-2E)T1-10=1-5-3

-121;<-164>

1-4-3Y423、

所以B=(A-2E)-IA=1-5-3110

64><-123>

'3—8

2-9-6

「2129;

，-2130、’0-53-2>

I-30-11-30-1

28.解一

02240112

、34-19><013-112;

T035、[I035、

01120112

00880011

<00-14-14;<0000>

「1002、

0101

>0011'

<0000>

所以a4=2a]+a2+a3，组合系数为（2,L1）.

解二考虑a4=X|a]+x2a2+x3a3,

-2X]+X2+3X3=0

即X「3X2=-l

2x2+2x3=4

3x]+4x2-X3=9.

方程组有唯一解（2,1,1）T,组合系数为（2,1,I）.

29.解对矩阵A施行初等行变换

-2-102

328-3

003-1

0000,

（B）=3.

(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4

列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量

组的一个最大线性无关组。

(A的第1、2,5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)

30.解A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为

己!=(2,-1,0)T,m2=(2,0,1)T

"25/5/5"275/15

经正交标准化，得。产-V5/5n2=475/15

、°>、石/3,

入=-8的一个特征向量为

（1/3、

&3=2,经单位化得n3=2/3

2>2/3；

‘20/525/15/151/3、

所求正交矩阵为T=-V5/5475/152/3

、0V5/3-2/3,

'10o'

对角矩阵D=010

、00

‘2百/52-715/151/3、

(也可取T=0-V5/32/3.)

、0/5-4^/15-2/3

222

31.解出Xi，x2,x3)=(xi+2x2-2x3)-2X2+4X2X3-7X3

22

=(X|+2x2-2x3)2-2(X2-X3)-5X3.

Y1=xi+2x2-2X3

Xi=Yi-2y2

设,y2=X2-X3,即，X2=Y2+Y3

X3=Y3

>3=X3

'1-2o'

因其系数矩阵C=011可逆，故此线性变换满秩.

<00b

经此变换即得f(x”x2,X3)的标准形

yi2-2yi2—5yj2.

四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)

32证.由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,

所以E-A可逆，且

(E-A)-1=E+A+A2.

33证.由假设An()=b,A"=0,Am2=0.

=

(1)Ani=A(n()+g1)=An0+Agi=b,同理An2b.

所以n”汁2是Ax=b的2个解。

(2)考虑/()no+八ni+/2n2=0，

即(/0+/1+/2)AO+/Ii+/2^2=0.

则/o+/i+，2=O，否则no将是Ax=O的解,矛盾。所以

l\&l+，2&2=0.

又由假设，『，一线性无关，所以/1=0,/2=0,从而lo=o.

所以n0,Hi.%线性无关。

(三)

一、填空题(本题总计20分，每小题2分)

1.排列7623451的逆序数是o

«1)3al20

2.3a220=

«21

61

BT}=CA

3.已知〃阶矩阵A、8和。满足A8C=E,其中£为〃阶单位矩阵，贝IJ

4.若A为机X〃矩阵，则非齐次线性方程组AX=b有唯•解的充分要条件是

5.设A为8x6的矩阵，已知它的秩为4,则以4为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间

维数为2o

0001

6.设A为三阶可逆阵，A-1=210，则A*=

<32"

7.若A为机x〃矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是

12345

30412

8.已知五阶行列式。=11111,贝U%41+442+443+A44+A45=_

11023

54321

9.向量a=（-2,1,0,2）7的模（范数）

10.若a=(lk1)2■与/=(1-21)，正交，则％=

二、选择题（本题总计10分，每小题2分）

1.向量组4，线性相关且秩为s，则（D）

A.r=sB.r<s

C.s<rD.s<r

2.若A为三阶方阵,且|A+2E|=0,|2A+E|=0,|3A-4E|=0,则|A|=(A)

A.8B.一8

44

C.-D.--

33

3.设向量组A能由向量组B线性表示，贝ij(d)

A.R(B)<R(A)B.R(B)<R(A)

C.R(B)=R(A)D.R(B)>R(A)

4.设〃阶矩阵A的行列式等于D,则（附等于______

(A)M*(B)k"A*(C)kn-'A*(£>)A*

5.设〃阶矩阵A,B和C,则下列说法正确的是

(A)AB=AC则B=C(B)AB=0,则同=0或同=0

(C)(AB)r=ATBT(D)(A+B)(A-B)=A2-B2

三、计算题(本题总计60分.1-3每小题8分,4-7每小题9分)

12222

22222

22322

1.计算〃阶行列式。=••••••o

•••••«••

222•••n-12

222•••2n

2.设A为三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且闺=,，求(3A)T-2A*

3.求矩阵的逆

'111、

2-11

J20,

玉++^x3=

4.讨论2为何值时，非齐次线性方程组｛$++刍=义

+x24-x3=1

①有唯•解;②有无穷多解；③无解。

5.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

X]+彳2+工3+=2

<21[+3X24-X3+X4=1

%1+2X3+2X4=5

2

6,已知向量组％=(103)，、a2=(l135)丁、%=(1-131),、

。4=(1249)T、。5=(1125),求此向量组的一个最大无关组，并把其余

向量用该最大无关组线性表示.

’-110、

7.求矩阵人=-430的特征值和特征向量.

02,

四、证明题(本题总计10分)

设?j为AX=b(b/0)的一个解，……4-r为对应齐次线性方程组AX=0的基

础解系，证明。……€…/线性无关。

(答案三)

一、填空题（本题总计2（）分，每小题2分）

‘100、

1-15；2、3；3,CA；4、R(A)=R(A,b)=〃；5、2；6、2107、R（A）＜n；8、0；9、3；

、321,

1（）、1。.二、选择题（本题总计10分，每小题2分1、D;2、A;3、D;4、C；5、B

三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）

122•••22

222•••22

001•••00

解：

1、D4-r2(t=3,4,--3分

000•••n-30

000…0n-2

122•••22

0-2-2-2-2

001・・・o0

ri-2n..■6分

---------•.•

000…〃一30

000…0n-2

=1x(-2)x1x2x•••x(n-3)x(n-2)=-2(〃-2)!...........8分

（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）

11Y121](111、

解：⑴AB-2A=-11113-1-2-111-—1分

T1卜1-II

’464W222\242、

=222——222400■5分

、206八2-22J024J

'113W593、'-4—80、

(2)A2-B2=-111-210-6-3-117,8分

1Li

,3-11117,、—8—12一电

3.设A为三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=g,求|（3A）T—2A*|.因A*A=|A|E='E,故

A*|=A"-1=-3分A

AT=2*=2A*5分

4A

|(3A)-1-2A*|=-A*-2A*=--A*8分

13313)427

-100100、00100、

4、解：（A,E）1-100100-1D110…3分

11-1001・1101,

-100100]r,4-(-1)(\00-100、

—

0-10110r24-(-1)0101一10—6分

.3+4

00-1211)r3+(—1)、001-2-1f

00

1

故4T-1-108分（利用相A*公式求得结果也正确。)

「2-1-17

A11、八力厂312万、

5、解；（A,b）A2,2一八0A—1\—A.A.—Ar「3+4

12矛Jr3-4(01-21-221-23-

u/

11222

0/I—11—Z4-£3分

00(2+A)(l—A)(l+/l)2(l-2)

7

(1)唯一解：R(A)=R(A,h)=3AW1且rH—2•5分

(2)无穷多解：R(A)=R(A,h)<32=11分

(3)无解：R(A)#R(A,6)2=-2■9分（利用其他方法求得结果也正确。）

11112、'10225

6,解：(A,b)2311101-1-1-3-—―"34）

10225>、00000

J2、

尤1+2X+2尤4=01

3基础解系为百=----6分

x2-x3-x4=01

7

5

无i+2x}+2X4=5-3

令％3=工4=0,得一特解:乙=一7分故原方程组的通解为:

x2-x3-x4=-30

0J

〃++k岛=其中&”&2eR-9分（此题结果表示不唯一，只要正确

可以给分。）

10

7、解：特征方程|A-4同3-20=(2-2)(2-1)2从而4=2,4=4=1(4

02-A

分）

当4=2时，由（4-2后冰=0得基础解系4=（0,0,11，即对应于4=2的全部特征向量为

0）（7分）

当4=4=1时，由（A—E）X=0得基础解系？2=（T,—2,I）T,即对应于4=4=1的全部特征向量为

喧（右工0）

四、证明题（本题总计1（）分）

证：由2……J为对应齐次线性方程组4X=0的基础解系，贝U4