提升演绎推理能力的教学策略

【摘

要】演绎推理是一种从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，对培养学生思维的全面性、严密性和一贯性有着不可替代的作用。教学中，教师要充分挖掘教学资源，以经验为基础，以直观为桥梁，以规范为引领，以训练为抓手，让学生经历演绎推理的过程，提升他们的推理能力，促进其思维能力的发展。【关键词】演绎推理；小学数学；教学策略演绎推理是一种从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，对培养学生思维的全面性、严密性和一贯性有着不可替代的作用。数学家彭加勒认为，演绎推理应是数学推理能力的核心，是数学推理的根本特征。教学中，教师需要引导学生从一些已有的判断推出新的判断，进而揭示许多无法直接感知的真理。那么，针对以直觉思维为主、严谨性较弱的小学生，如何更好地实施演绎推理的教学呢？一、以经验为基础——直觉性演绎推理同样依赖于小学生的直觉思维。直觉思维源自学生的生活经验、数学活动经验与直观感悟等内因感知。严密的演绎推理对小学生来说比较困难，需要辅以直觉思维的支撑。因此，教师要致力于在学生已有知识经验的基础上进行教学，充分利用学生的直觉思维展开演绎推理，促进学生推理能力的发展。例如，在苏教版教材四年级下册“三角形的内角和”内容的教学中，可以利用长方形的特征（如图1），通过演绎推理证明三角形的内角和是180°。师：把一个长方形沿着对角线剪开，得到两个直角三角形，这两个直角三角形完全相同吗？（学生独立动手操作）生：完全相同。因为把这两个直角三角形重叠在一起，发现它们完全重合。师：通过重叠可以验证这两个直角三角形完全相同。那∠1与∠4，∠2与∠3相等吗？生：把这两个直角三角形重叠在一起，发现∠1与∠4完全重合，所以∠1=∠4；同样，∠2与∠3也完全重合，所以∠2=∠3。师：说得真好。你们能说出每个直角三角形的内角和是多少度吗？请大家互相讨论一下。生：因为长方形的内角和是360°，把它分成了两个直角三角形，所以每个直角三角形的内角和是360°÷2=180°。师：同学们，你们认同他的想法吗？如何证明这两个直角三角形的内角和是180°呢？生：我是这样想的。因为∠3+∠4=90°，∠1=∠4，所以∠1+∠3=90°。90°（直角）+∠1+∠3=180°，所以这个直角三角形的内角和是180°。生：我是这样想的。因为∠3+∠4=90°，∠2=∠3，所以∠2+∠4=90°。90°（直角）+∠2+∠4=180°，所以这个直角三角形的内角和也是180°。师：这两个同学都通过推理证明了这两个直角三角形的内角和是180°。把一个长方形沿对角线剪开，得到两个直角三角形。学生根据已有的知识经验把两个直角三角形重叠在一起，发现它们重叠后完全重合，说明这两个三角形完全相同，两个三角形中的角也分别相等。在正确前提条件的基础上，让学生说一说每个三角形的内角和是多少度。学生通过两种思路推理得到两个直角三角形的内角和都是180°。整个学习过程充分利用了学生的直觉思维，学生自觉进行演绎推理，有效地促进了推理能力的提升。二、以直观为桥梁——形象性学生的思维按照“直观形象—表象—抽象”的过程发展。在小学低段，学生需要利用直观动作思维和形象思维来理解知识；到了高段，学生的抽象逻辑思维有了一定的发展，但还需要依赖一定的具体形象思维。因此，小学生演绎推理能力的发展，应尽量以直观动作思维和具体形象思维为桥梁，循序渐进地引导学生经历推理的过程、体验推理的价值。例如，在苏教版教材四年级下册“三角形的内角和”内容的教学中，教师引导学生利用直角三角形的内角和是180°，探究锐角三角形和钝角三角形的内角和（如图2）。師：图2是分别用两个直角三角形拼成的锐角三角形和钝角三角形。锐角三角形的内角包括哪几个角？钝角三角形呢？生：拼成的锐角三角形和钝角三角形不包括其中的两个直角，所以锐角三角形的内角是∠1、∠2、∠3和∠4，钝角三角形的内角也是∠1、∠2、∠3和∠4。师：你们能分别推导出锐角三角形和钝角三角形的内角和是多少吗？（学生先独立探究，再在小组内交流想法）师：谁来说一说你的想法？生：我推导的是锐角三角形。这个锐角三角形的左边是一个直角三角形，所以∠1+∠2=90°。右边也是一个直角三角形，所以∠3+∠4=90°。又因为这个锐角三角形的内角和是∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°，所以这个锐角三角形的内角和是180°。师：你用推理的方法推导出了这个锐角三角形的内角和是180°，真了不起。谁再来说一说这个钝角三角形的推理过程？生：这个钝角三角形的左边是一个直角三角形，所以∠1+∠2=90°。右边也是一个直角三角形，所以∠3+∠4=90°。又因为这个钝角三角形的内角和是∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°，所以这个钝角三角形的内角和是180°。这里利用两个直角三角形分别拼成一个锐角三角形和一个钝角三角形，让学生探究它们的内角和。学生已经证明过直角三角形的内角和是180°，也通过演绎推理证明了锐角三角形和钝角三角形的内角和也是180°。整个教学过程中，教师充分利用了几何图形的直观形象，引导学生借助直觉思维进行思考，通过推理获得新知，渗透了严谨的推理过程。三、以规范为引领——有序性发展推理意识可以让学生养成有条理地进行表达的思维习惯，培养数学交流的能力。在小学阶段的数学学习中，更多的是学生根据自身的知识经验进行合情推理。推理过程中，学生的表达缺乏规范性、严谨性和逻辑性。因此，在教学中，教师要利用数学知识的内在逻辑关系，引领学生用规范的语言表达推理过程，努力做到言之有据、言之有序、言之有理，帮助学生掌握演绎推理的基本形式，提升学生思维的严谨性和条理性。例如，在苏教版教材四年级上册“商不变的规律”内容的教学中，可以利用商不变规律，探索其他运算中的不变规律。师：在之前的学习中，我们认识了“商不变的规律”。请大家想一想，我们还能用什么方法来证明这一规律的正确性。生：可以用举例来证明。如27÷9=3，如果被除数和除数都乘4，可以写成（27×4）÷（9×4）=108÷36=3，商不变，还是3。生：我用的也是举例的方法。如ɑ÷b=6，如果被除数和除数都乘7，就可以写成（ɑ×7）÷（b×7）=ɑ×7÷b÷7=ɑ÷b=6，商不变，还是6。生：我是这样想的，可以把乘7改成乘任意不为零的数c。那么ɑ÷b就可以写成（ɑ×c）÷（b×c）=ɑ×c÷b÷c=ɑ÷b，也能证明商不变。师：刚才大家用举例的方法来说明商不变的规律，真的很棒。除法中有商不变规律，那么其他运算中有没有不变的规律呢？生：我发现减法中也有差不变的规律，如ɑ-b=7，（ɑ+8）-（b+8）=ɑ+8-b-8=ɑ-b=7，那ɑ-b也可以写成（ɑ+c）-（b+c）=ɑ+c-b-c=ɑ-b。生：我觉得乘法中没有积不变的规律，如（ɑ×7）×（b×7）=ɑ×7×b×7=ɑ×b×49，积扩大了49倍。生：我觉得乘法中有积不变的规律，据我观察，只要把（ɑ×7）×（b×7）这一式子中的ɑ×7改成ɑ÷7，那么（ɑ÷7）×（b×7）=ɑ÷7×b×7=ɑ×b，这样就积不变了。不是把两个因数同时乘一个相同的数（0除外），而是一个因数乘一个数，另一个因数除以相同的数，积不变。生：也可以用更简洁的算式来表示积不变的规律，即（ɑ×c）×（b÷c）=ɑ×c×b÷c=ɑ×b（c≠0）。生：我发现加法中也有和不变的规律，如ɑ+b=16，（ɑ+9）+（b-9）=ɑ+9+b-9=ɑ+b=16，和不变。教师通过提问，引导学生探索其他运算中的不变规律。学生通过观察、比较、计算等活动，由商不变的规律类比推理出其他三种运算的不变规律。在这一过程中，学生既运用了演绎推理，又运用了类比推理，做到了言之有理、推之有据，进行了准确的数学表达。该教学过程既培养了学生的推理意识，又提升了学生的数学表达能力。四、以训练为抓手——针对性学生推理能力的培养是一个长期的、循序渐进的过程。除了平时根据教材内容和学生的差异，运用恰当的推理资源，让学生体验推理的过程和掌握推理的方法，教师还应有意识地结合教学内容设计一些推理练习，鼓励学生在螺旋上升、循环往复的学习过程中不断积累经验，有根有据地由已知判断推出新的判断，从而有的放矢地开展推理能力的训练，使推理成为学生的自觉需要。例如，在苏教版教材六年级上册“长方体和正方体的认识”内容的教学中，可以通过对长方体的棱长特征的演绎推理，建立长方体与6个长方形之间的关系（如图3）。师：长方体的棱长有什么特征？生：长方体一共有12条棱，可以分成3组，每组相对的4条棱都相等。师：你们是用什么方法得到每组4条棱都相等的？生：我们是用学具盒里的小棒拼搭成一个长方体，在拼搭的过程中发现每组相对的4条棱都相等，并通过测量确认4条棱都相等。师：这是实验的方法，这种方法一般用于提出猜想，不能作为获得结论的依据，但我们可以通过推理来证明这一结论。长方体的每个面都是长方形，长方形的对边有什么特征？生：长方形的对边相等且平行。师：请大家尝试根据长方形的特征进行推理，从而证明长方体每组相对的4条棱都相等。（学生进行独立探究，全班交流汇报）生：图3中，因为在长方形ABCD中，AB=DC，在长方形DCFE中，DC=EF，在长方形EFGH中，EF=HG，所以AB＝DC＝EF＝HG，即长方体这一组中相对的4条棱都相等。师：这个同学说得有理有据，条理清晰。生：其他两组也可以用这样的方法来证明。……学生起初认识长方体相对的4条棱长度相等是根据测量得到的，这种用实验方法得出的结论具有或然性。因此，教师根据教材内容设计了专门的练习环节，引导学生探索相對的4条棱长度相等。这样的演绎推理过程，既有助于学生感受数学结论的确定性，也有助于发展他们的推理能力。又如，在苏教版教材五年级下册“圆的认识”内容的教学中，可以结合数学问题的解决发展学生的推理意识。图4中，从点A出发，可以沿大弧线到点B，也可以沿两条小弧线到点C，再到点B。这两条线路哪条更短一些？师：请大家小组合作来解决问题。（学生小组合作探究，全班交流汇报）生：我们组把各条弧对应的直径长度假设为具体长度，大圆弧的直径假设为12cm，两个小圆弧的直径分别假设为8cm和4cm，那么大弧线的长度为[12π2]=6πcm，两条小弧线的长度和为[8π2]+[4π2]=6πcm。通过计算，发现两条路线一样长。师：运用假设法来解决问题是一种好方法。如果不假设具体的数，假设两个小圆弧的直径分别为d1、d2，请大家通过符号的运算进行推理。生：我发现两条小弧线的长度和为[πd12]+[πd22]=[π（d1+d2）2]。生：我发现大弧线的长度为[π（d1+d2）2]。生：我发现两条小弧线长度的和=大弧线的长度=[π（d1+d2）2]。通过假设具体的数进行运算得到的结