新疆阜康市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

阜康市第一中学2023～2024学年高二上学期期末考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为A．B．C．D．不存在2．已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是A．7B．8C．9D．103．若双曲线的实轴长为4，则正数A．B．2C．D．4．已知A（1，2，1），B（0，1，2），C（3，1，1），若平面ABC的一个法向量为，则A．B．C．D．5．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是A．B．C．D．6．数列-2，4，，20，…的一个通项公式可以是A．B．C．D．7．已知直线l：，点P在圆，则点P到直线l的距离的最大值为A．3B．4C．5D．68．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则A．，B．，C．，D．，9．在棱长为2的正方体，E是的中点，则A．0B．1C．D．210．等比数列的前n项和为，若，，则公比A．3B．C．3或D．211．已知抛物线C：的焦点为F，圆M：，点P，Q分别为抛物线C和圆M上的动点，设点P到直线的距离为d，则的最小值为A．3B．4C．5D．612．设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知在空间直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，2，-3），点B的坐标为（0，-1，-4），点A与点C关于x轴对称，则________．14．在各项均为正数的等比数列中，，则________．15．已知，，则最大值为________．16．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，若点P在C的渐近线上，且，则a的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等差数列的前n项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）已知圆C的方程为．（1）求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：交于M，N两点，且，求m的值．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，，，点M在线段上，且．（1）求CM的长；（2）求二面角B-AM-C的大小．20．（本小题满分12分）已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，当轴时，．（1）求抛物线C的方程；（2）当线段AB的中点的纵坐标为3时，求直线l的方程．21．（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．22．（本小题满分12分）已知M，N是椭圆E：的上顶点和右顶点，且直线MN的斜率为．（1）求椭圆E的离心率；（2）设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，且，求直线AB的斜率．阜康市第一中学2023～2024学年高二上学期期末考试•数学参考答案、提示及评分细则1．C的斜率不存在，倾斜角为．2．D只有D项中有正整数解，，或（舍），故选D．3．A由双曲线实轴长为4，有，又，．故选A．4．C，，所以，，即，，解得，，所以，故选C．5．B因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线，直线可变形为，所以两平行线之间的距离．故选B．6．BA选项，当时，，故A错误；B选项，当时，，当时，，当时，，当时，，故B正确；C选项，当时，，故C错误；D选项，当时，，故D错误．故选B．7．D直线l：即为，所以直线过定点Q（3，4），所以点P到直线l的距离的最大值为．8．A，，．9．D．故选D．10．C设等比数列的公比为q．由，可得，所以，．所以，解得或．故选C．11．C，．故选C．12．C，则，，即椭圆方程为，设C（m，n），A（0，b），B（0，-b），且，即，，．13．点C的坐标为（1，-2，3），．14．4．15．，当时，，由，所以，当且仅当，即时等号成立，故，当时，，故的最大值为．16．1设P（x，y），由，得，整理得，即，所以点P（x，y）在圆，又渐近线与圆有交点，所以，即，整理得，解得，所以a的最小值为1．17．解：（1）设公差为d，由，得，解得故；（2）由得，故．18．解：（1）方程可化为，此方程表示圆，，即；（2）由（1）可得圆心C（2，-3），半径，则圆心C（2，-3）到直线l：的距离为，由于，则有，，解得．19．解：（1）以点C为坐标原点，CB，CA，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示，设，则B（1，0，0），，，M（0，0，t），所以，．因为，所以，所以，解得．所以CM的长为．（2）因为是直三棱柱，所以．又，所以．因为，即，又，．所以，即．所以是平面AMC的一个法向量，．设是平面BAM的一个法向量，，．由得令，得，，所以．因为，，所以．据题意可知，二面角B-AM-C为锐角，所以二面角B-AM-C的大小为45°．20．解：（1）由题意知，，当轴时，A，B两点的横坐标，代入得，则，解得，所以抛物线C的方程为；（2）根据题意得，直线l的斜率存在，设，，A，B两点都在上，则有，，，，又AB中点的纵坐标为3，则，，，直线l的斜率，点F（3，0），直线l的方程为：或．21．解：由长方体可知DA，DC，两两垂直，以D为坐标原点，向量，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，有D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），E（2，1，0），，．（1）证明：因为，，，所以，，所以，，又因为，，所以；（2）设平面的法向量为，由，，有取，，，可得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，因为，所以，，，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为．2