高二（上）期入学考试数学试题（创新班）（学生答案）

内江六中高二（上）期入学考试题（创新班参考答案）1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】C【详解】设，则，故，由于线段的中点坐标为，故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，故，即，所以直线的斜率为.故选：C6．【答案】B7．【答案】A【详解】连接AC，，作平面ABCD，由正四棱台性质可知点E在AC上，因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，所以，易知四边形为等腰梯形，所以，所以，因为上下底面面积分别为：，所以四棱台的体积为.故选：A

8．【答案】C【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，由点到直线的距离公式可得，由勾股定理得，在中，，，在中，，，，，由余弦定理得，化简得，，即，因此，双曲线的离心率为，故选：C．【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：①直接求出、，可计算出离心率；②构造、的齐次方程，求出离心率；③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．9．【答案】BD【详解】若，，则或，故A错误；设，，因为，所以，又，，所以，又因为，为异面直线，，，，则直线与必相交，所以，故B正确；若，，则不一定成立，故C错误；若，，，，，两两垂直，则，，必相交于同一点，假设与不垂直，则存在直线，使得，，所以直线与可确定平面，且，这说明过内的直线可作两个平面与垂直，而这是不可能的，所以假设不成立，即，同理可证，，即，，两两垂直，故D正确.故选：BD10．【答案】ABD

11．【答案】BCD【详解】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误；B：与同向的单位向量是，正确；C：由，则在方向上的投影向量是，正确；D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，正确.故选：BCD12．【答案】BCD【详解】对A，由题意，圆的半径为，且点到直线的距离为，所以，故A错误；对B，由直线的方程，可得直线过定点，则圆心到直线距离的最大值为圆心到点的距离，即最大值为，故B正确；对C，为的值，因为圆的半径为，可得，又，所以，所以的最小值为，故C正确；对D，，则，因为，所以，所以，所以的值为，故D正确.故选：BCD填空题（满分20分，每小题5分）13．【答案】或14．【答案】【详解】直线，得，可知直线过定点，如图，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆．当直线与半圆相切时，，解得．曲线与轴负半轴交于点．因为直线与曲线有两个交点，所以．故答案为：.15．【答案】【详解】设，由得，所以，所以，解得，所以直线或，圆心到直线的距离，（圆心到直线的距离）由圆的弦长公式：，可得.故答案为：16．【答案】【详解】因为，，，所以，在直三棱柱中，，易得四边形为正方形，又，因此平面的中心即为直三棱柱的外接球的球心，取中点，连结，易知，且，所以球的半径等于，因此球的表面积为.故答案为：.四、解答题（满分70分）17．（本小题满分10分）【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）在正方体中，且，且所以且，则.为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面....................................................................................................5分（2）记点到平面的距离为的面积为S，则由题意可知.在中，由余弦定理得，则，所以，则，又，所以，即点到平面的距离为.......................................................................................................................10分18．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)和.【详解】（1）∵，，故AB的中点坐标为，，∴AB的垂直平分线为：，.................................................................................3分由解得圆心，半径故圆的方程为；.............................................................................................................6分（2）若直线的斜率存在，方程可设为，即圆心到直线的距离为，解得，所求的一条切线为；.................................................................................................................9分当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切......................................11分所以直线的方程为和．.............................................................................................12分（本小题满分12分）【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）在中，，，，则，所以，则，所以，......................................................................................2分又平面平面，平面平面，平面，所以平面，...........................................................................................................................................4分又平面，所以平面平面；.............................................................................................6分作于点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则即为与平面所成角的平面角，所以，又，所以为等边三角形，故，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，则，.....................8分则，因为平面，所以即为平面的一条法向量，.............................................................................................9分设平面的法向量为，则，令，则，所以，........................................................................................................................10分则，即锐二面角的余弦值.............................................12分20．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)【详解】（1）设直线为，代入整理得，设，所以，，所以，由即，得，∴，∴所求抛物线的方程为....................................................................................................5分（2）由（1）得..............................................................................................................7分，点到直线的距离为，.........................................9分则，当时，等号成立，..............................11分故当时，三角形面积有最小值..................................................................................................12分21．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，由题设，，，

双曲线的方程为，故渐近线方程为．...........................................................................4分（2）当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为和，所以，当时有；当时有，此时，..............................................................6分当l的斜率k存在时，设，，l为，将直线l代入双曲线方程得，所以，，.......................................................8分

因为，所以，即，综上，为定值，得证．..................................................................................................................................12分22．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)是，过定点.【详解】（1）由题意可知，面积的最大时M位于椭圆上或下顶点，即，...........................................................2分又因为，联立解方程，可得，所以，故椭圆标准方程为..............................................................................4分（2）如图所示，由题意可设，

所以，即①，...........................6分将直线方程与椭圆方程联立化简，.................8分代入①，得或，...............................................