2022年高考物理一轮-机械能守恒定律教师讲解版

5.3机械能守恒定律

必备知识清单

一、重力做功与重力势能的关系

1.重力做功的特点

⑴重力做功与路径无关,只与始末位置的高度差有关.

(2)重力做功不引起物体机械能的变化.

2.重力势能

⑴表达式：Ep=mgh.

(2)重力势能的特点

重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关,但重力势能的

变化与参考平面的选取无关.

3.重力做功与重力势能变化的关系

(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小;重力对物体做负功，重力势能增大;

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量.即WG=一(42-41)=一

二、弹性势能

1.定义：发生弹性形变的物体之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能.

2.弹力做功与弹性势能变化的关系：

弹力做正功，弹性势能减小;弹力做负功，弹性势能增加.即卯=—AEn.

三、机械能守恒定律

1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化,而总的机械能

保持不变.

2.表达式：mghi+^>nvi2

3.机械能守恒的条件

(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力.

(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功.

(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为

零.

(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化.

命题点精析(一)对机械能守恒的理解与判断

1.机械能守恒判断的三种方法

利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否

定义法

变化，若不变，则机械能守恒

若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他

做功法

力做功的代数和为零，则机械能守恒

若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能

转化法

的转化，则机械能守恒

2.对机械能守恒条件的理解及判断

（1）机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只

有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。

（2）对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则

机械能必定不守恒。

（3）对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断。严格地讲，

机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功（表明系统与

外界之间无能量交换），系统内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做

功（表明系统内不存在机械能与其他形式能之间的转换），则系统的机械能守恒。

典型例题

【例1（多选）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（）

A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒

B.乙图中，A置于光滑水平面，物体3沿光滑斜面下滑，物体3机械能守

恒

C.丙图中,不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成

的系统机械能守恒

D.丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒

【答案】CD

【解析】甲图中重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，但弹簧的弹性势能增加，

A的机械能减少，A错误；乙图中3物体下滑，3对A的弹力做功，A的动能增

加，3的机械能减少，B错误；丙图中A、3组成的系统只有重力做功，机械能

守恒，C正确；丁图中小球受重力和拉力作用，但都不做功，小球动能不变，机

械能守恒，D正确。

【练1】2019年春晚在开场舞蹈《春海》中拉开帷幕.如图所示，五名领舞者在钢丝绳的拉动

下以相同速度缓缓升起，若五名领舞者的质量（包括衣服和道具）相等，下面说法中正确的是

)

A.观众欣赏表演时可把领舞者看做质点

B.2号和4号领舞者的重力势能相等

C.3号领舞者处于超重状态

D.她们在上升过程中机械能守恒

【答案】B

【解析】观众欣赏表演时要看领舞者的动作，所以不能将领舞者看做质点，故A错误；2

号和4号领舞者始终处于同一高度，质量相等，所以重力势能相等，故B正确；五名领舞者

在钢丝绳的拉动下以相同速度缓缓升起，所以处于平衡状态，故C错误；上升过程中，钢

丝绳对她们做正功，所以机械能增大，故D错误.

【练2】如图2所示，P、。两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在。落地

之前，下列说法正确的是（不计空气阻力）（）

Q

02

A.在任一时刻，两球动能相等

B.在任一时刻，两球加速度相等

C.在任一时刻，系统动能与重力势能之和保持不变

D.在任一时刻，系统机械能是不变的

【答案】D

【解析】细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对尸、。两球受力分析可知而＞。°,在

任一时刻，两球的动能不一定相等，选项A、B错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变

化，系统的动能与重力势能之和发生变化，选项C错误；。落地前，两球及弹簧组成的系

统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，选项D正确.

命题点精析(二)单个物体的机械能守恒问题

1.表达式

要选零势能

参考平面

三

种不用选零势

形

式能参考平面

转移不用选零势

观点能参考平面

2.一般步骤

(1)选取研单个物加

究对象

分析研究对象在运动过程中的受力

进行受

(2)n情况，明确各力的做功情况，判断

力分析

机械能是否守恒

口一

(3)选取零

n确定研究对象在初、末状态的机械能

势能面

(4)列方程|匚>根据机械能守恒•定律列出方程

解方程求出结果，并对结果进行必

(5)解方程|=>

要的讨论和说明

3.选用技巧

在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能

面.

【例21(多选)一物块在高3.0m、长5.0m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑,

其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线I、II所示，重力加速度取

10m/s2o贝1)()

A.物体的质量为2kg

B.力=0时，物体的速率为20m/s

C./z=2m时，物体的动能Ek=40J

D.从地面至/z=4m,物体的动能减少100J

【答案】AD

【解析】根据题给图像可知力=4m时物体的重力势能加g〃=80J,解得物体质量

m=2kg,抛出时物体的动能Ek=100J,由动能公式为=51",可知〃=0时物

体的速率o=10m/s,A正确，B错误；由功能关系可知，=|AE|=20J,解得物

体上升过程中所受空气阻力/=5N,从物体开始抛出至上升到〃=2m的过程中，

由动能定理有一根g/z-/7?=Ek—100J,解得Ek=50J,C错误；由题给图像可知，

物体上升到〃=4m时，机械能为80J,重力势能为80J,动能为零，即物体从

地面上升到%=4m,物体动能减少100J,D正确。

命题点精析(三)多个物体的机械能守恒问题

1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒.

2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.

3.列机械能守恒方程时，一般选用AEk=—AEp或AEA=一曲的形式.

4.三种模型

(1)轻绳模型

①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。

②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。

③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械

能则可能守恒。

(2)轻杆模型

①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。

②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。

③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系

统机械能守恒。

（3）轻弹簧模型

①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹

性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不

守恒。

②含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹

簧弹力和弹性势能的特点。

③弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决

于初、末状态弹簧形变量的大小。

④由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接

的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小（为零）。

【例3】如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆匕、L2,两杆不接触，且两杆间的距

离忽略不计.两个小球队仇视为质点）质量均为加，a球套在竖直杆匕上，6球套在水平杆

“上，a、b通过钱链用长度为I的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置（轻杆与L,杆夹角为

45。）由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g.在此后的运动过程中，下列说法中正

确的是（）

A.。球和6球所组成的系统机械能不守恒

b球的速度为零时，a球的加速度大小为零

b球的最大速度为为（2+爽应/

。球的最大速度为

【答案】C

【解析】〃球和。球组成的系统没有外力做功，只有〃球和b球的动能和重力势能相互转

换，因此〃球和。球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆02的夹角为

由运动关联可知。bcos9=%sin夕，则。产％tan。，可知当。球的速度为零时，轻杆L处于水

平位置且与杆上平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg,因此a球的加速度大小为g,

B错误；当杆L和杆L第一次平行时，。球运动到最下方，。球运动到L和七交点位置，b

球的速度达到最大，此时〃球的速度为0,因此由系统机械能守恒有机且(2-/+;)=产以，解

得Vb=«Q+柩gl,C正确；当轻杆L和杆D第一次平行时，由运动的关联可知此时。球

的速度为零，由系统机械能守恒有根g•乎/=3加22,解得Va=7,gl,此时〃球具有向下的

加速度g,故此时a球的速度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速

度为0时速度达到最大，D错误.

【练5】(多选)如图所示，质量为，"的小环(可视为质点)套在固定的光滑竖直杆上，一足够长且

不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M的物块相连，已知

M=2八与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离为d=3m,定滑轮大小及质量可忽略.现

将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0,重力加速度取g=10m/s2,则下列说

法正确的是(sin53°=0.8,cos53°=0.6)()

A.A、C间距离为4m

B.小环最终静止在C点

C.小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能

D.当小环下滑至绳与杆的夹角为60。时，小环与物块的动能之比为2：1

【答案】AD

【解析】小环运动到C点时，由机械能守恒得：mgLAc=Mg«衣+LAC2-d),解得：LAC=4

m,故A正确；假设小环最终静止在C点，则绳中的拉力大小等于2帆？，在C点对小环有：

m

FT=葭。=)mg¥2mg,所以假设不成立，小环不能静止，故B错误；由机械能守恒可知，

billJDI"

小环下落过程中减少的重力势能转化为物块增加的机械能和小环增加的动能，故C错误；

将小环的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的速度即为物块的速度。cos60。，由

Ek二

』如2可知，小环与物块的动能之比为2：1,故D正确.

【练6】光滑的长轨道形状如图所示，下部为半圆形，半径为R=0.3m,固定在竖直平面

内.质量分别为相、2相的两小环A、8用长为|尺的轻杆连接在一起，套在轨道上，A环距

轨道底部高为多?,现将42两环从图示位置由静止释放.重力加速度为g.已知sin37°=0.6,

cos37°=0.8,求：

(1)运动过程中A环距轨道底部的最大高度；

(2)A环到达轨道底部时，A、8两环速度大小.

【答案】(1)(m(2)4m/s3m/s

【解析】(1)设A环距轨道底部的最大高度为几以A、3整体为研究对象，以轨道最低点为

零势能面，由机械能守恒定律得mg^R+2m^R+1^=mgh+2m^h—^R^

7

解得h=%m

(2)由于杆的长度为|凡故当A到达底部时，B还在竖直轨道上，此时杆与竖直方向夹

R

角。满足：sin<9=z-,

邛

3

即sin8=m，可知9=37°

、,3

分析得0Asin37°=OBCOs37°,即VB=~^A

以A、3整体为研究对象，由机械能守恒定律得

mg^R+2mg(^R+^R—|/?cos0)=+^2mvi

解得04=4m/s,0g=3m/s

【例4】(多选)如图，滑块4、6的质量均为根，〃套在固定竖直杆上，与光滑水

平地面相距h,b放在地面上。〃、b通过较链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。

不计摩擦，a、6可视为质点，重力加速度大小为g。则（）

A.。落地前，轻杆对6一直做正功

B.。落地时速度大小为

C.。下落过程中，其加速度大小始终不大于g

D.。落地前，当a的机械能最小时，6对地面的压力大小为mg

【答案】BD

【解析】由题意知，系统机械能守恒。设某时刻心。的速度分别为小、vb,此

时刚性轻杆与竖直杆的夹角为伍分别将加、边分解，如图，因为刚性杆不可伸

长，所以沿杆的分速度0〃与0〃'是相等的，即为cos6=08sin仇当a滑至地面时

6=90。，此时a>=0,由系统机械能守恒得但仁!?律若，解得“="\/2g/z,B正确；

同时由于。初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对。先做

正功后做负功，A错误；杆对。的作用力先是推力后是拉力，对a则先是阻力后

是动力，即a在受到杆的向下的拉力作用时加速度大于g,C错误；。的动能最

大时，杆对。、。的作用力为零，此时。的机械能最小，。只受重力和支持力，

所以》对地面的压力大小为mg,D正确。

【练7】（多选）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重

物5,悬挂滑轮的轻质细绳竖直。开始时，重物A、3处于静止状态，释放后A、

3开始运动。已知A、3的质量相等，重力加速度为g。摩擦阻力和空气阻力均

忽略不计，滑轮间竖直距离足够长。则下列说法正确的是（）

A.相同时间内，A、3位移大小之比为1：2

B.同一时刻，A、3加速度大小之比为1：1

C.同一时刻，A、3速度大小之比为1：1

D.当3下降高度力时，3的速度大小为

【答案】AD

【解析】由题可知，3下降位移是A上升位移的两倍，由公式x=%尸可知，B的

加速度是A加速度的两倍，故A正确，B错误；由速度公式0=3可知，由于3

的加速度是A加速度的两倍，所以同一时刻，A的速度是5的一半，故C错误；

h

当B下降高度九时，A上升由机械能守恒定律得mgh—mg^=2»WB+乎?W，

又20A=0B，联立解得VB=力，故D正确。

【练8】（多选）如图所示，有质量为2根、机的小滑块P、Q,P套在固定竖直杆

上，Q放在水平地面上。P、。间通过较链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧

左端与Q相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平，a=30。时，弹簧处于原长。

当a=30。时，P由静止释放，下降到最低点时a变为60。，整个运动过程中，P、

Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。

则P下降过程中（）

A.P、。组成的系统机械能守恒

B.当a=45。时，P、Q的速度相同

C.弹簧弹性势能最大值为（错误!-1）机gL

D.P下降过程中动能达到最大前，。受到地面的支持力小于3机g

【答案】CD

【解析】对于尸、。组成的系统，由于弹簧对。要做功，所以系统的机械能不守

恒；但对P、Q、弹簧组成的系统，只有重力或弹簧弹力做功，系统的机械能守

恒，故A错误；当a=45。时，根据P、。沿轻杆方向的分速度相等得0gcos45。

=vpcos45°,可得0P=0°,但速度方向不同，所以P、。的速度不同，故B错

误；根据系统机械能守恒可得Ep=2MgL（cos30o—cos60。），弹性势能的最大值为

Ep=（y[3-l）mgL,故C正确；P下降过程中动能达到最大前，P加速下降，对P、

。整体，在竖直方向上根据牛顿第二定律有3/ng—N=2Ma,贝|有N<3mg,故D

正确。

核心素养大提升

含弹簧类机械能守恒

1.由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力（除重力

外）和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒.

2.弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性

势能最大.

3.如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一

端的物体具有最大速度（如绷紧的弹簧由静止释放）.

【例5】（多选）轻质弹簧一端悬挂于天花板，另一端与一小木块相连处于静止状态，一子

弹以水平速度。瞬间射穿木块，不计空气阻力（）t

—

5

A.子弹射穿木块的过程中，子弹与木块组成的系统机械能不守恒

B.子弹射穿木块后，木块在运动过程中机械能守恒

C.木块在向右摆动过程中，木块的动能与弹簧的弹性势能之和在变小

D.木块在向右摆动过程中重力的功率在变小

【答案】AC

【解析】子弹射穿木块的过程中，子弹相对木块发生了相对滑动，有摩擦力做功，故子弹与

木块组成的系统机械能不守恒，故A正确；子弹射穿木块后，木块在运动过程受到弹簧的

弹力作用，且弹簧弹力对木块做功，木块机械能不守恒，故B错误；木块在向右摆动过程中，

木块和弹簧组成的系统机械能守恒，由于木块重力势能增大，故木块的动能与弹簧的弹性势

能之和在变小，故C正确；木块在最低点时，重力的瞬时功率为零，达到最高点时，速度

为零，重力的瞬时功率为零，故在此过程中重力的瞬时功率先增大后减小，故D错误.

【练9】（多选）如图所示，一根轻弹簧一端固定在。点，另一端固定一个带有孔的小球，小球

套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A