2024届高三年级上册一模数学试题（附答案解析）

2024届高三上学期一模数学试题

一'填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分)考

生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合人={1,2,3},B={3,4,5},则ACB=.

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,V3),则z的共辗复数2=.

3.不等式号>0的解集为

4.双曲线久2_吟=1的离心率为.

5.已知角a,/?的终边关于原点O对称，则cos(a-6)=.

6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中小的值

甲乙

723

9m3248

7.设圆台的上底面和下底面的半径分别为r'=l和r=2,母线长为1=3,则该该圆台的高

为.

8.从1,2,3,4,5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为一

(结果用数值表示).

9.已知函数了=sin(co久)(®>0)在区间［0,兀］上是严格增函数，且其图像关于点(4兀，0)对称，则/

的值为.

10.若(10久+6y)3=ax3+bx2y+cxy2+dy3,则一a+2b—4c+8d=.

11.若函数/(x)=|(1—/)(£2+。久+切］—。0)的图像关于直线x=-2对称，且该函数有且

仅有7个零点，则a+b+c的值为.

12.已知平面向量五、万、妥满足⑷=4历—矶=2,\a+b\=\a—b\+|a|,且@c)-p贝皈•"的

取值范围是.

二、选择题(本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分)每题有且

只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.对于实数a,b,c,“a>b”是“ac2>be2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.已知事件A和B相互独立，且2(4)=4，P(B)=则P(4B)=()

1「2pj16

AA.彳R21C-7D-21

15.如图，在正方体力BCD-&BiCiA中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列

结论错误的是（）.

A.若ECBDi，F£BD,则EF1AC

B.若ECBDi，FeBD,则平面BEF1平面AiB。

C.若E€AC,Fee。〉贝IJEF〃面AiBCi

D.若EeAC,FGCD「则EF〃4£)i

16.设集合z={i,2,ioo},x、y均为4的非空子集（允许x=y）.x中的最大元素与丫中的

最小元素分别记为M、m,则满足M>m的有序集合对（X,丫）的个数为（）.

A.2200-100-2100B.2200-101-2100

C.2201-100-2100D.2201-101-2100

三'解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

17.如图，在四棱锥尸―4BCD中，底面4BC。为正方形，PAL^ABCD,PA=AD=2,E为PB

的中点，F为2C与BD的交点.

（1）证明：EF〃平面PCD；

（2）求三棱锥E—4BF的体积.

18.已知数列{册}满足log2Cln+l=1+log2an>且=2.

（1）求劭0的值；

（2）若数列｛厮+：｝为严格增数列，其中4是常数，求4的取值范围.

an

19.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰

箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.

（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角a

不能超过也且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截

面为矩形4BCD,AD=0.8m,AB=2.4m,而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够.若以倾斜

角a=今的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由.

（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收.为了省力，小

金选择将冰箱水平推运（冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）.推

运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米.记此冰箱水平截面为矩形EFGH,EH=

1.2m.设乙PHG=°,当冰箱被卡住时（即点H、G分别在射线PR、PQ上，点。在线段EF上），尝试用

口表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰

箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到0.1m）

20.已知三条直线*y=kx+mi（j=1,2,3）分别与抛物线「y2=以交于点4、B”T（t,0）

为x轴上一定点，且加1<m2<m3<-t,记点T到直线乙的距离为d”△兀4/（的面积为S”

（1）若直线L的倾斜角为45。，且过抛物线厂的焦点F,求直线h的方程；

⑵若。■OB；=0,且人叫A0,证明：直线"过定点；

（3）当k=l时，是否存在点T,使得Si，S2,S3成等比数列，心，d2,d3也成等比数列？若存

在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

21.设函数y=/（久）的定义域为D,给定区间［a,b］cD,若存在e（a,b）,使得f（殉）=

"4二"a）,则称函数y=/（%）为区间［a,b］上的“均值函数”，£°为函数y=/（久）的“均值点

（1）试判断函数y=/是否为区间［1,2］上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不

是，请说明理由;

（2）已知函数y=—22xT+m-2NT—12是区间［1,3］上的''均值函数”，求实数m的取值范围;

（3）若函数y=；；+2）（常数是区间［-2,2］上的“均值函数”，且|为其“均值

点将区间［一2,0］任意划分成m+1（meTV）份，设分点的横坐标从小到大依次为以，…，

tm，记h=-2,片+1=0,G=2tolf（G+i）再将区间［0,2］等分成2"+1（TIEN）

份，设等分点的横坐标从小到大依次为的，久2，…，£2"，记（阳）.求使得H-G>2023

的最小整数n的值.

答案解析

L【答案】{3}

【解析】【解答】解：：A={1,2,3},B={3,4,5),

.\AnB={3},

故答案为：{3}.

【分析】由A,B,求出两集合的交集即可.

2.【答案】一1一V3i/-V3i-1

【解析】【解答】因为复数z对应的点的坐标是(-1,V3),所以z=-l+V3i,所以z的共甄复数

z=-1-V3i-

故答案为：一1一8i.

【分析】利用复数与坐标对应关系以及共钝复数定义，即可求解.

3.【答案】{久|%>1或无<-2]

【解析】【解答】因为曷〉0等价于(x-l)(x+2)>0,所以％>1或无<-2,

所以不等式晟>0的解集为{%■>1或久<-2).

故答案为：{久|久>1或久<—2}.

【分析】把分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解.

4.【答案】V3

【解析】【解答】由双曲线久2—殍.=1知a?=1,b2=2,.«2=3,a=1,c=V3,..e=~=

V3.

故答案为：V3.

【分析】根据双曲线方程a、b、c关系求得c,即可求得离心率.

5.【答案】—1

【解析】【解答】因为角a,。的终边关于原点0对称，所以0=a+(2k-l)Tr(keZ),

所以cos(a_6)=cos[a—a—(2k—l)n]=cos(2fc—1)TT=COSTT=—1.

故答案为：-L

【分析】根据角a,6的终边关于原点O对称，得。=a+(2k-l)n(k£Z),代入cos(a-3)即可求

解.

6.【答案】3

【解析】【解答】根据茎叶图知，甲的数据为：27,30+m,39.乙的数据为：23,32,34,38.

乙的中位数为：必#=33,所以30+m=33,所以m=3.

故答案为：3.

【分析】根据茎叶图得甲乙数据，求得各自中位数即可求解.

7.【答案】2V2

【解析】【解答】圆台的上底面和下底面的半径分别为r'=l和r=2,母线长为1=3,则圆台的高

h=J32—(2—1)2—2>/2•

故答案为：2鱼.

【分析】如图构造Rt三角形，利用勾股定理即可求解.

8.【答案】|

【解析】【解答】从1,2,3,4,5这五个数中随机抽取两个不同的数为基本事件，有*=10种抽

法.

设所抽到的两个数的和大于6为基本事件A,有(2,5),(3,5),(4,5),(3,4)共4种抽法.

所以P(A)=克=|.

故答案为：|.

【分析】根据古典概型求概率方法，分别求出基本事件、基本事件A的个数即可.

9.【答案】/或/

【解析】【解答】因为函数丫=sin(3K)(3>0)其图像关于点(4兀，0)对称，所以sin4iT3=0

4110)=kn(k6Z),co=(kGZ)>因为y=sin(a)K)在—]+2/CTT<coxW]+2kn(keZ)上为增函

数，所以y=sin(3%)在(0,若j)上是增函数，

又、=sin(3久)在区间[0,扪上是严格增函数，所以兀三券，.•.0<3昱，所以3的值为抖当

故答案为:蚪.

【分析】根据函数y=sin(3%)图像关于原点对称，求得3=0(kCZ),再利用函数单调性，

4

求得0<3〈；，由kez进一步确定3的值即可.

10.【答案】8

【解析】【解答】解：令久=一1,y=2,代入化简可得+bx2y+cxy2+dy3——a+2b-4c+

8d—(—10+12)3=8,故—a+2b—4c+8d=8.

故答案为：8.

【分析】根据题意，令久=-Ly=2,代入化简即可求解.

11.【答案】32

【解析】【解答】函数f(x)=|(l-x2)(x2+ax+b)|-c,设g(x)=|(l-x2)(x2+ax+b)|

则函数g(x)=|(112)便+ax+b)|的图形过点(1,0),(-1,0),

因为函数g(x)的图像关于x=-2对称，所以函数g(x)的图像过点(-3,0),(-5,0),

所以g(—3)=|(1-9)(9—3a+b)|=或-1)=0,所以9-3a+b=0,

g(-5)=|(1-25)(25-5a+h)|=g(l)=0,所以25-5a+b=0,

联立方程组戏—3；+b=0,解得｛a=8

所以g(x)=1(1-x2)(x2+8x+15)1，因为函数y=f(x)图像关于直线x=-2对称，且该函数有且仅有7个零

点，则x=-2必为函数y=f(x)的一个零点，即f(-2)=0,

可得|(1-4)(4-8x2+15)|-c=0,解得c=9,

所以a+b+c=32.

故答案为：32.

【分析】由g(x)=|(1-x2)(x?+ax+b)|的图形过点(1,0),(-1,0),得到g(x)的图像过点(-3,0),(-5,

0),根据函数g(x)的图像关于x=-2对称，得g(-l)=g(-3),g(l)=g(-5),联立方程组，求得a,b的

值,得出f(x)=|(l-x2)(x2+8x+15)|-c,再利用函数g(x)的图像关于x=-2对称,得到x=-2必为函数

y=f(x)的一个零点，即f(-2)=0,求得c的值，代入即可求解.

12.【答案】［等，+00)

【解析】【解答】设a=OA=(2,0),b-OB—(%,y),c-OC，因为日+加=而一b|+而「

所以，(%+2)2+俨=’(%―2)2+y2+2,

所以B点的轨迹是以2为实轴长，(-2,0),(2,0)为焦点的双曲线一支，

所以B点的轨迹方程为/—二=1(%>1),又因为@引=1

3。

所以C点轨迹为B点轨迹的渐近线，I：y-+V3%(X>0)

由图形的对称性不妨设C(m,V3m),则五V=2m

因为向=4值一3=2,|h-c|=|=\CB\,

当BC1I时，C点横坐标m最小，由点到直线的距离公式可知|BC|=围罗！=}|

而双曲线在渐近线y=±V3x(x>0)下方，则遮x-y=l,

联立:一专=1得卜竽所以B(孥，1),所以BC方程为y=—/［―孚)+1,

所以通加=一专(m-+1,即加加讥=与苧,所以万亮=21112

故五•工的取值范围是［攀，+00).

6

故答案为：［苧，+8>

【分析】设a=0A=(2,0),b=OB=(%/y),c-0C，将向+切=向―切+而代入坐标，得

B点轨迹方程为双曲线一支，C点坐标为渐近线，当BC"时，C点横坐标m最小，得|BC|二

\^x-y\_i.

-2--2

联立方程组解得B点坐标，从而求得BC直线方程，根据C在直线BC上，即可求出m,即C点横

坐标最小值，利用小c=2m即可求解.

13.【答案】B

【解析】【解答】当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边，

故答案为：Bo

【分析】由不等式的基本性质结合已知条件，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而推出命

题“a>b”是命题“W>be2”的必要不充分条件。

14.【答案】A

【解析】【解答】依题意可P(4B)=P⑷P(B)=

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式，进而得出P(AB)的值。

15.【答案】D

【解析】【解答】对于A,若EGBDi，FeBD,则EFu平面B1D1DB.

因为叫1平面ABCD,ACu平面ABCD,所以。51AC,

又DB1AC,DD1CBD=D,AC1平面BiDiDB.所以；.AC1EF.故A正确.

对于B,二4C1平面BiDiDB,A1C1||AC,所以公的1平面BiDiDB,

即&的_L面BEF,又4的u平面&BC1,所以平面BEFJ■平面4#的.故B正确.

对于c,若Eeac,Fee%,贝UEFU平面ADC,

因为||DC&BC平面ADiC,DiCu平面ADiC,所以&B||平面ADiC,

同理QB||平面ADC又4iBnBCi=B,平面||平面ADiC,

所以EF〃面A.,故C正确.

对于D,若ECAC,FECD1,贝!JEFu平面ADiC,所以EF与ADi共面，所以EF与ADi不一定

平行，

故D错误.

故答案为：D.

AB

【分析】根据线面垂直的判定定理、性质定理即可判断A正确.根据线面垂直性质得&的1平面

BiDiDB,然后利用面面垂直判断即可证明，故B正确.根据线面平行判定得||平面ADC,

C1BII平面ADiC,然后根据面面平行判定得平面//Ci||平面ADiC,利用面面平行性质定理即可证

明，故C正确.

根据EF与ADi共面，即可判断D错误.

16.【答案】B

【解析】【解答】对于给定集合X最大元素M,因为集合*是4=｛1,2,6-1｝的任意一个子

集与｛6｝的并集，故有2加一1种不同取法.

对于给定集合Y最小元素m,因为集合Y是｛巾，m+1,m+2,…•100｝的任意一个非空子集，共

有

2100+1-m-1种取法.所以满足M的有序集合对（X,丫）的个数为

m-1100+1-m100100100m-1100100

£ioom=1［2（2-1）］=Sm=12-Xm=12=100x2-2+1,

因为有序对（X,Y）有（2］。。—1）（21°°—1）=（21°°—I）?，

满足M>m的有序集合对（X,丫）的个数为（21。。-1）2-（100X2100-2100+1）=2200-101-2100-

故答案为：B.

【分析】先求出最大元素M、最小元素m不同取法种数，再求满足M的有序集合对（X,丫）的个

数，有序对（X,Y）的个数，即可求得满足M>m的有序集合对（X,丫）的个数.

17.【答案】（1）证明：••・四边形ABCD为正方形，F为AC与BD的交点,

F是BC的中点，

又E是PB的中点,EF||PD,

又EFC平面PCD,PDu平面PCD,

EF〃平面PCD.

（2）解：••・PA1平面ABC。，E是PB的中点，

E至U平面ABCD的距离d=^PA=1,

••・四边形力BCD是正方形，AD=2）SMBF=/正方形ABCD=匕

二三棱锥E—ABF的体积V=称SMBFd=^XlXl=^.

【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理得线线平行，根据线面平行判定定理即可证明.

（2）求出三棱锥的底面积和高，根据棱锥体积公式计算即可.

18.【答案】（1）解：由10g2a九+i=1+10g2%i，得1。82。71+1=Sg2〈2。九），故斯+i=2。小即

皿=2.

又的=2。0,故数列｛%；｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

从而，。几=由•qn-1=2".所以Gio=1024.

n

（2）解：设数列也｝满足勾=an+^-=2+^,

unz

因为数列｛%｝为严格增数列，

故星+1—羸=（2n+1+得）一（2n+用>。对正整数n恒成立，

2N

即，<22n+1对正整数葭恒成立，

当n=l时,22"+1取到最小值8.所以；I<8.

【解析】【分析】（1）通过对数运算证得数列为等比数列，利用等比数列通项公式即可求解.

（2）将数列｛,｝为严格增数列，转化为2<2291对正整数汨亘成立，即可求解.

19.【答案】（1）解：过A,D作水平线内，12,作CFl%，OE1%如图，

E

当倾斜角a=印寸，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）

h=DE+CF=0.8siny+2.4cosy=婆<2.3，

故冰箱能够按要求运送入客户家中.

（2）解：延长EF与直角走廊的边相交于M、N,

则MN=0M+°N=9+,,EM=^,FN=1.2tan^

又EF=MN-ME-NF,

l1-81.811.8(sin^+cos/?)-1.2„,rt

则1me后/=四+砌一L2(tan£+瓯，夕e(0,？)•

设t=sin。+cos/S=V2sin(j6+»

因为SW（。/），所以0+1£（处,筌）所以tG(1,V2],

1.8—12_6352

则即=1(t2-l)一耳产一]

再令加=3-2,则"=卷.原余==等.瓷/，me（l,3V2-2］；

易知，y=m—［+4在（1,3/—2］上单调递增，

5411-

所以、=亏---577'血€（1,3鱼—2］单调递减，

」"I-记+4

故当m=3鱼一2,BPt=<2,S=即寸，EF取得最小值竺考二2=2.69.

由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米.

【解析】【分析】（1）根据图形分别解直角三角形，求得DE、CF即可.

（2）先表示MN,ME,NF进而表示EF,设「=sin。+cos。，利用和角正弦公式变形求得t的范围，再

541r-

令m=3t—2,变形为29=亏----577-me（l,3V2-2］,利用函数单调性，即可求得最小值.

血一沅+4

20.【答案】（1）解：焦点F（2,0）,斜率k=l,

故直线办的方程为y=x-2

（2）解：联立‘8''消去工,整理，得/cy2_8y+87nl=0.

y=kx+'

易4=64-4kx87nl>0,即knii<2,

设4（久1，71）'B（%2，力），则y22=誓，X1Q=喝2=詈.

由西•西=0，即久1久2+%了2=°，得萼+绊1=0,

JfczK

由于miH0,所以mi=-8匕直线小y=kx—8k,

故直线。过定点（8,0）.

（3）解：当k=l时，乙：y=x+mi.

由于<m2<m3<—t,所以t+mj<0,

设«,。），则4=5=-号.

VZVZ

由d|二由•43，

2n

得（t+m2）=（t+租1）,（t+租3），即机习+2m2t=71117713+0l+租3）匕①

联立消去y,整理，得%2+2（7?ii—4）%+加私=0.

于是|4出"=V2•4（mi-4）2—4m?=8,2-皿.

由S；=S「S3，於=询〃3，且$=凯lABil•4,

M2B2I2=

得l^iBJ-\A3B3\,从而2-m2=J(2-四)(2-g),

即(2-62)？=(2-小1)(2—m3)，化简，得mg—47n2=61加3—2(小1+加3).②

①②相减，整理，得。+2)(2血2-血1一63)=0・

而2(2—m2)=2^/(2—m1)(2—m2)<(2—m1)+(2—m3),即27n2<m1+m3,

故t+2=0,BPt——2.

mi=7?12=

又当亡=一2时，比如取—1,m3=1,2-遍满足题意，

故存在点7(—2,0)满足题意.

【解析】【分析】(1)先求得抛物线焦点及直线斜率，代入点斜式即可.

(2)联立［步=8久，转化为一元二次方程，利用韦达定理，结合数量积定义式，即可求得直线

y=kx+m19

方程，与k无关，即可求得定点.

⑶利用点到直线距离公式得力=-号，联立方程组［俨=8%,根据弦长公式得M/il=

74(y=%+mp

8斤西，再根据等比中项代入化简即可.

21.【答案】(1)解：设函数y=/是区间［1,2］上口“均值函数”，且均值点为久°€口，2］,

22

可得就=2?-；,解得%o=8或久o=-b(舍).

故y=/为区间口，2］上的“均值函数”，且国为其“均值点

(2)解：设久o为该函数的“均值点”，则为e(1,3),

且_22工。一+m.2-0-1_12=(―25+^22—12)—(―2+-2°—12),

3—1

即关于％0的方程22x。—血.2刈+3m—6=0在区间(1,3)上有解，

整理得(2工。-3)m=22X«-6,

①当2刈=3时，0.m=3,方程无解.

②当2孙。3时，可得巾=堂二t

2x0-3

令t=2'。一3,则te(—1,0)U(0,5),且2*°=t+3,

2

可得（七+3）—63.