2024年高考押题预测数学试卷（北京卷2）（考试版A4）

绝密★启用前

2024年高考押题预测卷02【北京卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合-={0,1,2,3},集合3={无l<x<4},则AcB=（）

A.{2,3}B.{0,1,2）

C.{1,2}D.{1,2,3}

2.在复平面内，复数z满足iz=3-4i,贝”的虚部为（）

A.3iB.-3i

C.3D.-3

3.已知双曲线C经过点（0,1）,离心率为2,则C的标准方程为（）

A./上=1B.—=1

33

22

C.=1D.--尤2=1

-33

4.下列函数中，既是奇函数又在（0,+8）上单调递增的是（）

11

A.v=r2B.y=~

y一人V

C.y=tanxD.y=x\x\

5.设a>0,b>0,则“lg(a+b)>0"是“lg(ab)>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.在,ABC中，/4=120,a=VT9,b-c=1,贝LABC的面积为()

3石3

A.B.-

2

3石D.3

C.

4

7.在,ABC中，AB=4,AC=3,^\AB+AC\=\AB-AC\,则

A.16B.-16C.20D.-20

8.已知等差数列｛4｝的前〃项和为若S3=30,%=4,则89=()

A.54B.63

C.72D.135

9.在平面直角坐标系中，记"为点尸（cos。，sin。）到直线kx-y-3k+4=0的距离，则当0,左变化

时，d的最大值与最小值之差为（）

A.2B.3C.4D.6

10.如图，正方体ABCD-A4GA中，点P为线段BQ上的动点，则下列结论正确的个数是（）

DxA,

0

CB

（1）三棱锥A-RPC的体积为定值；

（2）直线AP与平面ACR所成的角的大小不变；

（3）直线AP与4。所成的仍的大小不变，

（4）AC±DP.

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.Q-2xj的展开式中常数项为（用数字作答）

12.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，点M在C上，^\MF\=3,贝UM至U直线尤=一2的距离为：.

13.若函数/（x）=2sin^-cos^|+Acosx（A>0）的最大值为则A=,/［裔］=.

14.已知数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，S”为其前n项和，q/=16,邑=14,则

«2=;记<=卬a2为（"=1，2,）,若存在小wN*使得T„最大，则n0的值为.

15.设aeR,函数:2「给出下列四个结论：

［X—3ax+2a,x>1

①当4=1时，“X）的最小值为-:；

②存在a>0,使得〃x）只有一个零点；

③存在。>0,使得/'（X）有三个不同零点；

④Vae（F,O）,〃x）在R上是单调递增函数.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（14分）

如图，直三棱柱AB|G-ABC中，AB=AC=AAi,BC=42AB,点。是BC中点.

（1）求证：40,平面BCC4；

（2）求证：48〃平面4。£；

（3）求二面角A-A2-D的余弦值.

17.（13分）

记一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6cosA=V^asin8.

⑴求sinA；

(2)若a=7L再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，

并求,ABC的面积.

条件①：b=痴c;条件②：b=R;条件③：sinC=；.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一

个解答计分.

18.(13分)

2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、

王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代.2022年4月16日，

神舟十三号载人飞船圆满完成任务，平安返回.为普及航天知识，某市组织中学生参加“探索太空”知识

竞赛,竞赛分为理论、操作两个部分，两部分的得分均为三档，分别为100分、200分、300分.现从参加

活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如下表：

理论

100分200分300分

操作

100分021

200分3b1

300分23a

例如，表中理论成绩为200分且操作成绩为100分的学生有2人.

(1)若从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到理论或操作至少一项成绩为300分的学生概率为

g.求。,6的值；

(2)在(1)的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为300分的学生中，随机抽取2人，求至少有

一个人操作的成绩为300分的概率；

(3)若要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出匕的值.(直接写出答案)

19.(15分)

22

已知椭圆C:，+当=l(a>b>0)的一个焦点坐标为(-1,0),A,8分别是椭圆的左、右顶点，点D(x,y)

3

在椭圆C上，且直线AD与皿的斜率之积为-“

(1)求椭圆c的标准方程;

(2)设直线2x+"-3=0与椭圆分别相交于M,N两点，直线MO(O为坐标原点)与椭圆的另一个交点

为E,求「KVE的面积S的最大值.

20.(15分)

已知函数/(x)=J7,g(x)=aln尤,aeR.

⑴若曲线y=/(x)与曲线y=g(尤)相交，且在交点处有共同的切线，求。的值和该切线方程;

⑵设函数〃(x)=/(x)-g。)，当飘X)存在最小值时，求其最小值例。)的解析式.

21.(15分)

rj

a+d,_gN*

nk

若存在常数MAeN*,左22)、c、d,使得无穷数列｛4｝满足。用，则称数列｛风｝为

ca”-&N*

k

“「数列.已知数列也｝为“「数列”.

(1)若数列也｝中，瓦=1,k=3、d=4、c=0,试求%19的值;

(2)若数列也｝中，4=2,左=4、1=2、c=l,记数列出｝的前〃项和为S〃，若不等式见"储3"对

72WN*恒成立，求实数％的取值范围;

(3)若也｝为等比数列，且首项为6,试写出所有满足条件的也｝,并说明理由

2024年高考押题预测卷02【北京卷】

数学.参考答案

第一部分(选择题共40分)

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

12345678910

ADCDBABBDc

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11,-16012.413.1渔14.43或415.②③

2

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.（14分）

【分析】（1）由等腰三角形和直棱柱的性质，得出AD13C和AOLCG，根据线面垂直的判定定理，即可

证出平面BCQBI；

（2）连接AC,交AG于点£,连接OE,结合三角形的中位线得出根据线面平行的判定定理,

即可证出A\BH平面ADC1；

（3）连4A,交BA于点0,分别取。8、A8中点H、。一连接HO、、。。】，根据线面垂直的判定

定理，可证出平面A5瓦A和03,平面。从而得出/。户。就是二面角的平面角，最

后利用几何法求出二面角A-A.B-D的余弦值.

【详解】解：（1）证明：AB=AC,。是BC中点，.•.ADL3C,

又，在直三棱柱AAG—ABC中，CC]_L平面ABC,ADu平面ABC,

AD1Cq,

又BCcCQ=C,3。匚平面3。7再，CQu平面BCC百，

.•.AD_L平面BCG片.

（2）证明：连接交AG于点E,连接DE,

D、E分别是BC、AC的中点，

:.DE是ABC的中位线，二4^“刀石，

ABcZ平面AE>G，DEu平面ADG，

AB”平面AOG

（3）解：连4A,交BA1于点0,分别取。8、A3中点H、。「连接DH、HO、、DO,,

四边形AB瓦4是正方形且“、。|分别是。8、A3的中点，故反。，。2,

在ABC中，AB=AC,BC=®AB，

BC~=2AB"=AB"+AC2,：.ABLAC,

又。一。分别是A3,8C中点且

:.O{DVAB,

又在直三棱柱44G-A5C中，M，平面A5C,OQU平面ABC,

/.O]£)J_朋,

Q4BcA4,=A,ABu平面AB44，44.<=平面45月4,

.•.。0，平面43月4，

03u平面AB4A,HO,u平面ABB^,

:.OtD-LOB,O1D±HO.,

又•.HO,LOB,O\DcHO\=Oi,OXDu平面DHO},HO,u平面DHOt,

.•.08_1平面。目。|,

HDu平面。..08,HD,

又：平面4418c平面ABO=A18

NO|/TO就是二面角A-A.B-D的平面角,

设AB=2,则在上HOQ中，ZHO]D=90°,

OQ=gAC=l,OiH=；OA=：ABi=*

故"£>=4,

-2'

故cosZO,HD==金=与'

Uri763

2

即二面角A-^B-D的余弦值为史.

3

【点睛】本题考查线面垂直和线面平行的判定定理，以及利用几何法求解二面角余弦值，还涉及三角形中

位线和勾股定理的逆定理的运用，考查推理证明能力和运算能力.

17.（13分）

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.

（2）选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角形

不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.

【详解】(1)由bcosA=J5asinB得：sinBcosA=V2sinAsinB而sin3w。，

Pl!|cosA=5/2sinA>0，A为锐角,又sin?A+cos2A=1,解得sinA=#，

所以sinA=立且A为锐角.

3

(2)若选条件①，由sinA=3，A为锐角，得cosA=逅，

33

由余弦定理得/=/+1-2/?ccosA,又6=太C,贝(J3=6c?+02—4c?,

解得c=l,6=«,ABC唯一确定，所以S'M=46csinA=@.

ABC22

7(A/3

若选条件②，由正弦定理得上=二，则局女网与加

smAsmBsin力=--j=-=—<1

由b=a>a=6，得因此角5有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.

若选条件③，由sinA=3,A为锐角，得cosA=1,

33

又sinA=>sinC=—,得a>c，A>C,则cosC=,

333

因此sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,ABC唯一确定，

由正弦定理得二=Lesin人也

，所以S^ABC

sinAsinC22

3

18.（13分）

【分析】（1）由题意得，*从而求解“，再结合表格数据与学生总人数求解6；（2）先求解样本符

合题意的概率，然后由样本估计总体，得全市学生符合题意的概率，从而利用对立事件的概率公式求解；（3）

表示出参赛学生理论竞赛的平均成绩与方差，从而得关于6二次函数，由匕的取值范围与二次函数的性质从

而求解得答案.

【详解】（1）由题意，理论或操作至少一项成绩为300分的学生

共有2+3+a+l+l=7+a人，则7+°=）,

202

得。=3,又3+2+2+6+3+1+1+3=20,

得6=5

（2）由（1）知，从20位理论成绩为300分的学生中抽取1人，

操作成绩也为300分的概率为:，所以从全市理论成绩为300分的学生中，

随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为300分的概率为尸=1-[-=||

(3)由题意，a=8-Z?(O<&<8),

设理论竞赛的分数为X,则X取值为｛WO,200,300｝,

对应的人数分别为｛5,6+5,10-耳（0</<8）,所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为

矶X)=100*+200x甯+300x1^=225一56

所以参赛学生理论成绩的方差为

£>(X)=(100-225+56『*+(2。。-225+5心智+(30。-225+54雷―50H6875

因为04W8,所以当6=8时，D（X）最小.

【点睛】求解本题的关键是将理论竞赛分数对应的人数表示为6的多项式，然后求解均值与方差，从而转化

为关于6的二次函数的最值问题.

19.（15分）

【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标，结合斜率的计算公式，可整理椭圆方程，建立方程，可得答案；

（2）由题意，利用三角形中线性质，分割三角形，整理三角形面积表达式，联立直线与椭圆方程，写出韦

达定理，求得面积表达式中的变量，利用基本不等式，可得答案.

【详解】（1）由已知得4一。,0）,以名⑴且心或原口二-』，即！———=一』，

4x-ax+a4

因此有5=_（y_*=9卜2r2）,得§■=（.

1丫22

因止匕。2=/-/=2=1,得"=4,1=3,所以椭圆的标准方程为三+乙=1.

443

（2）显然直线肱V经过x轴上的定点设/（HX），&%,%），

则由椭圆的对称性得S=2Zg=2'；|0。|（闻+昆|）=|。。|（瓦|+昆|）,

2x+Zy-3-0

联立/>2,消去尤得06+3与y2_i821=0.

---1---=1

143

A=(T8f)2+84(16+3巧>0恒成立，所以

16+3/16+3/

(18/)2+84(16+3r)

\l(yi+y)2-^2=

bJ+l^l=Iyi-y2|=2(16+3/y

令3产+7=机，显然有机27,于是S—2义&20,当m=9,即|“=当时

取等号.

因此脑VE的面积S的最大值为2—.

20.(15分)

【分析】(1)对Ax),g(x)进行求导，已知在交点处有相同的切线，从而解出。的值及该切线的方程；

(2)由条件知/7(x)=«-alnx(x>0),对/z(x)进行求导，分两种情况进行讨论：①。>0；②4,0,从而

求其最小值以。)的解析式；

【详解】(1)解：f(x)=-^r，g'(x)=-(x>0),

27XX

由已知得|l_a，解得。=:x=e2,

HI

两条直线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为k=f'(e2)=；,

切线的方程为V-e=1(x-e2),即切线的方程为y=^-x+"

(2)解：由条件知/i(x)=五一alnx(x>0)

①当a>0时，令"(x)=0,解得了=4储，

二当0〈尤<4/时，〃(x)<0,/2(x)在(0,4/)上递减；当尤>44时，加⑺式/⑴在心乙+⑹上递增,

x=4/是h(x)在(0,+巧上的唯一极值点，从而也是h(x)的最小值点，

最小值点，0(。)=〃(4。2)=2a-aIn4a2=2a(l-Jn2a).

②当aVO时，矶x)=®^>O,/z(x)在(0,+动上递增，无最小值，故〃⑺的最小值。(。)的解析式为

lx

9(a)=2a(l-ln2a)(a>0).

【点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性从而求最值、分类讨论思想.属于难题.

分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决

含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样

才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟

练掌握并应用与解题当中.

21.(15分)

【分析】(1)直接利用信息求出数列的项.

(2)利用恒成立问题和函数的单调性，求出2的取值范围.

(3)直接利用