2024年高考数学押题预测模拟卷3（新高考九省联考题型）含答案

决胜2024年高考数学押题预测卷03

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的

姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.己知向量1=(2,2),3=(1,x),若Z//3,则⑸=()

A.1B.V2C.拒D.2

2.已知集合/={T,0,2},5={X|X2<1},则下列结论正确的是(

A.4=BB.AcBC.AuB=BD./cB={-1,0}

3.已知a=ln一,Z)=log031.5,)

2

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

4.已知样本数据再,工2,…，%的平均数为"则数据』,％2,…，%，三

A.与原数据的极差不同B.与原数据的中位数相同

C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同

71

5.在梯形48CQ中，ADUBC,^ABC=-,BC=2AD=2AB=2,以下底所在直线为

2

轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）

2714兀5兀_

A.----B.----C.----D.2兀

333

6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，

以4，4分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以雇示从乙箱中取出

的是白球，则下列结论错误的是（）

5113

A.4,4互斥B.尸（叫4）=7c.P（A®=]D.P（B）=-

7.已知函数/（x）的定义域为R,y=/（x）+e'是偶函数，y=/（x）—3砂是奇函数，则/（x）的

最小值为（）

A.eB.2V2c.2V3D.2e

8.双曲线aE-与=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别是耳，马，离心率为如，点尸(事,%)是曲

ab2

右支上异于顶点的一点，过月作/片尸耳的平分线的垂线，垂足是%\MO\=42,若一点7W足

F\T-FJ=5,则TH比勺两条渐近线距离之和为()

A.2A/2B.2A/3C.275D.276

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数4/2是关于x的方程/+区+1=0(—2<6<2/€及)的两根，贝IJ()

—Z,

A.z、=Z)B.—£R

z?

C.匕bLhiD.若b=l,则z；=z：=l

10.如图，点43,C是函数/(x)=sin(①x+o)(o>0)的图象与直线了=岑4目邻的三个交点，且

D.若将函数/(x)的图象沿x轴平移。个单位，得到一个偶函数的图像，则冏的最小值为最

H.如图，正方体NBC。—44Goi的棱长为2,点庭/踊J中点，点P为侧面BCC14内(含边界)

A.若2尸，平面4QD,则点咫点A重合

B.以防球心，娅为半径的球面与截面的交线的长度为正

33

C.若防棱比中点，则平面截正方体所得截面的面积为逅

6

D.若博II直线的距离与到平面的距离相等，则点在勺轨迹为一段圆弧

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.的展开式中的常数项为.（用数字作答）.

13.在中，tanB=tanC=,b=1,则tan（B+C）=；a=.

14.已知点/为抛物线/=2x上一点（点/在第一象限），点协抛物线的焦点，准线为1,线段/用勺中

垂线交准线，于点2,交法由于点£（〃、斑/崩两侧），四边形40匹石为菱形，若点只汾别在边处、

EA上，DP=ADA>EQ=JJEA，若2X+〃=|■，则而.瓦的最小值为—一，

tFA-^FE+卜E4-尸百«eR）的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13

15.设/（x）=alnx+----x+1,曲线y=/（乃在点（1,/。））处取得极值.

2x2

⑴求a；

（2）求函数〃x）的单调区间和极值.

16.如图，四棱锥「一/BC。中，底面N8C。是边长为2的菱形，ABAD=60°.平面底面

ABCD.

/>.

H

（1）求证：ACLVD-,

（2）若E3=2,且四棱锥忆-/BCD的体积为2,求直线修。与平面匕18所成角的正弦值.

17.现有标号依次为1,2,〃的五盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都

是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒

子，…，依次进行到从n-l号盒子里取出2个球放入〃号盒子为止.

（1）当〃=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；

（2）当〃=3时，求3号盒子里的红球的个数J的分布列；

（3）记〃号盒子中红球的个数为X",求X"的期望E（X“）.

18.已知尸为曲线C：二+匕=1（〃〉1）上任意一点，直线尸与圆好+/=1相切，且分别与

4n

。交于两点，。为坐标原点.

（1）若丽.两:为定值，求〃的值，并说明理由；

4

（2）若〃=—,求面积的取值范围.

3

19.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光

滑曲线Gy=/（x）上的曲线段就，其弧长为加，当动点从4沿曲线段令运动到6点时，4点的切

线〃也随着转动到5点的切线力，记这两条切线之间的夹角为A6（它等于"的倾斜角与。的倾斜角

之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲

—

程度越大，因此可以定义K=丁为曲线段前的平均曲率；显然当碘接近4即加越小，碱越能

As

〃\y"\

精确刻画曲线位点/处的弯曲程度，因此定义J（若极限存在）为曲线位点

（"）2

/处的曲率.（其中V,V'分别表示y=/（x）在点/处的一阶、二阶导数）

（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

（2）求椭圆;+「=1在［百,处的曲率；

（3）定义心）="叮为曲线V=/（力的“柯西曲率”.已知在曲线/（x）=xlnx—2x上存在

（1+少）

两点尸卜1，/（西））和0（9,/（%）），且R。处的“柯西曲率”相同，求返+病的取值范围.

决胜2024年高考数学押题预测卷03

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的

姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知向量。=（2,2）,S=（1,%）,若a//B，则|B|=（）

A.1c.V3D.2

【答案】B

【解析】向量a=(2,2),3=(1,x),丁2x=2,「.x=1,

/.|b\=-\/l2+12--\/2-

故选：B.

2

2.已知集合4={—1,0,2},B={x\x<l]f则下列结论正确的是()

A.A=BB.AaBc.AuB=BD./c5={—1,0}

【答案】D

【解析】由题意可知：B={x\x2<l

所以45之间没有包含关系，且4cB={-1,0},故ABC错误，D正确;

故选：D.

-0.5

3.已知a=Ing,6=log1.5,c2

03I,则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【解析】b=log031.5<log031=0,0=lnl<ln"!=a<lne=l,

-0.5

2

1，所以C>Q>b.

5

故选：C

4.已知样本数据占,％2,…，%的平均数为无，则数据了1，%2,…，%，无（)

A.与原数据的极差不同B.与原数据的中位数相同

C.与原数据的方差相同D.与原数据的平均数相同

【答案】D

【解析】由样本数据占,々，…，%的平均数为无，可得了=1（西+X,+…+无”），

n

对于数据再,々，…，龙"，于，其平均数x'=一一（西+々+…+X*+x）=x,

77+1V'

其方差S；旦S2；

n+\

即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C错误，D正确；

由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A错误;

对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B错误.

故选：D

7T

5.在梯形/BCD中，AD//BC,ZABC=-,BC=2AD=2AB=2,以下底8。所在直线为轴,

2

其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）

2兀4兀5兀一

A.—B.—C.—D.27t

333

［答案］B

【解析】旋转后所得几何体为圆柱与一个同底的圆锥的组合体，如图所示：

其中圆柱与圆锥的底面半径都等于AB=1,

圆柱的高等于40=1,圆锥的高等于8C-4D=1,

底面圆的面积为兀xl2=7C,

171

圆锥的体积为一X兀xl二—，圆柱的体积为兀乂1=兀，

33

714兀

所以所得几何体的体积为兀

33

故选：B.

6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，

以4，4分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以糜示从乙箱中取出

的是白球，则下列结论错误的是（）

<1］3

A.4，4互斥B.P（叫4）=5c.P（A2B）=-D.P（B）=-

【答案】c

【解析】因为每次只取一球，故4，4是互斥的事件，故A正确；

由题意得尸（4）=g，尸（4）=：，尸（例4）=：，尸（a4）=。

is2413

P(S)=P(45)+P(4S)=-x-+-x-=-,故B,D均正确;

248

因为「(48)=]义7=天，故C错误.

故选：C.

7.已知函数/(尤)的定义域为R,y=/(x)+e'是偶函数，y=/(x)—3d是奇函数，则/(x)的最

小值为()

A.eB.272C.273D.2e

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数/(%)的解析式，再利用基本不等式可求得/(元)的最小值.

【详解】因为函数y=/(x)+e工为偶函数，则/(—，+尸=/@)+於，即/⑴―/(—x)=「—e工,

①

又因为函数y=/(x)-3e*为奇函数,则〃—x)—3e-*=—/(x)+3e，,即

/(%)+/(-x)=3ev+3e~x,②

联立①②可得/(x)=e，+2e-\

由基本不等式可得f(x)=e*+2e-x>2薪*k=2收，

当且仅当e'=2ef时，即当x=」ln2时，等号成立，

2

故函数/(x)的最小值为2JL

22/7

8.双曲线G——q=1(4>0]>0)的左、右焦点分别是片，耳，离心率为点是。

ab2

的右支上异于顶点的一点，过工作/内尸鸟的平分线的垂线，垂足是弘|MO|=72,若6±一点礴

足而•孽=5,则7®用J两条渐近线距离之和为()

A.272B.273C.275D.276

【答案】A

【解析】设半焦距为c,延长巴”交助于点儿由于峻/片尸鸟的平分线，F.MVPM,

所以是等腰三角形，所以|PN|=|尸月|,且腮W工的中点.

根据双曲线的定义可知|咫|—|尸乙1=2。，即|M]|=2a,由于。是耳片的中点,

所以掰2是AN片乙的中位线，所以|M0=g|g|=a=VL

又双曲线的离心率为半，所以c=6，b=l,

2

所以双曲线由]方程为--/=1.

2

所以片(-6,0)，8(6,0)，双曲线烟渐近线方程为x土。=0，

|u+V2v||u-V2vI

设TQ,v),律U两渐近线的距离之和为S,则5=

222122

由F、T•F2T=(U—V§)("+\/3)+v=w+v—3=5,Wz/+v=8>

22

又在EG—-y2=l±,则土-U=i,即/一2V2=2,解得“2=6,V2=2,

2.2

所以|"|>也|丫|,故即距离之和为2后.

故选:A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数az?是关于x的方程/+区+1=0(-2<6<2/€及)的两根，贝IJ()

A.Zj=zB.—^R

2z?

c团=团=1D.若b=1,则z；=2：=1

【答案】ACD

-b土飞4-b?i

【解析】解：A=/?2-4<0x=-----------

2

不妨设

则Z]=Z2，故/正确；

由选项/可知，|41=1z2|=j(—g)2+d42b>-1

QE确;

由韦达定理得2逐2=1,

.4Z；22*4-/.

..——---=Z]=---------------1

z[Z]Z222

当bwO时，,生R，故库昔；

z?

小入[口T1百•1G.

=1时，Z[=——+——I，Z.=-------1，

12222

计算得----^-i=z2=zx，

12221

同理可得Z；=2I=Z2,

结合成项可知2：=平2=1,同理可得22=1,故〃正确.

故选：ACD

10.如图，点是函数/(X)=sin(0x+°)(①>0)的图象与直线歹=字相邻的三个交点，且

D.若将函数/(x)的图象沿X轴平移。个单位，得到一个偶函数的图像，则网的最小值为最

【答案】AD

l~^jp2兀

【解析】令/(x)=sin(cox+cp^——得，ox+0=§+2ATI或QX+0=—^—F2,kji,左eZ,

2兀

由图可知：coxA-\-(p=—+2kn,+°=§+2版+2兀，coxB+^=-+2kji,

兀

所以忸=_工5=——g+2兀,\AB\=XB-XA=—

CD\3Jco

-女+2兀

所以g=，所以G==4,故A选项正确,

3CD3

71

所以/(x)=sin(4x+°),由7=0得sin+=0,

12

兀

所以----F0=7c+2kji,k£Z,

4兀

所以0=5+2版kwZ,

=sm4x+”

所以/(x)=sin|4x+—+2hr=-sinf4x+yL

I3l3

(兀兀)兀兀八兀、

当时।’人4+尸,。5，2兀+J，

(5兀兀、।7T7T।

因为y=-sinf在ter-,2兀+§为减函数，故/(x)在上单调递减，故C错误；

将函数/(x)的图象沿x轴平移。个单位得g(x)=—sin[4x+46+]),(。＜0时向右平移,

0>0

时向左平移)，

g(x)为偶函数得48+三=]+也，keZ,

所以。=工+期，keZ,贝U网的最小值为二，故D正确.

2441124

故选：AD.

H.如图，正方体as。。—/4G2的棱长为2,点后是力周勺中点，点p为侧面BCG4内(含边界)

A.若A尸，平面4QD,则点咫点座合

B.以烟球心，豆5为半径的球面与截面4C4的交线的长度为叵

33

C.若历棱反华点，则平面QEP截正方体所得截面的面积为上叵

6

D.若图J直线的距离与到平面CDDG的距离相等，则点崩轨迹为一段圆弧

【答案】ABC

【解析】正方体ABCD-481Goi中，3C工平面DCCn,DC,u平面DCCR,BC1DC-

正方形DCGA中，DXC1DCX,

DQ,BCu平面BCR,D[CcBC=C,则。G，平面BC'，

QBu平面BCD1,DCX±DR,

同理，DA,1DXB,

Z>4，Z)Gu平面4G。，D&cDCi=D,平面4cQ,

若点坏与底合，因为。尸，平面4G。，则a尸〃与4尸口48=。1矛盾，

故当3尸，平面4G。时，点咫4重合，故A正确；

DA=DC=DDX,AC=ADX=CDX,三棱锥。一/CD]为正三棱锥,

故顶点〃在底面/cn的射影为△/cn的中心〃

连接DH,由-D—ACD]=-ACD，^-x-x2x2x2=-x-x2V2x2V2x—D//，

3232

2o[f.

所以DH=T，因为球的半径为22,所以截面圆的半径

V33

2

所以球面与截面4cA的交线是以伪圆心，耳为半径的圆在内部部分,

如图所示,

兀兀

HF2+HM2=MF2＞所以NMHR=5，同理，其余两弦所对圆心角也等于5,

所以球面与截面/C2的交线的长度为2兀*1-3x'xg=半，故B正确；

对于C,过打在勺直线分别交〃4、麻勺延长线于点。M,连接。1M、Dfi,

分别交侧棱G。于点儿交侧棱4/于点〃，连接硼口仍如图所示：

则截面为五边形〃"EPN,

GA=AE=EB=BP=PC=CM=1,GE=EP=PM=亚，GM=372

D[G=D、M=\DQ2+DM。=拒,HA=1,GH=号,

cosZDtGM=3GM=,故ZDGM=2^

Dfi—V26,26

g"_1吗"V17_3V17„_1/zV13V17_V17

所以^/\DGM--xV13x3v2x/ry-彳'S^GEH-TXXXa'

X272bZ23A72bo

所以五边形DHEPN的面积S=S&DQM-2s&GEH=h孚—2x*=邛2,故C正确；

因为44，平面BCCRi，PB]u平面BCQBi，

所以尸且144，点序U直线4月的距离即点段1|点耳的距离，

因为平面BCC'B、1平面CDDG,故点;5J平面CDDG的距离为点/5」CCt的距离，

由题意知点序U点Bx的距离等于点件l|CQ的距离，

故点理）轨迹是以用为焦点，以CG为准线的抛物线在侧面5CG4内的部分，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

.（用数字作答）.

故常数项为C；（-2）3=-672.

故答案为：-672.

13.在AJISC中，tanB=tanC=，b=l,则tan(B+C)=a—

【答案】①.6②.百

【解析】由tan5=tanC=3，5=Ce(0,兀=],可得5=0=3兀；

326

所以可得3+C=巴，所以4=空即tan(S+C)=V3；

33

..V3

易知sin5=—sinA=——，

22

a=Sb=6

由正弦定理可得

sin5

故答案为：G，V3

14.已知点/为抛物线j?=2x上一点（点/在第一象限），点，为抛物线的焦点，准线为1,线段/加勺中

垂线交准线，于点2,交法由于点£（〃、融/邢J两侧），四边形40匹£为菱形，若点只汾别在边处、

EA上，DP=ADA^EQ=JJEA，若2X+〃=|■，则而.画的最小值为

tFA--1FE+|/^4-FE|(/eR)

的最小值为一

4

【解析】对于第一个空：

因为四边形4DEE为菱形，所以40=。厂,40//E尸，又由抛物线的定义知，AD=AF,

所以N4FZ）=60°,N4Rc=60°,

所以ZF的方程为y=百

21

联立得，12/—20X+3=0，得再

、/=2x

由分析知，/[^，百]，所以。]—（用三q呜q

DA=（2,0）,5F=（1,-V3）,FE==（2,0）,£4=（-1,V3）,

FT=DP-DF=ADA-DF^（2,"1,百）,河=砺+砺=砺+〃筋=（2-〃，也句,

又24+〃=万,24=1■一〃e[0,2]0«〃41所以〃e；』，

而质=（2"1）（2一〃）+3〃=]〉/力（2-0）+3〃="-。+3,，[』，

1_____

当〃=/时，尸尸/。取最小值3.

对于第二个空：

豆=（1,百），豆=（2,0）/成一;丽=上一；,疝）而—丽=,—2,网,

tFA-^FE+\t~FA-EE^=+（疯）+/-2『+（6）

表示的是点尸，到点/和N（2,0）的距离之和，

尸，，疝）在直线y=J§X上，设N（2,0）关于直线y=岳对称的点N'（%,%）,

由卜。一53得厂°=:所（

%回。+2）bo=<3

〔2一2

L当且仅当N',尸，尸三点共线时，等号成立.

尸尸+\PN\=PF+7W[>尸N[=—

故tFA--FE+\tFA-FE\的最小值为亘.

4112

故答案为：①3,②叵.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13

15.设/（x）=alnx+------x+1,曲线了=〃无）在点（1⑴）处取得极值.

2x2

⑴求a；

（2）求函数的单调区间和极值.

【答案】（1）2（2）单调递减区间（0二）和（1,+8）,单调递增区间极大值为/⑴=0,极

小值为/(1)=2-21n3.

【解析】(l)；/(x)=alnx+1-'x+1,则/'(x)=3-±―

2x2x2x2

又/⑴=0,

故可得"2=0,

解得a—2；

13(3x-l)(x-1)

(2)由⑴可知，f(x)=21nx+--------x+1,f\x)=-

2x22x2

令f'（x）=0,解得尤1=；，X2=l,

又：函数定义域为（0,+8）,

故可得“X）在区间（0,；）和（1,+s）单调递减，在区间（gl）单调递增.

故“X）的极大值为/（I）=0,/（x）的极小值为/（-）=2—21n3.

16.如图，四棱锥「一/BC。中，底面/BCD是边长为2的菱形，ABAD=60°-平面底面

ABCD.

/>.

（1）求证：ACLVD-,

（2）若匕8=2,且四棱锥--4BCD的体积为2,求直线-C与平面-45所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）晅

5

【解析】（1）平面底面48C。，平面血）PI底面48CO=AD，

底面48。。是边长为2的菱形，AC1BD,/Cu底面48。。，

则有ZC_L平面E8D,又以）u平面血），所以4CJ,

⑵底面48c。是边长为2的菱形，ABAD=60°.

△540为等边三角形，BD=2,S4/gQ=-x2x2xsin60°=

平面底面48CO,平面底面48CZ»=AD,

过厂点作8。的垂线，垂足为0,则V。，底面N8C。，

四棱锥ABCD的体积为2,则gx-ra=1x2xV3-KO=2,

2SAABD

解得忆。=G，则30=y!vB2-VO2=4^3=1，

所以。为AD中点，即。为NC和AD交点，

AO=OC^LB2-BO?=V4^i=V3，

以。为原点，。408,0厂所在直线分别为x，V，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则0(0,0,0),/(百,0,0),5(0,1,0),C(-Ao,o),r(o,o,V3),

A8=(-V3,l,0),为=(0,1,-百)，Fc=(-V3,o,-V3),

设平面匕45的一个法向量』=(x,y,z),

AB,n——y[3x+y=0l_/广\

则有〈一,l，令x=l,则夕=#\z=l,即k=

VB-n=y-y/3z=0'7

cos(VC,H^=VCn-V3-V3

|FC||M|76x75

所以直线W与平面匕45所成角的正弦值为巫.

5

17.现有标号依次为1,2,〃的五盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都

是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒

子，…，依次进行到从n-1号盒子里取出2个球放入”号盒子为止.

(1)当〃=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；

(2)当〃=3时，求3号盒子里的红球的个数J的分布列;

(3)记〃号盒子中红球的个数为X",求X"的期望£(X〃).

【答案】(1)](2)分布列见解析(3)£(X.)=2

C1c12

【解析】(1)由题可知2号盒子里有2个红球的概率为P=

C43

(2)由题可知&可取1,2,3,

「202「27

尸器=1)=%x+x2^2__

C；C；C；C；36

「2「2「i27

尸仁=3)=Vx得+22乂得=一

L4^4C4^4°。

尸偌=2)=1一尸偌=1)一尸偌=3)=2,

lo

所以3号盒子里的红球的个数€的分布列为

123

7117

P

361836

(3)记%_i为第2)号盒子有三个红球和一个白球的概率，则%=：,

6

211

比1为第”(〃22)号盒子有两个红球和两个白球的概率，则乙=行，b2

318

则第〃(〃>2)号盒子有一个红球和三个白球的概率为1-%_]-2T,

211

且hi=3bL2+~an-2+QI一。”-2-2一2)("23),

化解得如=:如+-,

o2

33-31

z行nk如二=入*二，4-1=记,

JOJ)J1J

33、(31311

而8一4—］，则数列也一三为等比数歹U,首项为乙一匚二二，公比为二,

5615/I515156

311n-\

所以a=-+——

515（6

n

又由。"一产:比2+；"“-2求得：

5-5I

因此E（X"）=lx%_]+2x“_i+3x（1—a”]-"-1）=3-2%-4_1=2.

2一.2

18.已知尸为曲线C：工+匕=1（〃〉1）上任意一点，直线尸MPN与圆产+必=1相切，且分别与

4n

。交于M,N两点，。为坐标原点.

（1）若历.a:为定值，求〃的值，并说明理由；

4

（2）若,求APAW面积的取值范围.

3

4

【答案】（1）〃=4或〃=一

3

【解析】（1）由题意设尸（石,必）,河（々,％）,

当直线9的斜率不为0时，直线9：x=my+t,

M

因为直线与圆相切,所以4=/=1,即加2+1=/，

ylm2+1

x=my+1

联立《22可得：｛m1n+^y2+2mnty+nt2-4n=0,

—+^-=1

4n

2

所以A=（2加加『一4（加之九+4）（〃»-2mntnt一4〃

4”）＞0,乂+%=，%.％=~，

-m2n+74加2〃+74

4z2-4m2H

XX=（加X+。（叼2+%）=加2必%+加（必+%）+〃

x2m2w+4，

-4m2n+（4+n）Z2-4n

所以0PoM=xx+yy=

12x2加2〃+4

（4-3〃）加之+（4-3〃）

因为加2+1=/,所以再％2+yxy2=

nm2+4

4—3〃4一3〃4

要使历•而为定值，则所以〃=4或〃=-,

n43

当直线PA7的斜率为0时，

因为直线与圆相切，所以d=/=l,即尸士1,

不妨取y=1,

y=i

44

联立《X2y2,可得—+——4=0,所以中2=——4

---1----1〃n

、4n

4

所以国工2=-3+—，也符合上式.

n

4__,

(2)当〃时，由(1)可知而.而'=0，OP1OM,

同理OPJ.QN,即M,O,N三点共线，

所以山阿=2S„=|PM”=|PM，

当直线PM的斜率不为。时，由(1)可知:

PMm

所以S.PMN=\\=Vl+m2J(7I+%)2-4=J1+加2x2"U出

因为/+1=*,

+3-2)(m2+3+6

所以s-kx弛?=正

m2+3

令m2+3=左23，

_2优左—2)(左+6)_2，12+4左一12_2I124।

所以S-

kk一记+工

所以当后=3时，有最小值为2；

当左=6时，有最小值为迪；

3

当直线9的斜率为0时，由(1)可知:

^w=W=2^j=2.

综上：APMN面积的取值范围2,华

19.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光

滑曲线C：y=/(