2023-2024学年高一数学-三角（压轴题）解析版

第六章三角(压轴题专练)

一、填空题

1.某书中记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=：(弦X矢+矢2),弧田(如图所示)由圆弧及其所

对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为与，

半径为47n的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是m2

【解析】【分析】

本题考查弧田的面积公式，属于综合题.

由题中条件结合弧田面积公式求解即可.

【解答】

解：如图，

由题意可得乙40B=年，。4=4m.

在RgA。。中，可得乙4。。=弓，皿1。=],

则0D=540=gx4=2(m),

所以矢=CD=0C-0D=4-2=2(m).

由AD=A。­sin^=4x苧=2宿(m),

得弦=2AD=2x2<3=4<3(m)，

所以弧田面积=白弦、矢+女2)

第1页，共43页

1

=2(473X2+22)=(4/3+2)(m2).

故答案为(4C+2).

2.一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2km,一列火车用30km每小时的速度通过，10s间转

过弧度.

【答案】：

【解析】【分析】

本题考查了弧长公式的应用，由题意可计算得10s间转过弧长，再根据弧长公式1=仃即可求得10s间转过

的弧度.

【解答】

解:10s间列车转过的扇形弧长为券x30=士(km),

3bUU1Z

1

转过的角a=券=*弧度)

故答案为以

3.如图，在△ABC中，AB=AC,^ABC=45°,以4B为直径的O。交BC于点D,若BC=则图中阴影

部分的面积为.

B

【答案】兀+2

【解析】【分析】

本题考查扇形面积公式，属于综合题.

根据题意，进行求解即可.

【解答】

解：由题意，AB=AC,^ABC=45°,

可得,NC=45。，/.CAB=90°,

连接4D,又4B是直径，

AD1BC,且。是BC中点，结合N4BC=45。，可得AD=BD,

第2页，共43页

连接。D,可得D01AB,

・•・阴影部分由R3DOB与圆心角为直角的扇形组成，

又BC=4，Z所以4B=4,所以圆的半径是2,

则图中阴影部分的面积为〈乂2*2+。*兀*22=兀+2.

Z4

故答案为兀+2.

4.如图所示，直角2L48C中，AABC=4B=lcm,BC=Cem,将/力BC绕着点4顺时针旋转至以4841，再

将4ABic1绕着点Ci顺时针旋转到/482的，点的、&均在A8所在直线上，则B点运动的轨迹长度为cm,

第二次旋转时，边A位扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2.

【答案】空士兀；黑

612

【解析】【分析】

本题考查弧长公式以及扇形面积公式，属于中档题.

由题意，可知三角形力BC旋转过程中形成的几何图形，然后根据弧长公式和扇形面积公式求解即可.

【解答】

解：在2L4BC中，

/.ABC=1,AB—1cm,BC-yf3cm^

.・.（ACB=TJT，ABAC=TVAC=2cm,

o3

•*.AABC=AAB-yC=AA2B2Cx9

•••zBjXC=p^A2C1B1=y,NAC142=乙B1C1B2=系，ABABi=y,

第3页，共43页

.••8点运动轨迹是以a为圆心的弧西，及以的为圆心的弧璘瓦，西的长为伊，瓦瓦的长为婴兀,

36

B点运动的轨迹长度为4+手兀=普1兀（所）

366

S阴影=S扇形AC1A2+S/C1Z2B2_S/431C1_S扇形B1C1B2

15TT01l1157r/l、2

=KX/X2+kxv3X1——Xv3X1——X/X（v3）

L0，Z207

57r

二记已机7）

5.如图，四边形/BCD是菱形，=60°,48=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60。，则图中阴影部分

的面积是.

【答案】y-<3

【解析】【分析】

本题考查扇形面积公式，考查基本分析求解能力，属综合题.

先求扇形BEF的面积，再求扇形BEF在四边形/BCD内面积，最后相减得结果.

【解答】

解：扇形BEF的面积为黄"22=手

连接BD,设BECiAD=MBFCiCD=M,

乙NDB=4MCB=pADBN=尹乙MBD=乙CBM,BD=CB,

因此△DBN=ACBM.

第4页，共43页

即扇形BEF在四边形ZBCD内面积等于△BCD内面积，即为耳义22=同

因此图中阴影部分的面积是竽

故答案为亨-6.

6.如图，已知长为0d爪，宽为1dm的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住,

此时长方体木块底面与桌面所成的角为也求点A走过的路程为

O

【答案】9+/C(d叫

67r

【解析】【分析】

本题主要考查弧长公式的应用，属于中档题.

根据旋转的定义得到第一次是以B为旋转中心，以B4为半径旋转90。，第二次是以C为旋转中心，以。11=1

为半径旋转90。，第三次是以D为旋转中心，以。力2=6为半径旋转6。°，根据弧长公式计算后相加即可.

【解答】

2

解:第一次是以B为旋转中心，以BA=I(^3)+1=2为半径旋转90°,

此次点力走过的路径是］X2=71,

第二次是以C为旋转中心，以。11=1为半径旋转90°,

此次点a走过的路径是与x1=I，

第三次是以D为旋转中心，以。力2=为半径旋转60°,

此次点力走过的路径是为x=等，

第5页，共43页

.••点4三次共走过的路径是半+学=2±娄兀（加），

236

故答案为2+/C兀@n）.

6

7.《九章算术》中记载了弧田（逆弧和其所对弦围成的弓形）的面积公式S-=雪空空无，其中“弦”指

逆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.已知一块弦长为6门机的弧田按此公式计算所得的

面积为（9日+5加2,则该弧田的实际面积为m2.

【答案】12TT-973

【解析】【分析】

本题考查了扇形的面积与弓形的面积计算问题，也考查了方程的解法与应用问题，属于综合题.

根据题意画出图形，结合图形求出扇形的半径和圆心角，再计算弓形的面积.

【解答】

解：如图所示，弦长=设矢。。=久小，

则弧田的面积为S弧田=£x(6V-3x+x2)=9>/-3+(m2),

即/+6门久=1873+9,

•••(x+3^3)2=18(73+2),

(x+3c>=9(73+1)2,

解得工=3或％=-6，^-3(不合题意，舍去)；

设。4=R,则。D=R—3,

R2=(R-3)2+(30，

解得R=6,

八「27r

Z-A0B—

该弧田的实际面积为

S=S扇形一S&A0B-62-1x6/3x3=12兀-9时.

故答案为：12TT-973.

第6页，共43页

8.如图，单位圆被点…，412分为12等份，其中41(1,0).角a的始边与x轴的非负半轴重合，若a的终边

经过点力5，则cosa=；若sina=sin(a+2，则角a的终边与单位圆交于点.(从…,加中

选择，写出所有满足要求的点)

出，49

【解析】【分析】

本题考查任意角三角函数的定义，两角和的正弦公式，诱导公式，同角三角函数基本关系，属于综合题.

求出终边经过4则对应的角a和i的关系.

【解答】

解：...*=£所以终边经过周则a=(i—1)也

1Zoo

角a的始边与x轴的非负半轴重合，若a的终边经过点人,则戊=亨，

二匚［、I27rIT1

助*以cosa=cos—=—cos-=--

•・,sina=sin(a+-)sina=sincr-cos-+cosa•sin-,

即sina=sina•|+cosa•--■■tana=V-3•••a—与或a=等

即卷=。一1号》=3或苧=。—1)亲i=9,即a的终边与单位圆交于点&，A9,

故答案为：—■!；4，M-

9.化简sin6a+cos6a+3s讥2acos2a的结果是.

【答案】1

【解析】【分析】

本题考查同角三角函数关系式，由siMa+cos2a=1,和三次展开即可求解.

第7页，共43页

【解答】

解：sin6a+cos6a+3sinzacos2a

=(sin2a+cos2cr)(sin4a—sinzacos2a+cos4a)+3sinzacos2a

=sin4a+2sinzacos2a+cos4a

二(sin2a+cos2a)2=1.

故答案为L

10.若sin2%+sinx=1，贝!kos4％+cos2x=

【答案】1

【解析】【分析】

本题考查同角三角函数基本关系式.

由s讥2%+sinx=1,sin2%+cos2x=1,可得sin%=cos2%,即可求解.

【解答】解：sin2%+sinx=1,sin2x+cos2x=1,

•••sinx=cos^x,

•••cos^x+cosLx=sin^x+cos^x=1.

故答案为：1.

11.如图，角a的终边与单位圆的交点P0位于第一象限，其横坐标为华，贝Utana=，0P0顺时针旋转

得0P1，0P1顺时针旋转战I0P2，......，OP「1顺时针旋转接得。P相，则点22022的纵坐标为.

【解析】【分析】

本题考查了任意角的三角函数和诱导公式，是中档题.

由任意角的三角函数得cosa=苧,再得出sina,可得tana的值；易得点P2022的纵坐标为sin(a-2022xg),

4乙

由诱导公式可得结果.

第8页，共43页

【解答】

解：因为角a的终边与单位圆的交点P。位于第一象限，其横坐标为苧，即c0sa=苧,

所以sina='l—cos2a=

rnri入sinaA^39

则tana=----='一

cosa3

因为。Po顺时针旋转与得。Pi，0P1顺时针旋转微得。P2,…，OPn_i顺时针旋转与得。Pn,

所以点P2022的纵坐标为sin(cr—2022x^)=sin(a—TT)=—sina=-----

L4

故答案为：浮;—孚

34

12.已知角4是三角形的一个内角，且sin力+cosA=卷，则这个三角形是三角形(填“直角”“锐角”

或“钝角”).

【答案】钝角

【解析】【分析】

本题考查同角三角函数的基本关系的灵活应用;利用(sin力+COSA)2=1+2sinAcosA判断cos力的正负是求

解本题关键.

用(sinA+cos力尸=1+2sinAcosA,求出sin4cos4,判断cos力的正负即可.

【解答】

解：•；(sinA+cos力尸=1+2sim4cos力=(卷)，

2sinAcosA=(A,_1<cosA<0,即角4是钝角，

・•.这个三角形是钝角三角形.

故答案为：钝角.

13.cos2l°+COS22°+COS23°H---1-cos289°=.

【答案】y

【解析】【分析】

本题考查了三角同角三角关系式，诱导公式.

利用同角基本关系，分组计算即可得到答案.

【解答】

解：cos2l°+COS22°+COS23°4---Fcos289°

第9页，共43页

=(cos2l°+COS289°)+(COS220+cos288°)+(cos230+cos287°)+—Fcos245°

=(cos2l°+sin2l°)+(COS220+sin22°)+(cos230+sin23°)+…+cos245°

1

=1+1+1+•••+2

_89

-T*

故答案为今

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),

圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，点P的坐标为.

【答案】(2—sin2,1—cos2)

【解析】【分析】

本题主要考查的是弧度制与弧长公式，

求出点P转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P点坐标和三角形边长的关系.

【解答】

解：如图，作CQ〃久轴，PQLCQ,Q为垂足.

根据题意得劣弧发=2，

故NDCP=2,则在△PCQ中，/-PCQ=2-p

|CQ|=cos(2-1)=sin2,

|PQ|=sin(2—=—cos2,

第10页，共43页

所以P点的横坐标为2-|CQ|=2-sin2,

P点的纵坐标为1+\PQ\=1-cos2)

所以P点的坐标为(2—sin2,1—cos2).

故答案为(2-sin2,1-cos2).

15.已知sinO+2cos8=0,则3sin(?r-0)cos(|兀-8)+cos(兀+0)cos^|TT—8)=

【答案】-2

【解析】【分析】

本题考查同角三角函数关系以及诱导公式，属中档题.

由sin。+2cos0=0得tan。=与黑=—2,再利用诱导公式化简得到—3sin2。—sin0cos0,利用一3sin2。—

sin0cose=-3sin2尸吗cos。,分子分母同除以cos2。得到只含tan。的式子，再根据tan。的值求出答案.

sin'6+cose

【解答】

解：因为sin©4-2cos6=0,则sin。=-2cos心则tan。=——-=—2,

由诱导公式化简三角函数式可得

'3_9)+COS(TT+0)cos停兀—d\=3sin0(—sin。)+(-cos0)sin0

(

3sin7r—0)cos271

—3sin20—sin0cos0—3tan20—tan0—3x(—2)2—(—2)

=—3sin20—sin0cos0-2

sin20+cos20tan20+1(一2户+1

故答案为-2.

16.已知集合P={(x,y)|(x-cos。)？+(y—sin。/=4,0W84兀}.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴

影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论:

X

D

①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为4则点力的坐标为(0,1)；

②在集合P中任取一点M,则M到原点的距离的最大值为3；

③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为c，D,则£。|=2+国；

第11页，共43页

④白色“水滴”图形的面积是玄兀-b.

其中正确的有.

【答案】②④

【解析】【分析】

本题考查命题真假的判断，考查三角函数和圆的综合知识应用，属于较难题.

对于①：方程(久-cos8)2+(y-sin8)2=4中，令x=0得y的取值范围，得出最高点的坐标;

对于②：利用参数法求出点M到原点的距离d,求出最大值；

对于③：求出最高点为C与最低点。的距离|CD|.

对于④：“水滴”图形是由一个等边三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成.

【解答】

解：对于①：方程(尤—cos。/+(y—sin。)？=4中，

令x=0得cos2。+y2-2ysin®+sin20=4,易知y丰0,

所以2sin8=y—j其中8e[0,兀

所以sinee[0,1],所以y—je[0,2],

解得yG[—V3,-1]U[A/3/3],

所以A点(0,遮)，点8(0,-1),点C(0,3),点D(O,_遮)，故①错误；

对于②：由(％—cos0)2+(y—sin0)2=4中,

设％=2cosa+cosO,y=2sina+sin。，

则点M到原点的距图。=Jx2_|_y2_J(2cosa+cos。)？+(2sina+sin。/

=J5+4cos(a-6),

当a=6时，cos(cr—0)=1,d取得最大值为3,故②正确；

对于③：由①知最高点为C(0,3),最低点。为(o,_b)，

所以|CD|=3+B，故③错误；

对于④：同①原理可求得阴影部分与X轴的交点分别为(—3,0),(-1,0),(1,0),(3,0),

由cos2g+sin20=1(0<0<7i),集合P中圆的圆心在单位圆上半部分半圆弧上运动，

结合对称性可知“水滴”图形是由一个等边三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；

其中等边三角形的边长为2,弓形所对应的圆心角为半半径为2,半圆的半径为1,

第12页，共43页

则白色“水滴”图形的面积是S=S平周+2S弓形+$△=|x7rxl2+2x(1x^x22-^x22)+|x2x

V3--V3,故④正确.

故答案为：②④.

17.如图，某人身高1.73小，他站的地点力和云南大理文笔塔塔底。在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M

的仰角NMCE=22.8。(点E在线段M。上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同).他沿线段4。向塔前进100m

到达点B,在点B直立时，测得塔顶M的仰角NMDE=48.3。，塔尖MN的视角NMDN=3.3。(那是塔尖底，在

线段M。上).

(1)求塔高M。=；

(2)此人在线段力。上离点。米，他直立看塔尖MN的视角最大？

参考数据：变122.8瞿产.3：_0.672,tan22.8°~0.42036,63.502«67.2x60.

sin25.5

【答案】68,93m；63.50

【解析】【分析】

本题考查利用正弦定理、余弦定理解决高度问题，两角和与差的正切公式，属于较难题.

(1)根据题意在ACDM中，由正弦定理可求CM的值，进而求解ME的值，即可根据M。=ME+E。即可计算

得解.

(2)由(1)可求CE的值，可求DE=CE-CD=60m,4NDE=45°,NE=BEa60m,设此人应在线段力。

上的F处，尸。=久根，直立时，眼睛处于G点，利用两角差的正切公式及基本不等式可求tan/MGN的最大值,

即可求解.

【解答】

解:(1)/.MCE=22.8°,Z.MDE=48.3°,

:.乙DMC=25.5°.

在fM中，由正弦定理得，CM=然黯

又CD=100m,

第13页，共43页

厂0100sin(180°-48.3°)100sin48.3°

C,M=---------------------------=-----------------

sin25.5°sin25.5°

100sin48.3°sin22.8°

ME=CMsinZ-MCE—«67.2(m),

sin25.5°

所以，MO=ME+EOx67.2m+1.73m=68.93m.

ME〜67.2〜67.2

(2)由(1)知，CE=160(m).

tanZ-MCE~tan22.8°~0.42036

•••DE=CE-CDx60m.

•••乙NDE=乙MDE-乙MDN=45°,

NE=DEx60m.

设此人应在线段4。上的F处，FO=xm,直立时，眼睛处于G点,

则tan^NGE^-,

tanZ.MGE-tanZ.NGE

••・tanZ-MGN=tan(zM(7E—乙NGE)

1+tanz_MGE・tanzJVGE

X1+672.60--+67.2x6°4[67.2x60—2767.2x60'

xx%勺%-x-

当且仅当第="它迎，即％。63.50时，等号成立.

X

所以，他站在线段4。上到点。的距离约为63.5(hn处时，看塔尖MN的视角最大.

二、单选题

18.如图，点4B,C是圆。上的点，且4B=4,ZXCF=30°,则劣弧卷为

()

A.^C.4D.学

b33

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查扇形的弧长公式，考查了运算能力.

先由已知条件求出劣弧Q对的圆心角和圆的半径，再由弧长公式求劣弧Q的长.

第14页，共43页

【解答】

解：如图，过点。作力B的垂线，垂足为D,连接。40B.

TT

V^ACB=30°,^LAOB=-.

在中，sin30°=r=4,

OBr

•・•劣弧卷的长为，=/x4=与.

故选D

19.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2）,在半圆。中作出两个扇形。4B和。CD,用扇环形4BDC（图中

阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形A8DC的面积为Si，扇形04B的面积为S2,当S1与S2的比值为手

时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆。的半径之比为（）

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查扇形的面积公式的运用，属于基础题.

由题意，设乙4。8=/半圆。的半径为r,扇形。CD的半径为勺，得至哈=初;普?=要,计算即可得

到:的比值.

【解答】

解：由题意，设乙4。8=氏半圆。的半径为丁，扇形。CD的半径为厂1，

第15页，共43页

依题意有:

52=初22

即浮一二="二

r22

所以5=三乎=6-y=(告1),

即11=卬、

r2

故选反

20.在平面直角坐标系中，蕊是单位圆上的一段弧(如图)，点P是圆弧蓝上的动点，角a以。x为始边，OP

为终边.以下结论正确的是()

A.tana<cosa<sinaB.cosa<tana<sina

C.sina<cosa<tanaD,以上答案都不对

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查三角函数值的符号特征，注意三角函数值的范围，属于拔高题.

由题设筋上的动点P的坐标为(cosa,sina),A{cos6r,sin9］),B(cos92,sin02^其中?</(当<出<兀，

L4

然后分为］<<a<争哼<a<02,两种情况进行讨论即可求解.

【解答】

解：由题设卷上的动点P的坐标为(cosa,sina),A(cosd^sinO^,B(cos02^^2)»

其中V/V与V62Vm

注意到当aG孚］,tana<-1,

4

故按如下分类讨论：

若］<0i<a<贝!Jsimr>0,cosa>—1,tana<—1,

第16页，共43页

i^sina>cosa>tana,

若苧VaW/，贝！Js讥a>0,cosa<0,tana<0,且0vs讥/Ms讥aV争

所以sin2。？+sin。2—1<sin2a+sina—1<9'

2

因为苧V/V兀，故0Vsind2<苧，故—1Vsin02+sin62—1<

所以sin?。？+sin02-1有正有负,所以sin2a+sina—1有正有负，

而tana-cosa=sm'a+simz-i,cosa<。，^tana_cosa有正有负，

故tcma,cosa大小关系不确定.

故选：D.

21.已知cos（a+J）=—孚（0<a<兀），则8s3+竽）=（）

4'6sina+cosa

2/TT

33~

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了三角函数求值，是难题.

先求出sina•cosa=，再求出sina+cosa>0,再求sina+cosa的值即得解.

【解答】

解：vcos(a+sina—cosa=—>

将两边同时平方得：sin2a+cos2a—2sina-cosa=

1

则sina-cosa=->0,

0<a<7r,•••sina>0,cosa>0,

・•・sina+cosa=(sina+cosa)2=V1+2sina-cosa=

.cos(2a+苧)_sin2a_2sina-cosa_1_2-/T1

sina+cosasina+cosasina+cosa33'

故本题选c.

3123

22.已知aE(码,兀)，且^sinZa+sina+cosa=一元，贝!Jtana=()

-1

C.1D."或3

【答案】A

第17页，共43页

【解析】【分析】

本题考查了三角函数求值，是难题.

利用换元法化简已知条件，求得sina+cosa的值，结合sinacosa列方程组，解方程组求得sina,cosa的值,

由此求得tana的值.

【解答】

[2323

解：因为5sin2a+sina+cosa所以sinacosa+sina+cosa,

所以(sina+;sa)2-l+的戊+coscr=一令sina+cosa=t,

所以与l+t=—iPt2+2t+U=0,所以t

当t=—|■时，sina+cosa=—',此时sinacosa=—"V0,不合题意，舍去.

当t=—1时，sina+cosa=—(，此时sinacosa=j|,

(.7.34

Isina+cosa5sina=-sina=—

由《12解得；所以tana=

Isinacosa=cosa=--coscr=—

5

故本题选4

23.若后延=包竺二，则久的取值范围是()

、1+sinxcosx

A.2kn<x<2kn+7r(fcGZ)B.2krc+TT<%<2kn+2TT(/CGZ)

7T-7T--

C.2.ku—2V%V2/C7T+-(kGZ)D.2/cw+^<X<2/C7T+y(fceZ)

【答案】D

【解析】【分析】

本题考察同角三角函数的化简，属偏难题.

根据后延=包3,左边式子分子分母同乘“1+sin%,

\1+sinxcosx

l—sin^xcosx\sinx-1.712

得------=-------,期cosx\•cosx=sin^x—1=—cos乙x,

(1+sin%)21+sinxcosx

所以cos%<0,解出久的取值范围即可.

【解答】

/1—sinxsinx—1

解：---------,

«1+sin%cosx

l—sin2x_|cosx|2

sinx1^/|cosx|,cosx=si^x—1=—COSX9

(1+sinx)21+sinxcosx

第18页，共43页

•••cosx<0,

解得：2/C7T+/V%V2kli+(fcGZ),

故选D

24.已知a+£=>0,6>0),则tana+tan^的最小值为

()

A.苧B.<3C.苧D.<3+1

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查两角和与差的正切公式和由基本不等式求最值或取值范围，属于较难题.

根据两角和的正切公式结合基本不等式运算求解.

【解答】

解：因为戊+6=?5>0,/?>0),则a,06(0,9，

可得tana,tan£G(0,，即tana+tan/?>0,

且tan(a+0)==V~3,整理得tancttany?=1一?(tana+tan/?)，

又因为tanatan/?<0a皿：'3*)，当且仅当tana=tan/?=?时，等号成立，

43

即1_f(tana+tan/?)<.丁心,

34

整理得(tana+tan)?)2+(tana+tanQ)—4>0>

解得tana+tan6>或tana+tan/?<-2A/3(舍去)，

所以tana+tan。的最小值为竽.

故选：C.

25.若a6(0,兀)，且，"^sina+2cosa=2,则)

AYBYC.迫D.也

2433

【答案】A

【解析】【分析】

第19页，共43页

本题考查同角三角函数关系以及半角公式，属于综合题.

根据同角三角函数关系然后结合半角公式求出结果.

【解答】

解：由已知得cosa=1———sina-

代入sin2q+cos2a=1,得sir^a+(1-^sincz)2=1，

整理得:sin2a—V_3sina=0,

4

解得sina=0或sina=苧.

因为a€(0,TT),所以sina=与3,

痂i64<31

fixcosa=1——x=-

4<3=

所以tan葭=sina=工=叵

1+cosa1+i2-

故选4

26.在“BC中，若内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,NHBC的平分线交AC于点D,B。=1且b=2,

则“BC周长的最小值为

()

A.7B.2<2C.2+2AA2D.4

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了三角形面积公式和利用余弦定理解决范围与最值问题，属于较难题.

先利用面积相等与三角形面积公式，结合正弦的二倍角公式求得2accos华=c+a,再利用余弦定理的

推论与余弦的倍角公式得到a和c之间的关系式，进一步利用基本不等式求解.

【解答】

第20页，共43页

解：由题可得，s4ABC=S^ABD+S^BCD，

-11/-ABC,1.Z-ABC

则2acs讥乙4BC=-BD•csin+①BD-asm---

2

又BD=1,^VXacsinZ-ABC=csin^^—+asin

rn,1c.Z-ABC/-ABC/I、,/-ABC

贝Ulacsin---cos---=(c+a)sin---

因为0〈乙4BC<7T,所以0<幺署<3贝!

所以2accos(人优=c+Q,即

22lac

又因为cosZ_ABC=4,cos乙ABC=2cos2-1,

2ac乙

所以2(虫)2—1=巴三上

'2acy2ac

整理得(c+a)2=ac[(c+a)2-4],

所以(c+a)2=ac[(c+a)2—4]《煲罐-•[(c+a)2—4],

解得(c+a)2>8或(c+a)240(舍去),

所以a+c>2V~^，当且仅当a=c=时，等号成立,

贝Ub+a+c>2+2，^,

故△4BC周长的最小值为2+2<2.

故选：C.

27.在钝角△ABC中，见2。分别是必江的内角4昆。所对的边，点6是必8。的重心，若AG1BG,则cosC

的取值范围是

()

A.B4V~6

-K5,~

【答案】A

【解析】【分析】

第21页，共43页

本题考查解三角形中的取值范围问题的求解，属难题.

延长CG交4B于D,由重心性质和直角三角形特点可求得CD=|c,由cos/BDC=-COSN力DC,利用余弦定

22222

理可构造等量关系得到。2+接=5c2,由此确定C为锐角，则可假设4为钝角，得到d+c<a,a+c>b,

a>b,由此可构造不等式组求得自的取值范围，在“BC利用余弦定理可得cosC="£+2）,利用维j范围,

结合C为锐角可求得cose的取值范围.

【解答】

解：延长CG交4B于D,如下图所示:

•••G为-ABC的重心，D为4B中点且CD=3DG,

133

vAGLBG,/.DG=^AB,CD=^AB=|c；

长."rh4“AD2+CD2-AC2会2-25c2-2公

在‘力DC中'cos^ADC==

2ADCD3c2

2C

*r>"BD2+CD2-BC2fc2-tz25c2—2a2

在WC中,COSZBDC=-BD-=-3C2-

2C

Z.BDC+乙ADC=Ti,••・cos乙BDC=-cosZ-ADC,

即“孚=一身孚，整理可得：a2+b2=5c2>c2,C为锐角;

3cz3cz

设Z为钝角,则按+。2<。2,a2+c2>62,a>b,

a2+b2⑶“叩<1,

a2>b2+

5.①255I”解得：住)<2,

次+*..0<144©u3

b2<a2+

-5-

a>b>0,0<-<—，

a3

由余弦定理得：COSC=°+：r^=IG+9>lx(?+^)=

又c为锐角，.•.苧<cosC<l，即cose的取值范围为（苧,1）

故本题选N.

三、解答题

28.设扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为1.

第22页，共43页

(1)已知一扇形的周长为9cm,面积是^。血?，求扇形的圆心角a；

(2)若扇形周长为20si,将扇形的面积S表示为半径R的函数，并写出定义域.

(2R+Ra=9

【答案】解：(1)由题意得已仇产=Z

7

R-

2-

解得｛;二;(舍去)，或・4

a-

7-

故扇形圆心角为小

(3)由已知得，l+2R=20.

则S=^IR=1(20-2R)R=-R2+107?,

又aR+2R=20,得R=3,

a+2

10

ccGRG(兀+1,10).

【解析】本题考查扇形的弧长公式与面积公式，属于基础题.

(1)根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解；

(2)根据扇形的面积公式求解即可.

29.(本小题12分)

如图，有一个扇环形花圃4BCD,外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值21,圆心角的绝对值为

a(0<a<兀).

(1)当a为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；

(2)当a=2时，求弧度的中点E到弦BC的距离.

【答案】解：设内圆弧半径为r,贝!IAB=CD=。4=。。=r,

所以筋=ra,BC=2ra>

所以ra+2ra+2r=2Z,则r=/二,

3a+2

第23页，共43页

113

所以S扇环=S扇9BC-S扇环AD=2X2nzx2r—2xraXr=-ar2

6於6於口

-4S[=~r

9a+-+122J9吗+124，

当且仅当9a=立即a=|,S取得最大值0

a34

(2)设OE交BC于尸，则由垂径定理得OE1BC,

乙BOE=g乙BOC=1,

r由+-t(Z-1i\)知/rn，?=应21=21="I

所以。F=/cosl,

所以EF=0E-OF=2r-|cosl=g(l-cosl).

【解析】本题考查了扇环面积的计算问题，也考查了函数最值的计算问题，是综合题.

(1)设半径为r,由弧长公式及周长得r=熹，根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环的最大值;

(2)利用垂径定理结合解直角三角形可得.

30.(本小题12分)

如图扇形/。8的半径r=6cm,圆心角乙4。8=卷.求阴影部分的面积S.

【答案】解：过。1作AB,OA,。8垂线，垂足分别为C,D,E.

如图所示：

第24页，共43页

由题意可知，△。48为边长为6的等边三角形，则AC=BC=3,

则。1C=<3,

根据题意将阴影部分分三部分求解，即四边形力扇形D0C,四边形扇形E0C,以及上面的

弓形.

故阴影部分面积为[门x3—gx兀x(<3)2]X2+|X^X62-^X62=4TT-3<3.

【解析】本题考查了扇形面积公式，圆的面积公式以及三角形内切圆问题，属于中档题.

过01作48,0A,0B垂线，垂足分别为C,D,E.根据题意将阴影部分分三部分求解，即四边形力。0也一扇

形D0C,四边形扇形E0C,以及上面的弓形.

31.如图所示，动点P,Q从点4(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转号弧度，点Q按顺时针方向

每秒钟转看弧度，求点P,点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.

【答案】解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是3则・卜目=2兀.

t=4(秒)，即第一次相遇的时间为4