2024年高考数学复习：切线放缩 练习（2大考点+强化训练）

2024年高考数学复习专题练习★★

切线放缩（2大考点+强化训练）

在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式

进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规

律，更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.

W【知识导图】

❶考点一：单切线放缩

★切线放缩9

❷考点二：双切线放缩

【考点分析】

考点一：单切线放缩

常见的切线放缩：VxeR都有e'2x+l.当x〉一1时，ln（x+l）Wx.当x〉0时，x>sinx；当x〈0时，x〈sin

规律方法该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题（拆成两个函数），两函数有斜率相同

的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，

难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板.

【例1】（2023上•辽宁大连•高三大连八中校考期中）已知函数"x）="lnx,（a*O）.

⑴若函数g（尤）=/'（x）+」：（其中：­⑺为了（X）的导数）有两个极值点，求实数a的取值范围;

⑵当a=l时，求证：/(x)<ex+sinx-l.

iQ

【变式】（2023上•贵州黔东南•高三统考期中）函数/（》）=41皿+弓/-（。+1）尤+5（。>0）.

⑴求函数〃x）的单调区间；

⑵当a=l时，若〃西）+/（尤2）=°，求证：^+x2>2.

考点二：双切线放缩

规律方法含有两个零点的F（x）的解析式（可能含有参数国，生），告知方程f（x）=6有两个实根，要证明

两个实根之差小于（或大于）某个表达式.求解策略是画出f（x）的图象，并求出f（x）在两个零点处（有时候

不一定是零点处）的切线方程（有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线），然后严格证明曲线F（x）

在切线（或所找直线）的上方或下方，进而对荀，热作出放大或者缩小，从而实现证明.

【例2】（2024上•浙江嘉兴•高三统考期末）已知函数/（%）=3尤2+（4-根-l）x-odnx.

（1）若根=-1时，y=/（x）在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；

⑵若。=2,m<0时，函数y=/（x）有两个极值点耳，x2（%1<x2）,求证：x2-x1<3（m+l）.

【变式】(2024下•河北•高三校联考开学考试)已知函数

3

/(x)=(x+a)(ex—a),g(x)=4e"—ax,/z(x)=—e2ar-ax

⑴若“力、g(尤)在(2,42))处切线的斜率相等，求。的值;

⑵若方-"g'U(x)=”有两个实数根占‘试证明：e国+e%2°

⑶若方程〃x)=b有两个实数根盯3，试证明：归-引41+勺*+言.

【强化训练】

1.(2024±•江苏扬州•高三统考期末)已知函数〃x)=(lnx-m)x的最小值为-1.

(1)求实数机的值；

⑵若〃x)=a有两个不同的实数根占,%(西〈尤2)，求证：2-x2<%[<x2-(a+l)e.

2.（2024上•重庆•高三重庆南开中学校考阶段练习）若函数尤）在定义域内存在两个不同的数4，

〜同时满足且“%）在点（罚工（占）），（%,八％））处的切线斜率相同，则称“X）为“切

合函数”.

（1）证明：〃力=2/_6%为“切合函数”；

⑵若8（同=元1次-』f+6为“切合函数”（其中e为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为4，

2

.e

(i)求证：x1x2<—；

___3

(ii)求证：(〃+1)2菁%2_

3.（2023•重庆模拟）已知函数3（x）=sinx—aln（x+l）.

⑴若石=1,证明：当［0,1］时，F（x），0；

（2）若己=一1,证明：当［0,+8）时，_f（x）W2e"-2.

4.(2023•柳州模拟)已知函数F(x)=lnx+~~2x.

x

(1)当a>0时，讨论/1(X)的单调性；

(2)证明：2'—

X

5.(2023•福州模拟)已知函数_f(x)=xlnx—x.若F(x)=6有两个实数根Xi,如且,求证：be+e<x2

-^ri<2Z?+e+~.

e

6.(2023•山东模拟)已知函数*X)=5+1)(^—1),若函数€(*)=**)一勿(勿>0)有两个零点荀,

X2,且为〈用，证明：加一为<1+2勿+--7-

e—1

7.(2023•广州模拟)已知函数F(x)=ln(x+l).

(1)证明：当x>—l时，_f(x)Wx；

w-

(2)已知证明：e23n>sin(/7+l).

8.(2023•遂宁模拟)已知函数_f(x)=a(x+l)一一~,x£R.

e

⑴若Hx)是减函数，求实