第一章 矩阵1培训课件

第一章矩阵§1.1矩阵的基本概念一.历史“矩阵

(matrix)”这个词首先是英国数学家西尔维斯特使用的.他为了将数字的矩形阵列区别于行列式

(determinant)而发明了这个述语.JamesJosephSylvester(1814.9.3~1897.3.15)

§1.2

§1.3

§1.4

§1.5-7

英国数学家凯莱

被公认为是矩阵论的创立者.他首先把矩阵作为一个独立的数学概念,并发表了一系列关于这个题目的文章.Arthur

Cayley

(1821.8.16~1895.1.26)

第一章矩阵§1.1矩阵概念

例1.某厂家向A,B,C三个商场发送四款产品.200180190100120100150160140180150150第一章矩阵§1.1矩阵概念2050302516201616

甲乙丙丁单价重量二.实例第一章矩阵§1.1矩阵概念例2.四个城市间的单向航线如图所示.1423

若用aij表示从i市到j市航线的条数,则上图信息可表示为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44即0111100001001010三.定义1.m

n矩阵

元素(element/entry)aij(1

i

m,1

j

n)a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn注:今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵.第一章矩阵§1.1矩阵概念

元素都是实数——实矩阵(real~)

元素都是复数——复矩阵(complex~)

行(row)列(column)第一章矩阵§1.1矩阵概念3.向量(vector)行向量(columnvector)[a1,a2,…,an]列向量(rowvector)a1a2…an第i分量

(ithcomponent)ai(i=1,…,n)n阶方阵:n

n矩阵2.方阵(squarematrix)

见例2.一个11的矩阵就是一个数

n–维(n–dimensional)

第一章矩阵§1.1矩阵概念4.同型(same-sized):行数相等,列数也相等5.两个矩阵相等(equal)

205030162016与a

b

c123同型205030162016

与不同型201650203016A=[aij]m

n与B=[bij]m

n相等:对

1

i

m,1

j

n,aij

=bij都成立记为A=B.大前提:同型

第一章矩阵§1.1矩阵概念四.几种特殊的矩阵

1.对称矩阵(symmetricmatrix)则称A为对称矩阵.若矩阵A=[aij]m

n满足:122110

1

0

x

31

30

m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n)第一章矩阵§1.1矩阵概念2.对角矩阵(diagonalmatrix)主对角线

对角矩阵

diag[

1,

2,…,

n].

a11

a12…a1n

a21

a22…a2n

an1

an2…ann

…………(leading/main/principaldiagonal)

10…00

2…000…

n…………简记为第一章矩阵§1.1矩阵概念3.数量矩阵/纯量矩阵(scalarmatrix)diag[k,k,…,k]——数量矩阵/纯量矩阵.4.单位矩阵(identitymatrix)称为n阶单位矩阵.

2000

200023003

例如:En=10…001…000…1n

n……

……第一章矩阵§1.1矩阵概念5.反对称矩阵则称A为反对称矩阵(antisymmetricmatrix/若矩阵A=[aij]m

n满足:0

22

001

1103

1

30

m=n且aij=

aji(i,j=1,2,…,n),skew–symmetricmatrix).第一章矩阵§1.1矩阵概念6.零矩阵(zeromatrix)有时,加下标指明其阶数.通常用O表示零矩阵.0000000000000000000例如,上述零矩阵分别可以记为:

O2,O2

3,O3.零矩阵——元素全为零.第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算§1.2矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法(additionofmatrices)

产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420例3.

第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算§1.2矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法(additionofmatrices)

产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365例3.第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算§1.2矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法(additionofmatrices)

产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390例3.第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算§1.2矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法(additionofmatrices)

产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390205例3.第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算§1.2矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法(additionofmatrices)

产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390205240例3.第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算§1.2矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法(additionofmatrices)

产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390205240210例3.第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算§1.2矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法(additionofmatrices)

420365390205240210A+B=200180190100120100A=(1)大前提:同类型

(2)具体操作:对应元素相加

第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算§1.2矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法(additionofmatrices)A=[aij]m

n与B=[bij]m

n的和(sum):C=[cij]m

n=[aij+bij]m

n.注:

①

设矩阵A=(aij)m

n,记

A=(

aij)m

n

,——A的负矩阵(additiveinverseof

A).②设A,B是同型矩阵,则它们的差

(subtraction)定义为A+(

B).记为A

B.

即A

B=A+(

B).

第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算2.数乘(scalarmultiplication)设矩阵A=(aij)m

n,数k与A的乘积定义为

(kaij)m

n,记为kA或Ak.注:矩阵的线性运算(linearoperation)即kA=Ak=ka11

ka12…ka1nka21

ka22…ka2n

…………kam1

kam2…kamn

加法数乘第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算3.性质设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(

A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.

二.矩阵的乘积(matrix-multiplicativeproduct)

例4.某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.A=2050302516201616

B=20018019010012010015016014018015015020

200+50

100+30

150+25

1801800018150167501048010240968018000

第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算例5.四个城市间的单向航线如图所示.

若aij表示从i市直达j市航线的条数,

则右图可用矩阵表示为1423A=(aij)=0111100001001010

从i市经一次中转到达j市航线的条数=?

乘法原理加法原理④①②③①①a11

a11

a12

a21

a13

a31

a41

a14

a11a11

a12a21

a13a31

a14a41

b11=.+++1423第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算

乘法原理加法原理④①②③②③a21

a13

a22

a23

a33

a23

a24

a43

a21a13

a22a23

a23a33

a24a43

b23=.+++1423第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算例5.四个城市间的单向航线如图所示.

若aij表示从i市直达j市航线的条数,

则右图可用矩阵表示为1423A=(aij)=0111100001001010B=(bij)=21100111100002111234ijbij=ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.

从i市经一次中转到达j市航线的条数=?第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算1.定义A=(aij)m

s与B=(bij)s

n的乘积(product)

是一个m

n矩阵C=(cij)m

n,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=

aikbkj.k=1s记为C=AB.称AB为“以A左乘B”或“以B右乘A”.=a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b21

b22b31

b32如

a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32

a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算2.矩阵乘积的特殊性

(1)只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,

乘积AB才有意义.(2)若A是一个m

n矩阵,与B是一个n

m矩阵,

则AB和BA都有意义.但AB是一个m阶方

阵,BA是一个n阶方阵.当m

n时,AB与

BA谈不上相等不相等.

即使m=n,AB与BA是同阶方阵也未必相等.

例如:

第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算

112224

1

21001

112224

1

21001=0

000

3

36112224=

1

122

1

212=0

000

1

122

1

212=

3

3

3

3

第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算设k是数,矩阵A,B,C使以下各式中一端有意义,则另一端也有意义并且等式成立:(1)(AB)C=A(BC),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).3.性质

4.方阵A的正整数幂(power)A1=A,A2=AA,…,Ak+1=AkA.第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl

(AB)k=AkBk

但即使A与B是同阶方阵,也未必成立!注:①

若AB=BA,则(AB)k=AkBk.②

A=0

100,B=1

000,AB=0

000,BA=0

100,AB

BA,但(AB)k=AkBk成立.

容易验证第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算(AB)k=AkBk

③

要说明即使A与B是同阶方阵,也未必成立,只要举出一个反例即可.例如A=1

100,B=1

010,AB=2

000,A2=1

100=A,当然这里AB

BAB2=1

010=B,(AB)2=4

000,A2B2=AB=2

000,=1

111.

第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算

结合律的妙用之一设A=BC,其中B=,C=[123],123(还有“妙用之二”喔~~~!)

A100=?

123246369则A=,CB=[1

2

3]1

2

3

=1

1+2

2+3

3

=14.A100=(BC)(BC)(BC)…(BC)(BC)(BC)=B(CB)(BC)C…B(CB)(CB)C第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算三.矩阵的转置

1.定义:A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn

AT=的转置(transpose)

a11

a12

a1n

…a21

a22

a2n

………

…am1

am2

amn

…第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算矩阵的转置运算满足如下性质(1)(AT)T=A,(2)(A+B)T=AT+BT,(3)(kA)T=kAT,(4)(AB)T=BTAT.2.性质

注:①

A是对称矩阵

AT=A;②

A是反对称矩阵

AT=

A;(A+AT)T=A+AT,(A

AT)T=(A

AT),③

A是方阵

…?第一章矩阵§1.2矩阵的基本运算四.方阵的多项式

A——方阵

——方阵A的多项式(polynomial).f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

f(x)——多项式注意!!!

第一章矩阵§1.3分块矩阵一.基本概念1001201045001763210065400§1.3分块矩阵1001201045001763210065400=E3

BC

O2

分块矩阵(partitionedmatrix)第一章矩阵§1.3分块矩阵A=[A1,A2,…,An].二.常用的分块法1.

A=a11

a21

am1

a12

a22

am2

……

…a1n

a2n

amn

…………,A1=,a11

a21

am1

…An=,a1n

a2n

amn

…A2=,a12

a22

am2

…第一章矩阵§1.3分块矩阵

1

=[a11,

a12,…,

a1n],

1

2…

mA=.2.

a11

a12…a1n

a21

a22…a2n

…………

am1

am2…amn

A=

2

=[a21,

a22,

…,

a2n],

m

=[am1,

am2,

…,

amn],…第一章矩阵§1.3分块矩阵A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,称为分块对角矩阵(或准对角矩阵),其中A1,A2,…,As都是方阵.2.分块对角矩阵(semi-diagonalmatrix)

例如2100002100002000001200034.第一章矩阵§1.3分块矩阵三.基本运算分块加法A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,

A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr

+Bsr

.A+B=设矩阵A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,

为常数.

A11

A12…

A1r

A21

A22…

A2r

…………

As1

As2…

Asr.则

A=2.分块数乘第一章矩阵§1.3分块矩阵

3.分块乘法设A为m

l矩阵,B为l

n矩阵,将它们分块如下A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bt1

Bt2…Btr,其中Ai1,Ai2,…,Ait的列数分别与B1j,B2j,…,Btj的行数相等.(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cs1

Cs2…Csr,其中Cij=

AikBkj,则AB=k=1t第一章矩阵§1.3分块矩阵

10

1012011041112

0B=,求AB.

10

00010012101101例6.设A=,解:A=,E

OA1

EB=,B11EB21

B22其中E=,10011211A1=,

1012B11=,

10

11B21=,412

0B22=.于是AB=E

OA1

EB11EB21

B22,B11

EA1B11+B21

A1+B22

=第一章矩阵§1.3分块矩阵

于是AB=E

OA1

EB11EB21

B22B11

EA1B11+B21

A1+B22

=,而A1B11=1211

10123402=,A1B11+B21=3402

10

11+A1+B22=1211412

0+2411=,333

1=.B11

EA1B11+B21

A1+B22

从而AB==.

10

1012012

4331

13

1第一章矩阵§1.3分块矩阵

设矩阵A=A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,A11T

A21T…As1T

A12T

A22T…As2T

…………A1rT

A2rT…AsrT.则AT=4.分块转置第一章矩阵§1.3分块矩阵

例如Q=[q1,q2,…,qn],

第一章矩阵§1.3分块矩阵

…,其中q1=,q11

q21

qn1

…qn=,q1n

q2n

qnn

…q2=,q12

q22

qn2

…QT=,q1T

q2T

qnT

…

QTQ=q1T

q2T

qnT

…

[q1,q2,…,qn].=第一章矩阵§1.3分块矩阵

QTQ=q1T

q2T

qnT

…

[q1,q2,…,qn]………q1Tq1q1Tq2

q1Tqn

…q2Tq1q2Tq2

q2Tqn

…qnTq1qnTq2

qnTqn

…第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵§1.4初等变换与初等矩阵

2x1

3x2+4x3

=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2一.初等变换

公元前1世纪,《九章算术》初等变换,相当于高斯消元法

第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=2

2(1)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=0

1/2

12

34

4121

32262轻装上阵

121

32

34

41131

1/2121

30

12

20

1

22

2(1)121

3012

20000

1

第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=0

(2)121

3012

20000x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0

(2)10

5

1012

20000x1=5c+1x2=

2c

2

x3=c其中c为任意实数.100

0

012

20000

(2)

2105

1012

20000

(1)

5100

0

010

0

0000

Gauss-Jordanreduction第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵1.初等行变换(elementaryrowoperations)初等列变换(elementarycolumnoperations)

(1)对换变换:ri

rj,

(2)倍乘变换:ri

k,(3)倍加变换:ri+krj.初等变换

(1)对换变换:ci

cj,(2)倍乘变换:ci

k,(3)倍加变换:ci+kcj.初等行变换初等列变换第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵若矩阵A经过有限次初等变换化为B,则称A与B等价(equivalent).记为A

B.(1)反身性(reflexivity)A

A,容易验证矩阵之间的等价关系具有如下性质:

(2)对称性(symmetry)A

B

B

A,(3)传递性(transitivity)A

B,B

C

A

C.第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵2.行阶梯形矩阵与行最形矩阵A中非零行的数目为A的阶梯数.1100401022000230000411204013220002300000,

行阶梯形(rowechelonform)

注意不是阶梯形矩阵!11004010220202300004第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵则称A为行最简形(reducedrowechelonform).如果阶梯阵A还满足如下条件各非零首元全为1,非零行首元所在列的其余元素全为0,1

0

201013020001000000注:用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵.

例如第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵3.若m

n矩阵A经过有限次初等变换化为

Er

Or

(n

r)O(m

r)

r

O(m

r)

(n

r)的形式,为A的(等价)标准形

则称注:用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都可以经过有限次初等变换化为标准形.

(canonicalform).第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵二.初等矩阵(elementaryreductionmatrices)Eci

cj

E(i,j)Eci

k

E(i(k))Eci+kcj

E(j,i(k))Eri

rj

E(i,j)(1)Eri

k

E(i(k))(2)Eri+krj

E(i,j(k))(3)

一次初等变换1.单位矩阵初等矩阵

第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵E(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列

第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵E(i(k))

=第i行1k

11第i列1

第一章矩阵§1.4初等变换与初等矩阵E(i,j(k))

=第i