2024届上海数学高三年级上册期末经典试题含解析

2024届上海复旦附中数学高三上期末经典试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列四个结论中正确的个数是

（1）对于命题/，：切）eR使得W0,则都有了2一1>0；

（2）已知XN（2,/）,则P（X>2）=0.5

（3）已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程为£=2x-3；

（4）“％21”是“》+‘22”的充分不必要条件.

X

A.1B.2C.3D.4

2.已知向量。二（m,1）,8=（-1,2）,若（a-2b）1b,则。与〃夹角的余弦值为（）

A2y/13R2y/i3「6A/136713

A.-------B.-----------C.--Dn.------

13136565

3.5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了

一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率丁（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折

线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出）‘关于x的线性回归

方程为y=0.042x+a.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G手机市场占有率

能超过0.5%（精确到月）（）

A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月

4.若复数z=上如为虚数单位）的实部与虚部相等，则。的值为（）

2+z

A.3B.±3C.-3D.±73

5.如图，抛物线的焦点为尸，过点R的直线/与抛物线加交于A,B两点,若直线/与以尸为圆心,

线段OF（。为坐标原点）长为半径的圆交于C,。两点，则关于值的说法正确的是（）

A.等于4B.大于4C.小于4D.不确定

6.在平面直角坐标系xOy中，己知角。的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y=2x上,

7.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100],

若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）

8.已知复数z满足z=i（l-z）,（i为虚数单位），则|z|=（）

A.0B.V3C.2D.3

9.已知直线y=A（x-1）与抛物线C：V=4x交于A,5两点，直线y=2左（x-2）与抛物线O：y=8不交于M,N

两点，设2=|A阴-2|MN|,贝(J()

A.2<-16B.2=-16C.-12<2<0D.2=-12

10.已知定义在R上的函数〃可满足/(%)=〃T),且在(0,+8)上是增函数，不等式+2)4/(—I)对于

XE[1,2]恒成立，则。的取值范围是

D.[0,1]

2

复数4在复平面内对应的点为(2,3)/2=-2+i,则」

—+—1

55

12.在等差数列｛4｝中，若4=4,4=8,则%=(

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在平面四边形.CD中，\AC\=3,\BD\=4>则漏+函"就+同=

B

14.曲线八x)=(7+x)历工在点(1,犬1))处的切线方程为.

15.设AABC的内角的对边分别为a,b,J若a=2,c=26,cosA=@,则/?=

2

16.若关于x的不等式l°gl(4'"+".2')<°在%>()时恒成立，则实数4的取值范围是

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图,四棱锥P-ABC。中,平面2平面ABCD,底面ABCO为梯形.48//。>.49=2。。=2百,

且A4D与A6D均为正三角形.E为AD的中点,G为24。重心,AC与BD相交于点尸.

(1)求证:G/7//平面PDC；

(2)求三棱锥G-PCD的体积.

226

18.(12分)已知椭圆C：4+#=1的离心率为券，且椭圆c的一个焦点与抛物线/=46X的

焦点重合.过点E(1,O)的直线/交椭圆。于“&,y),N(马，必)两点，。为坐标原点.

(1)若直线/过椭圆。的上顶点，求AMQV的面积；

(2)若A，8分别为椭圆C的左、右顶点，直线AM,NB,MB的斜率分别为*Q&,求&代+&)的值.

19.(12分)已知A是抛物线E：72=2外伪>0)上的一点，以点4和点8(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=l于M,

N两点.

(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程；

(2)若0Vp<l,抛物线E与圆(X-5)2+/=9在*轴上方的交点为P,Q,点G为PQ的中点，O为坐标原点，求直

线OG斜率的取值范围.

20.(12分)在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行

合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：

试销价格

456789

X(元)

产品销量y

898382797467

(件)

已知变量x，y且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲$=4x+53；乙

]=-4X+105；丙S=-4.6X+104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

(1)试判断谁的计算结果正确？

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中

随机抽取3个，求“理想数据”的个数为2的概率.

r2v2X=2+t,

21.（12分）已知曲线G：二+上=1,直线/：《°°。为参数）.

491y=2-2f,

（I）写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程；

（II）过曲线C上任意一点P作与/夹角为30。的直线，交/于点A,|网的最大值与最小值.

222

22.（10分）已知抛物线V=4x的准线过椭圆C：^-+2_=1（a>ft>0）的左焦点尸，且点F到直线/：x=—（c

为椭圆焦距的一半）的距离为4.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）过点尸做直线与椭圆C交于A,8两点，尸是45的中点，线段48的中垂线交直线/于点。.若|PQ|=2|AB|,求

直线A3的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可

判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要

条件的判定方法，即可判定.

【题目详解】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题〃与%eR使得好-140,则「〃：VxeR都有

x2-l>0,是错误的；

（2）中，已知X〜N（2,cy2）,正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为x=2,所以P（X>2）=0.5是正确的;

（3）中，回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为（4,5）,由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得

回归直线方程为$=2*-3是正确；

(4)中，当xNl时，可得》+‘22/尤'=2成立，当x+」N2时，只需满足x>0,所以“xN1”是“x+，22”

X\XXX

成立的充分不必要条件.

【题目点拨】

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性

质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于

基础题.

2、B

【解题分析】

直接利用向量的坐标运算得到向量a-2b的坐标，利用(a-2b)-b=0求得参数m,再用cos〈a,»=」也计算即可.

IaI网

【题目详解】

依题意，a-2b=(m+2,-3)>而(a-2/7)-6=0,即一〃?一2-6=0,解得〃?=一8,贝！I

.ab102713

COS\6Z,M/=-----=-/=-^==-----•

\a\\b\V5-V6513

故选：B.

【题目点拨】

本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

3、C

【解题分析】

根据图形，计算出然后解不等式即可.

【题目详解】

解：jf=1x(l+2+3+4+5)=3,y=1x(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1

点(3,0.1)在直线$=0.042%+。上

0.1=0.042x3+6,a=-0.026

y=0.042x-0.026

令£=0.042x—0.026>0.5

x>13

因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，

故选：C

【题目点拨】

考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.

4、C

【解题分析】

利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.

【题目详解】

z=—+又z的实部与虚部相等，

2+z5

:.b-2=2h+1,解得匕=一3.

故选:C

【题目点拨】

本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.

5、A

【解题分析】

利用户的坐标为（2,0）,设直线/的方程为％-加）」2=0,然后联立方程得—,最后利用韦达定理求解即

my=x-2

可

【题目详解】

据题意，得点尸的坐标为（2,0）.设直线/的方程为x-冲一2=0,点A,8的坐标分别为（%,y）,讨论：

当机=0时，玉=赴=2；当mw0时，据，’一,得炉一（8加2+4）x+4=0,所以玉々=4,所以

my=x-2

|AC|.|BO|=（|AF|-2）-（|BF|-2）=（^+2-2）-（^+2-2）=A：IA2=4.

【题目点拨】

本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题

6、C

【解题分析】

利用诱导公式以及二倍角公式，将sin（言+2。］化简为关于tan9的形式，结合终边所在的直线可知tan。的值，从

而可求sin[z+26j的值.

【题目详解】

.（3冗cQcc.2，八sin2（9-cos20tan2^-1_八一

因为sin|---F2。--cos20=sin'0-cos~0-——；------；—=——-----,且tan8=2,

（2）sin-+cos_0tarrO+1

所以sin（2+2e]=izl=3.

（2）4+15

故选：C.

【题目点拨】

本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解

msiYe+acos?。值的两种方法：（1）分别求解出sinacos9的值，再求出结果；（2）将加sin*+〃cos2e变形为

znsin20+ncos20等*'利用ta"的值求出结果・

sin26^+cos20

7、D

【解题分析】

频数

根据频率分布直方图中频率=小矩形的高x组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=关会求出班级人数.

频率

【题目详解】

根据频率分布直方图，得:低于60分的频率是（0.005+0.010）x20=0.30,

1Q

.•.样本容量（即该班的学生人数）是一=60（人）.

0.30

故选：D.

【题目点拨】

频数

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=口的应用问题,属于基础题

样本容量

8、A

【解题分析】

z=i。—i）=l+i,故目=及，故选A.

9、D

【解题分析】

分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得|A8|=4+*,|AB|=4+',然后计算，可得结果.

【题目详解】

设A（芭

联立『2_叙n%x-（2-+4）X+F=O

n„2/+4-4

则玉+x2=———=2+—，

因为直线y=经过C的焦点，

所以|A川=玉+々+/?=4+，.

K

2

同理可得|MN|=8+记，

所以4=4—16=-12

故选：D.

【题目点拨】

本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

10、A

【解题分析】

根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在（，20）上是减函数，由此可将不等式化为-14功+241；利用分

3131

离变量法可得-三4。4-上，求得一士的最大值和--的最小值即可得到结果.

XXXx

【题目详解】

/（%）=/（-%），/（x）为定义在R上的偶函数，图象关于）’轴对称

又“X）在（0,+e）上是增函数/（力在（F,0）上是减函数

•,/（ox+2）</（-I）.,.|ar+2|<l,即一1Km:+2Wl

31

・「一1〈奴+2<1对于％2］恒成立一嚏<a<-、在［L2］上恒成立

3「3-

---<a<—\,即。的取值范围为：—不一1

2L2

本题正确选项：A

【题目点拨】

本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单

调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.

11,B

【解题分析】

z.

求得复数4,结合复数除法运算，求得」的值.

【题目详解】

曰“C_2+3i(2+3i)(-2-i)_(2+3i)(-2-i)-1-8/18.

—

易知Z]—2+3z,贝！|—oo<=---=

z2-2+/(-2+z)(-2-z)5555

故选：B

【题目点拨】

本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.

12、C

【解题分析】

将的，为分别用外和4的形式表示，然后求解出q和△的值即可表示%.

【题目详解】

设等差数列｛凡｝的首项为4，公差为

4+4=4,

则由。，=4,%=8,得解得4=2,d=2,

q+3d=8,

所以为=q+61=14.故选C.

【题目点拨】

本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建为和4的方程组求通项公式.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-7

【解题分析】

由题意得罚+5c=AC-BD,BC+AD=AC+BD,然后根据数量积的运算律求解即可.

【题目详解】

由题意得通+DC=^AC+CB')+(DB+BC)=AC-BD,

BC+AD=^BA+AC^+(AB+BD)=AC+BD>

••（诟+5?）•（而+而）=（就一诟）•（就+方）=AC2-BD2=9-16=-7'

【题目点拨】

突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用而而表

示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷.

14、2x-y-2-0

【解题分析】

求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程.

【题目详解】

M：V/（x）=（x2+x）lnx,

f（x）=（2x+l）lnx+（x2+%）.J,=（2x+l）lnx+x+l,

则/⑴=2,

又/（1）=0,即切点坐标为（1,o）,

则函数在点（1,犬1））处的切线方程为y=2（x-l）,

即2x—y—2=0,

故答案为：2x-y-2=0.

【题目点拨】

本题主要考查导数的几何意义，根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键.

15、2或4

【解题分析】

试题分析：由COSA=《3,则可运用同角三角函数的平方关系：sinA=、F=L

已知两边及其对角，求角C.用正弦定理；a=cC=60°或120°，

sinAsinC'a22

贝！I；A=30°,C=60°或120°,B=90°或30°,可得8=2或4.

考点：运用正弦定理解三角形.（注意多解的情况判断）

16、2>-3

【解题分析】

利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得/I的取

值范围。

【题目详解】

由log』(4'T+2-2')<()得4川+九2，>1,两边同除以2,，得到，2>-i--4-2\

22

;x>0,设，=2">1,.,.九>；-4，，由函数y=；-4f在(1,+8)上递减，

所以！—4/<1一4=一3,故实数2的取值范围是2»-3。

t

【题目点拨】

本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析(2)2

2

【解题分析】

(1)第(1)问，连AG交PO于H,连接证明G产〃HC,即证GF//平面PDC.(2)第(2)问，主要是利用体积

变换，VG_PCD=VF-PCD=Vp_cDFgpExS/，求得三棱锥G—PCD的体积.

【题目详解】

(1)方法一：连AG交PD于“，连接C”.

由梯形ABCD,48||。。且48=2。。，知——=-

FC1

AG2

又E为AO的中点，G为的重心，.,•/=；

GH1

AGAF2

在AA//C中，——=——=一，故G/〃HC.

GHFC1

又HC=平面PCD,GFa平面PCO,，GR//平面POC.

方法二：过G作GN||交PD于N,过F作FM||AD交CD于M,连接MN,

G为△PAD的重心，®~=世=<：小*ED上耳

DEPE333

CD_1.CF_1

又ABCD为梯形，AB||CD,

"=L,：.MF6,:.GN=FM.

AD33

又由所作GN||AD,FM||AD,得GN〃FM,所以GNMF为平行四边形.

因为GF||MN,GF<2平面PC。,MN=平面PC。,；.G/||平面PCD

（2）方法一:由平面PA。，平面ABC。，与AABZ）均为正三角形，E为AO的中点

APE±AD,BELAD,得PE_L平面ABC。，且P£=3

由⑴知《〃平面叨C,,次…%cisgpEx邑四

।2

又由梯形ABCD,AB||CD,且AB=2DC=2^，知DF=-BD=-6

33

又AABZ）为正三角形，得NCDF=ABD=60•S.=-xCDxDFxsinZBDC=—,

ArCnDFF22

得LCDFJxPExS&CDF=—

r-32

二三棱锥G-PCD的体积为B.

2

方法二：由平面PAD_L平面ABC。，A/%£）与AABD均为正三角形，E为AD的中点

APE±AD,BELAD,得PE_L平面ABC。，且P£=3

22221

由PG=—PE,/.VG_PCD=—VE，PCD~=§x§xPExS^CDE

而又AARD为正三角形，得NEDC=120,得5“标=LxCOxDExsinNEDC=地.

.,z_210c.e_21q3后一百

,,Vp-CDF=鼻义PE义S&CDF=aX.x3x—=彳，

...三棱锥G-PCD的体积为—•

2

18、(1)y(2)匕(4+与)=-1

【解题分析】

(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点，由此求得C,结合椭圆离心率求得4,进而求得〃，从而求得椭圆C的标准

方程，求得椭圆上顶点的坐标，由此求得直线/的方程.联立直线/的方程和椭圆方程，求得两点的纵坐标，由此

求得AMON的面积.

(2)求得A8两点的坐标，设出直线MN的方程，联立直线MN的方程和椭圆方程，写出韦达定理，由此求得占

的值，根据M在椭圆上求得勺a3的值，由此求得与(4+&)的值.

【题目详解】

(1)因为抛物线4氐的焦点坐标为(6,0),所以椭圆C的右焦点

的坐标为(6,0),所以c=JJ，

因为椭圆。的离心率为也，所以£=立，解得。=2,

2a2

所以〃=/一。2=1,

2

故椭圆C的标准方程为—+/=1.

4-

x+y—1=0

其上顶点为(01)，所以直线x+y—l=0,联立＜2二2j

x+4/=4

3

消去X整理得5y2-2＞一3=0,解得y=l,%=-《，

所以^MON的面积S1MON=SAMO£+SA/VOE+

(2)由题知，4-2,0),5(2,0),设N(X2，%).

由题还可知，直线MN的斜率不为0,故可设MN：x=/ny+l.

x=my+1

由，%2,消去x,得(加2+4)丁+2冲-3=0,

一+V=1

14•

2m

X+y2=一/+4

所以，

3

X.%="加2+4

所以心•&=7----子3----r=-------号2-----；——=一二，

-(西一2)(々一2)机飞旷2一加(X+%)+l4

2[

又因为点用在椭圆上，所以女「%=-^二=-7，

尤[4q

31

所以占优+&)=_7_[=_1.

【题目点拨】

本小题主要考查抛物线的焦点，椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆，三角形的面积等基础知识，考查推理论证

能力、运算求解能力，化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.

(近、

19、(1)y?=4x.(2)I0,--2-J

【解题分析】

(1)设A的坐标为A(xo,/)，由题意可得圆心C的坐标，求出C到直线x=l的距离.由半个弦长，圆心到直线的

距离及半径构成直角三角形可得p的值，进而求出抛物线的方程；

(2)将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进而求出中点G的坐标，再求出直线OG的斜率的表达式，换

元可得斜率的取值范围.

【题目详解】

(1)设A(xo,jo)且yt)2=2pxo,则圆心C(X°+),

圆C的直径|A8|=他-2)2+%2，

圆心C到直线x=l的距离d=|士工一1|=|员|,

22

2

E、，…，MN、，.lAfil、,nrX-(X一2)2+VA2，

2n2

因为|MN|=2,所以(----)+</-=(J——L)2,即1+_O_=L-O----------------巫，yo=2pxo,

2244

整理可得(2p-4)xo=O,所以p=2,

所以抛物线的方程为：y2=4x；

y~=2px

(2)联立抛物线与圆的方程「；2整理可得炉-2(5-p)x+16=0,△>0,

.(x-5)-+y-=9

设尸（Xl,Jl）,Q（X2»J2）,则X|+X2=2（5-p）,X1X2=16,

所以中点G的横坐标XG=5-0,yG=I2；-（•Jxj'+\[x^）=或P-P,，

所以ICOG=』9P—P__（O<P<1）,

5-p

令t=5-p（4,5））,贝!i痴=+1一i（1<!<1）,

Vt2Vt2t5t4

解得OVkoG〈显,

2

所以直线OG斜率的取值范围（0,一）.

2

【题目点拨】

本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，换元方法的应用，属于中档题.

9

20、（1）乙同学正确；（2）—.

20

【解题分析】

（1）根据变量x，y且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点（工亍），判断出乙正确.

（2）由线性回归方程得到的估计数据，计算出误差，求得“理想数据”的个数，由此利用古典概型概率计算公式，求得

所求概率.

【题目详解】

（1）已知变量大，）'具有线性负相关关系，故甲不正确，

1=6.5,3=79,代入两个回归方程，验证乙同学正确，

故回归方程为：y=-4x+105

（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表:

X456789

y898382797467

y898581777369

kd021212

由上表可知，“理想数据”的个数为3.

用列举法可知，从6个不同数据里抽出3个不同数据的方法有20种.

从符合条件的3个不同数据中抽出2个，还要在不符合条件的3个不同数据中抽出1个的方法有3x3=9种.

9

故所求概率为P=二

20

【题目点拨】

本小题主要考查回归直线方程的判断，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于中档题.

COS7,/S

21、(I)｛X-2。.c0,2x+y-6=0；(II)最大值为32,最小值为处.

y=3sin”，55

【解题分析】