整式的乘法与因式分解能力练习题

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

专题一幕的性质

1.12012•湛江】以下运算中，正确的选项是()

22)214

A.3a—a=2B.(”2)3=〃9c.cr,»c^=aD.(2a)=2a

2.12012•泰州】以下计算正确的选项是()

A.x3-x2=2xbB.x4-x2=xs

2?32

C.(―x)——X6D.(x)=X，

3.【2012•衢州】以下计算正确的选项是()

A.2a2+a2=3a4B.a('-ra2=a3C.«6-a2=a12D.(-«6)2=a12

专题二募的性质的逆用

4.假设2a=3,2b=4,那么23a+2b等于()

A.7B.12C.432D.108

5.假设2m=5,2"=3,求23m+2"的值.

6.计算：(1)(-0.125)2014X(-2)2014X(-4)2015；

⑵(_j2015义8「《＞7

专题三整式的乘法

7.以下运算中正确的选项是()

A.3a+2a=5a2B.(2a+b)(a-b)=2a2-ab-b2

C.2a2-a3=2a6D.(2a+b)2=4a2+b2

8.假设(3/-2r+l)(x+b)中不含x2项，求b的值，并求(3/-2x+l〕(x+b)的值.

9.先阅读，再填空解题：

(x+5)(x+6)=/+llx+30；

(x—5)(x-6)=/—llx+30；

(x—5)5+6)=x2+x—30；

(x+5)(x—6)==/—x—30.

(1)观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：.

(2)根据以上的规律，用公式表示出来：.

⑶根据规律，直接写出以下各式的结果：(a+99)(a—100)=；〔y—80)(y-81)=

专题四整式的除法

10.计算：(3出厂183)2+/),):(―6/y)=.

711

11.计算：(―a%7——/户)+(——帅)32

393

12.计算：(“一〃)3+{h-a]2+(—a—h]5-?(a+b)4.

状元笔记

【知识要点】

1.累的性质

(1)同底数塞的乘法：a"'-a"^a",+n(m,〃都是正整数)，即同底数基相乘，底数不变，指数相加.

(2)事的乘方：("")"="都是正整数)，即基的乘方，底数不变，指数相乘.

(3)积的乘方：(ab)"=/"'(〃都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把

所得的基相乘.

2.整式的乘法

(1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数暴分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，

那么连同它的指数作为积的一个因式.

(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加.

(3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

3.整式的除法

(1)同底数幕相除：〃都是正整数，并且加＞〃)，即同底数幕相除，底数不变，指

数相减.

(2)。°=1(“#0),即任何不等于0的数的0次嘉都等于1.

（3）单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数暴分别相除作为商的因式，对于只在被除式里

含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.

（4）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

【温馨提示】

1.同底数事乘法法那么与合并同类项法那么相混淆.同底数塞相乘，应是“底数不变，指数相加”；而

合并同类项法那么是“系数相加，字母及字母的指数不变”.

2.同底数基相乘与幕的乘方相混淆.同底数球相乘，应是“底数不变，指数相加”；募的乘方，应是“底

数不变，指数相乘”.

3.运用同底数塞的乘法（除法）法那么时，必须化成同底数的塞后才能运用上述法那么进行计算.

4.在单项式（多项式）除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以

看成系数的符号来参与运算.

【方法技巧】

1.在塞的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式.

2.单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否那么容易造成漏项或增

项的错误.

3.单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项.

参考答案：

1.C解析：A中，3a2与一〃是同类项，可以合并，3a2—a2=2a2,故A错误；B中，32）3=.2乂3=°6,

故B错误；C中，&3.“6=43+6=/,故C正确；D中，（24）2=22（“2/2=4/,故口错误.应选C.

2.C解析：/.%2=%2+3=%5,选项人错误；/.%2=炉+4=%6,选项B错误；）3=_铲3=_%6,

选项C正确；C?）2=%2'3=》6,选项D错误.应选C.

3.D解析：A中，2a2+4=3。2,故A错误；B中，a6-i-a2—a4,故B错误；C中，a6a1=a's

故C错误.应选D.

4.C解析：23a+2b=23ax22b=(2^)3X(2与2=33X42=432.应选C.

5.解：23mt2n=23m•22n=(2m)3•(2n)2=53•3』125.

6.解：(1)原式=(0.125X2X4严Mx(—4)=12。14*(-4)=-4.

(2)原式=(—>2015X9234=(1.X9)2014X(-

9999

7.B解析：A中，由合并同类项的法那么可得3a+2a=5a,故A错误；B中，由多项式与多项式相乘

的法那么可得(2a+b)(。-6)=2。2一2出?+出?一方2=2。2—。〃一〃，故B正确；C中，由单项式与单项式

相乘的法那么可得2片/3=2/+3=2炉，故C错误；D中，由多项式与多项式相乘的法那么可得

(2a+b)2=4a2+4ab+b2,故D错误.综上所述，选B.

8.解：原式=3x?+(3b—2)x2+(—2b+l)x+b,

•・•不含x2项，

2

**•3b—2=0,得b--.

3

2

/.(3x2—2x+l)(x+—)

3

42

=3x3—2x2+x+2x2——x+—

33

一12

=3x°——x+—.

33

9.解：(1〕观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是：

一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；

(2)根据以上的规律，用公式表示出来：(a+b)(a+c)=a2+(b+c)a+bc；

(3)根据(2)中得出的公式得：(a+99)(a—100)=a2-a-9900；(y—80)(y—81)=y2-161y+6480.

10.——x+3y——解析：(3x3y—18x2y2+x2y):(—6x2y)=(3x3y):(—6x2y)—18x2y24-(—6x2y)

26

+x2yH-(—6x2y)=-；x+3y-

11.解：原式

=(2__L/网,*

399

2b2b

=^ab--abJa2b6

3999

=6a2h—lo

12.解：(a-b)3：(b—a)2+(—a—b)5^-(a+b)4,

=(a-b)3：(a—b)2—(a+b)54-(a+b)4,

=(a—b)—(a+b),

=a-b—a-b,

=­2b.

14.2乘法公式

专题一乘法公式

1.以下各式中运算错误的选项是(

A.a2+h2=(a+h)2—2ahB.(a—h)2=(a+b)2—4ab

C.(a+b)(-a+b)=~a2+b2D.(«+/7)(-a-/?)=­—Z>2

2.代数式(x+l)(x—l)(f+l)的计算结果正确的选项是()

A.x4-lB.%4+lC.(x-1)4D.(x+l)4

3.计算：(2x+y)(2x-y)+(x+>')2-2(2?~xy)(其中x=2,y=3)

专题二乘法公式的几何背景

4.请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式,

这个公式是()

ka*k。川

A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a—b)2=a2—2ab+b2D.(a+b)2=a2+ab+b2

5.如图，你能根据面积关系得到的数学公式是()

A.a2—b2=(a+b)(a—b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2—2ab+b2D.a(a+b)=a2+ab

6.我们在学习完全平方公式（a+b）2=M+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成

立.在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致

画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？

状元笔记

【知识要点】

1.平方差公式

（a+b）（a-b）=a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

2.完全平方公式

（a±b）2=a2±2ab+b2,两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.

【温馨提示】

1.不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同.

2.完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点.

【方法技巧】

1.公式中的字母4、6可以是具体的数，也可以是单项式、多项式.只要符合公式的结构特征，就可以

利用公式.

2.有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解.如：位置变化,

符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等.

参考答案：

1.D解析：A中，由完全平方公式可得(a+〃)2—24b=a2+2ab+〃-2“6=。2+〃，故A正确；B中，由完

全平方公式可得(〃一人尸二〃?一2。匕+〃，(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2—2ab+h2,故B正确；C中，由

平方差公式可得(a+6)(—4+b)=(“+〃)(b—a)=t>2—a2=-a'+b?,故C正确；D中，(a+b)(~a—b)=—(a+b)2=

一岸一2ab-B,故D错误.

2.A解析：原式=(x2-l)(/+l)=(x2)2—l=x4-l.

3.解：j^；=4x2—y2+x2+2xy+y2—4x2+2xy=x2+4xy,

当x=2,y=3时，原式=22+4X2X3=4+24=28.

4.B解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各局部的面积的和为a2+2ab+b2；所以得到公式(a+b)

2=a2+2ab+b2.应选B.

5.C解析：从图中可知：阴影局部的面积是(a—b)2和b2,剩余的矩形面积是(a-b)b和(a-b)

b,即大阴影局部的面积是(a-b)2,/.(a-b)2=a2-2ab+b2,应选C.

6.解：(a+b+c)2的几何背景如图，整体的面积为：(a+b+c)2,用各局部的面积之和表示为：(a+b+c)

2=a2+b:+c2+2ab+2ac+2bc,所以(a+b+c)2=a?+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

ab

14.3因式分解

专题一因式分解

1.12012•西宁】以下分解因式正确的选项是()

A.3x2_6x=x(x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)

C.4x2—y2=(4x—y)(4x+y)D.4x2—2xy+y2=(2x—y)2

2.12012•广元】分解因式：3m3—18m2n+27mn2=.

3.分解因式：(2a+b>-8ab=.

专题二在实数范围内分解因式

4.在实数范围内因式分解x4—4=.

5.把以下各式因式分解(在实数范围内)

(1)3x2—16；(2)x4-10x2+25.

6.在实数范围内分解因式:

(1)X3—2x；(2)x4-6x2+9.

专题三因式分解的应用

7.如果m—n=~~5,mn=6,那么nfn—mn?的值是()

A.30B.-30C.11D.-11

8.利用因式分解计算32x20.13+5.4x201.3+0.14x2013=

9.在以下三个不为零的式子：X2—4x,X2+2X,X?—4x+4中，

(1)请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；

(2)请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集.

状元笔记

【知识要点】

1.因式分解

我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做

把这个多项式分解因式.

2.因式分解的方法

(1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与

另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法.

(2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式

分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.

(3)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b),两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.

(4)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2,两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两

个数的和(或差)的平方.

【温馨提示】

1.分解因式的对象必须是多项式，如把5a2〃c分解成5。々0c就不是分解因式，因为5。2人。不是多项式.

2.分解因式的结果必须是积的形式，如/+%一1=双》+1)-1就不是分解因式，因为结果Mx+D-l

不是积的形式.

【方法技巧】

1.假设首项系数为负时，一般要提出“一”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各

项都应变号，如一/+2x=-x(x-2).

2.有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合

公式的特点.

参考答案：

1