广东省深圳市罗湖区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案及解析）

2022.2023学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期中数学

试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题

目的一项）

1.三角形的三边长分别为。、b,c,则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形

的是（）

A.a=3,b=4,c=5B.a=8,b=15,c=17

C.a=5b=12,c=13D.a=12,b=15c=18

2.不等式3+2%<l的解集在数轴上表示正确的是（）

3.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.15盯=3x・5yB.2x2+2xy=2x(x+y)

C炉+1+5=%(%+1)+5D.%?+2x+3=(x+1)+2

4.在下列不等式组中，无解的是（）

x>lx>lx<lx<l

A<B,<D.

x>2x<2x<2x>2

5.在下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（)

D.

x+53x4-2生

6.下面是小明解不等式三一-1<------的过程:

2

解：去分母，得X+5—1<3%+2…①

移项，得x—3x<2—5+1…②

合并同类项，得-2xv-2…③

两边同时除以—2,得尤<1…④

小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是（）

A.①②B.①③C.①④D.②④

7.如图，在_48。和_£^4。中，ZC=ZD=90°.在以下条件：@AC=BD;②

AD=BC-,③ZflAC=ZABD；④ZABC=ZBAD；⑤NG4£）=。中，再选一

个条件，就能使ZVIBC也△B4。，共有（）选择.

A.2种B.3种C.4种D.5种

8.如图，一次函数丁=履+6化。0）的图象分别与x轴、y轴相交4（3,0）、点3（0,2）,

C.当x<0时，y>2D.当x=4时，y>0

9.若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（）

A.15°B.75°C.15。或75°D.无法确

定

10.如图，在矩形A3CD中，AB=2,BC=4,点E为边上的动点，将.A3E沿

AE折叠到A4FE,则在点E的运动过程中，C厂的最小值是（）

A.275-2B.2垂）-3C.26-4D.无法确

定

第n卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.分解因式：xy—x=.

12.不等式2x—3<11的解集是.

13.如图，在RtzXABC中，AB的垂直平分线分别交A3、AC于。点、£点，已知

AC=8,BC=4,则EC=.

A

CB

14.某商品每件进价100元，每件标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润

率不能低于20%,则这种商品最多可以打折.

15.如图，函数y=mr（7〃w0）和丁=米+6亿。0）的图象相交于点A。,”），则关于x的

不等式“<Ax+〃的解集是.

16.如图，在ABC中，AB=6cm,AC=4cm,BD平分NABC，且AD〃3C,

ZACB的外角平分线交AD于点E,则DE的长是.

17.如图，将RtZXABC沿射线的方向平移得到分产，连接A。、CD,已知

AB=2,BC=4,在平移过程中，若入位）。为等腰三角形，则平移的距离可以是

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤）

18.解不等式（组），并把（2）的解集在数轴上表示出来.

2x3%-1

(1)------<1；

32

4%-6<

-5-4-3-2-1012345

19.学校准备用2000元购买名著和词典作为艺术节奖品，其中名著每套65元，词典每本

40元，现已购买名著20套，问最多还能买词典多少本?

20.如图，为等边三角形，点。为边上一点，先将三角板60°角的顶点与。点

重合，平放三角板，再绕点。转动三角板，三角板60°角的两边分别与边A3、AC交于

点E、点R当£见=£＞尸时，如图（2）所示.求证：4BDE%MFD.

图⑴

图（2）

21.如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为4（-5,-2）、3（TT）、

C（-2,-l）.

（1）将一ABC先向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到△A^iG，请在原直角

坐标系中画出△4片£,并写出A、B］、G的坐标；

（2）若与△4与£关于原点。成中心对称，请写出4、B2、。2的坐标，并在

原直角坐标系中画出△AB2C2.

22.学校开展篮球社团活动，需要购买若干个篮球，现从两家商场了解到同种篮球的标价

均为100元/个，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：前20个篮球按原价收

费，其余优惠20%；乙商场的优惠条件是：全部打九折.

（1）设学校需要购买尤个篮球，选择甲商场时，所需费用为％元，选择乙商场时，所需

费用为为元，请分别写出/、为与x之间的关系式；

（2）若学校需要购买篮球数超过20个，选择到哪家商场购买，所需费用较少？

23.如图（1）,点C、点。在直线4上，点A、点2在直线。上，且《〃心连接AC、

（1）请在图（1）中，找出三对面积相等的三角形：；

（2）利用（1）中的结论解决下面两个问题：

①将图（1）中的，A5C、△A3。进行以下操作：

第一步，分别复制JRC、△A3。，粘贴，如图（2）所示的.4与。、VAB2D.

第二步，先将图（2）中的4片。、VA层。的顶点C、。重合，再将丫4层。绕点C

旋转到如图（3）所示位置.

若直线人与与4用相交于点E,连接CE.求证：CE平分NAE4.

②如图（4）,折线型小路尸-M-。，将四边形A3CD苗圃分成甲、乙两块，为了方便管

理，要将折线型小路P-M-Q改为经过点尸直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生

改变.请你在图（4）中画出直线型小路PN（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作

图的关键步骤）.

24.如图（1）,已知C4=CB,CD=CE,且NACB=NOCE,将△£＞色绕C点旋转

（A、C、O三点在同一直线上除外）.

（1）求证：AACDdBCE；

（2）在△£>“绕C点旋转过程中，若E。、AB所在的直线交于点孔当点P为边

AB的中点时，如图2所示.求证：ZADF=ZBEF（提示：利用类倍长中线方法添加

辅助线）；

（3）在（2）的条件下，求证：ADLCD.

25.【问题背景】

在图（1）中，①〜③的三个三角形，各自是由；ABC通过怎样的全等变换得到的？

【问题探究】

（1）我们发现：

I：图（1）中，①号三角形能由ABC通过一次轴对称得到，请在图（1）中画出对称

轴.

II：图（1）中，②号三角形能由一ABC通过一次平移得到，则平移的距离为一单位.

III：图（1）中，③号三角形能由一ABC通过先平移再旋转或先旋转再平移得到，请问：

③号三角形能否由绕某个点，旋转一次得到？为解决这个问题，我们可以先解决两

条相等的线段能否看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到.分析过程如下：

已知线段AB与线段CD相等，分两种情况讨论：

第一种情况：当AB与CD对应时，如图（2）,分别作AC与的中垂线交于点。1,连

接。lA、00、0[B、O{D.

在AC中垂线上

O,A=O1C

同理，OiB=OQ

又；AB=CD

.ABO]空CDO]（SSS）

NAO/=NC0[D

：.NA。。=NBOQ,即对应点与点O1形成的夹角相等

线段CD可以看成由线段AB绕点。1旋转一次得到

第二种情况：当A3与。C对应时，如图(3),同理可证.

综上所述：两条相等的线段可以看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到.

【问题解决】

(2)如图(4),已知△ABC且△£＞口(且满足不能由二ABC通过平移得

到).现在来解决四户能由绕某个点通过一次旋转得到的问题：

①通过尺规作图找到旋转中心。；

②证明：/能由绕点。通过一次旋转得到.(提示：只要证明关键的对应点到

点。的距离相等和关键的对应点与点。形成的夹角相等)

2022-2023学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期中数学

试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题

目的一项）

1.三角形的三边长分别为4、6、C,则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形

的是（）

A.«=3,6=4,c—5B.a=8,b=15,c=17

C.<7=5,Z?=12,c=13D.a=12,b-15>c=18

【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理进行判断即可得到答案.

【详解】A.•.•32+42=52，是直角三角形；

B.V82+152=172，ABC直角三角形；

c.：52+122=132,是直角三角形；

D.V122+152^182.AABC不是直角三角形;

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角

形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较

最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形..

2.不等式3+2x<l的解集在数轴上表示正确的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式得到x<-l,根据数轴表示数的方法得到解集在T的左边.

【详解】解：3+2x<l,

移项得：2x<-2,

系数化为1,得：x<-l.

故选：A.

【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式的解集，然后根据数轴表

示数的方法把对应的未知数的取值范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等

时用空心.

3.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.15孙=3x-5yB.2x2+2xy=2x(x+y)

C.f+x+5=x(x+l)+5D.x2+2x+3=(x+l)2+2

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案.

【详解】解：A、15孙=3x-5y,不是因式分解，故A错误；

B、2x2+2xy=2x(x+y),是因式分解，故B正确；

C、X2+X+5=X(X+1)+5,不是因式分解，故C错误；

D、x2+2x+3=(x+iy+2,不是因式分解，故D错误；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了因式分解，正确掌握因式分解的定义是解题关键.

4.在下列不等式组中，无解的是()

X>1X>1X<1X<1

A.<B.<C.<D,<

x>2x<2x<2x>2

【答案】D

【解析】

【分析】根据确定不等式组的解集的方法逐项作出判断即可.

%>1

【详解】解：A1°的解集为x>2,不合题意；

x>2

x>l

B.\"解集为l<x<2,不符合题意;

x<2

x<l

C.\°的解集为尤<1,不合题意；

x<2

x<l

D.〈〜无解，符合题意；

x>2

故选：D.

【点睛】本题考查了确定不等式组解集的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大

小小大中间找，大大小小无解了”求解.

5.在下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

D.

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A.此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形;

B.此图形既是轴对称图形又是中心对称图形;

C.此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形;

D.此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形.

故选：B.

【点睛】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两

部分重合.

x+5,3x+2

6.下面是小明解不等式---------1<--------的过程:

22

解：去分母，得x+5—1<3]+2…①

移项，得x—3x<2—5+1…②

合并同类项，得-2x<-2…③

两边同时除以一2,得尤<1…④

小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是（）

A.①②B.①③C.①④D.②④

【答案】C

【解析】

【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化

为1逐一判断即可.

【详解】解：小明的计算步骤①中，常数-1没有乘以2,此步骤错误;

步骤④中，两边同时除以-2,不等号的方向没有改变，此步骤错误;

综上分析可知，出错的步骤是①④.

故选：c.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，特别要注意系数化为1时，系数是负数的，不等

号要改变方向.

7.如图，在.ABC和.84。中，ZC=ZD=90°.在以下条件：①②

AD=BC-,③ZBAC=ZABD；@ZABC=ZBAD；⑤NG4D=NO6C中，再选一

个条件，就能使共有（）选择.

A.2种B.3种C.4种D.5种

【答案】C

【解析】

【分析】先得到NC=ND=90°,若添加AC=5D,则可根据“HL”判断

△ABC^Z\BAD；若添加BC=的，则可根据“HL”判断△ABCmABAD；于是

AC=BD,然后利用前面的结论可得到6cg△5LAD；若添加Q4=OB,则

ZABC=ZBAD,于是可利用“AAS”判断ZVlBC之△B4。；若添加ZBAC=ZABD,

则可直接利用“AAS”判断△A5C之△B4O.

【详解】解：：ADJ.BD,：.ZC=ZD=90°,

在Rt/XABC和RtBAD中，

AC=BD

AB=BA'

ARt^ABCRt_BAZ）（HL）,所以（1）正确；

•/AC.LBC,ADJ.BD,

：.ZC=ZD=90°,

在RtAABC和RtiBAD中，

AC=BD

AB=BA'

RteABCgRtR4D（HL）,所以（2）正确；

OA=OB,

Z.ZABC=ZBAD,

在_ABC和中,

NC=ND

<ZABC=ZBAD,

AB=BA

.-.VABC^VBAD(AAS),所以(4)正确;

在_48。和4胡。中，

ZC=ND

<ABAC=ZABD,

AB=BA

；.VABC丝VBAD（AAS）,所以（3）正确；

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

8.如图，一次函数丁=去+6（左。0）的图象分别与x轴、y轴相交4（3,0）、点3（0,2）,

则下列说法不正确的是（）

B.当x>0时，y<2

C.当为<0时，y>2D.当X=4时，y>0

【答案】D

【解析】

【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系对各小题分析判断即可得

解.

【详解】解：由图象得：关于X的方程立+6=0的解为x=3,

当x>3时，y<0,

当x>o时，y<2,

当％<0时，y>2,

当x=4时，y<0,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形

结合是求解的关键.

9.若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（）

A.15°B.75°C.15。或75°D.无法确

定

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，先画出相应的图形，然后根据等腰三角形的性质和含30°角的直角三角

形的性质，即可得到等腰三角形底角的度数.

【详解】解：作于点。，如图：

2

：.ZA=30°,

：.ZB=ZACB=75°；

作交C4延长线于点，如图:

2

/.ZDAB=30°,

：.ZBAC=150°,

：.ZABC=ZC=15°；

故选：C.

【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出

相应的图形，利用数形结合的思想解答.

10.如图，在矩形A3CD中，AB=2,3c=4,点E为边上的动点，将二ABE沿

AE折叠到ZWE，则在点E的运动过程中，C下的最小值是（）

A.275-2B.245-3C.26-4D.无法确

定

【答案】A

【解析】

【分析】先判断出EblAC时，。尸最小，最后用勾股定理即可得出结论.

【详解】解：如图，由折叠知，ZAFE=ZB=90°,EF=BE,

当时，C/最小，

即NCFE=90。,

'：ZAFE=90°,

：.ZAFE+ZCFE=180°,

...点A,F,C在同一条直线上时，CF最小,

由折叠知，AF=AB=2,

在RtZVLBC中，AB=2,BC=AD=4,

AC=VAB2+BC2=2A/5，

；•CF=AC-AF=2小-2.

故选：A.

【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记折叠的性质是解题的关键.

第II卷(非选择题)

二、填空题(本大题共7小题，共28.0分)

n.分解因式：盯一x=.

【答案】x(y—1)

【解析】

【详解】试题解析：xy—x=x(y~1)

12.不等式2x—3<11的解集是

【答案】x<7

【解析】

【分析】解不等式即可求解.

【详解】解:2x-3<ll,

2无<14,

XV】.

故答案为：XV7.

【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的解题步骤是解题关键.

13.如图，在RtZXABC中，A3的垂直平分线分别交A3、AC于。点、E点，已知

AC=S,BC=4,则EC=.

【答案】3

【解析】

【分析】由OE是线段A3的垂直平分线，得到AE=5E,设AE=BE=x,则

CE=AC-AE=8-x,在_3。£中利用勾股定理求解即可.

【详解】连接3E,如图：

1

CB

VOE是线段A3的垂直平分线，

•••AE=BE,

设AE=5E=x,则CE=AC—AE=8—x,

,/ZC=90°,

•••BE2=BC2+CE2，

x2=42+（8-x）一,

解得x=5,

AE=5,

EC=AC-AE=S-5=3.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌

握线段垂直平分线的性质.

14.某商品每件进价100元，每件标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润

率不能低于20%,则这种商品最多可以打折.

【答案】8

【解析】

【分析】设这种商品打x折，利用利润=售价-进价，结合利润率不低于20%,可得出关于

x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.

【详解】解：设这种商品打X折，

Y

根据题意得：150x——100>100x20%,

10

解得：%>8,

••.X的最小值为8,

•••这种商品最多可以打8折.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不

等式是解题的关键.

15.如图，函数丁=尔（帆/0）和丁=米+。（左。0）的图象相交于点4（1,〃），则关于％的

不等式初x<Ax+b的解集是.

【答案】x<l

【解析】

【分析】写出直线y=7”（mw0）在直线丁=区+5（左。0）下方部分的x的取值范围即

可.

【详解】解：由图可知，不等式如<依+人的解集为X<1;

故答案为：X<1.

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是

解题的关键.

16.如图，在ABC中，AB=6cm,AC=4cm,BD平分NABC,且AT>〃3C,

ZACB的外角平分线交AD于点E,则DE的长是.

【答案】2cm

【解析】

【分析】根据角平分线的性质可得NAB£>=N8DC,根据平行线的性质可得

ZADB=ZBDC,NAEC=NECF,推得NABD=NADB,根据等角对等边可得

AB=AD=6cm,根据角平分线的性质可得NACE=NECF\推得NACE=NA£C,

根据等角对等边可得AE=AC=4cm,即可求得.

【详解】；BD平分NABC,

:.ZABD=NBDC,

•：AD//BC,

：.ZADB=ZBDC,ZAEC=/ECF,

：.ZABD=ZADB，

AB=AD=6cm,

是/ACF的角平分线，，

/.ZACE=ZECF,

：.ZACE^ZAEC,

AE=AC=4cm,

DE=AD-AE=2cm.

故答案为：2cm.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握平行线的性

质是解题的关键.

17.如图，将RtZiABC沿射线的方向平移得到处户，连接A。、CD,已知

AB=2,BC=4,在平移过程中，若入位）。为等腰三角形，则平移的距离可以是

5L

【答案】5或2指或8

【解析】

【分析】分如图1所示，当AD=CD时，如图2所示，当AC=AZ）时，如图3所示，当

AC=8时，三种情况利用平移的性质讨论求解即可.

【详解】解：如图1所示，当AT>=CD时，

设AD=CD=x,

由平移的性质可得OE=AB=2,AD=BE=CD=x,则CE=BC—3E=4—x,

在RtADEC中，由勾股定理得CD2=DE2+CE~，

.空=22+（4-X）2,

解得x=一

2

图1

如图2所示，当AC=AD时，

在中，由勾股定理得=2遍,

•••AD=AC=275，

平移距离为2百；

图2

如图3所示，当AC=CD时，

:NABC=NDEC=90°,AB=DE,

：.RtAABC^RtADEC（HL）,

：.CE=BC=4,

**.BE=8,

，平移距离为8；

综上所述，平移距离为|■或2百或8.

【点睛】本题

图3

主要考查了平移的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定等等，

利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤）

18.解不等式（组），并把（2）的解集在数轴上表示出来.

2%3x-l

(I)-------------S1；

32

4%-6<3(x-l)

(2)<5%c、12•

----1-3>1+—%

[33

iiiiii।

-5-4-3-2-I0I2345

3

【答案】(I)——

（2）-2<x<3；见解析

【解析】

【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，将X系数化为1,求出解集即可；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，表示在数轴上即可.

【小问1详解】

2x3x-l

----------S1

32

解：4x—3（3x-1）W6,

4x-9x+3<6,

4x-9x<6-3,

—5xW3,

、3

栏——

5

【小问2详解】

4x-6<3（x-l）

<5x°，2

---1-3>1+—%

I33

解第一个不等式得：x<3,

解第二个不等式得：%>-2.

故不等式组的解集为：-24尤<3,

在数轴上表示出来为：

—I——।——।1।1।।1~।——L->

-5-4-3-2-1012345

【点睛】此题考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式（组）的解法是解本题的关

键.

19.学校准备用2000元购买名著和词典作为艺术节奖品，其中名著每套65元，词典每本

40元，现已购买名著20套，问最多还能买词典多少本？

【答案】最多买17本.

【解析】

【分析】设还能买词典x本，根据名著的总价+词典的总价K000,列不等式，解出即可，

并根据实际意义写出答案.

【详解】解：设还能买词典x本，

根据题意得：20X65+40X《2000,

40.r<700,

,r<17.5,

答：最多还能买词典17本.

【点睛】题目主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题关键.

20.如图，为等边三角形，点、D为BC边上一点,先将三角板60°角的顶点与。点

重合，平放三角板，再绕点。转动三角板，三角板60°角的两边分别与边A3、AC交于

点E、点、F,当［史=。尸时，如图(2)所示.求证：ABDE^ZXCFD.

图⑴

图(2)

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据等边三角形的性质可得N3=NC=60。，根据三角形的外角性质可推得

ZBDE=ZCFD,根据全等三角形的判定即可证明.

【详解】证明：•.二A5C为等边三角形，

ZB=ZC=60°,

,：ZBDF=ZCFD+ZC,ZEDF=6Q°,

：.ZBDE=ZCFD,

在和△CTO中，

NB=NC

<ZBDE=ZCFD,

DE=DF

：.iBDE^CFD(AAS).

【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定等，熟练掌握全等三角形的基本模

型：一线三等角是解题的关键.

21.如图，在平面直角坐标系中，,ABC的三个顶点的坐标分别为4(-5,-2)、3(一,一)、

C(-2,-l).

n__r_n-_-

-I---------1—I---------1—

III

Illi

J_L_J_

_--

—

_—

Illi

____

r-

n_n-Illi

I-I---------1—I---------1—

I__I-_

LIlli

JJ

__-

—

___—_

r

「

_「--

I

II

I—I

6j____

।—।—।—।

R：

(1)将一ABC先向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到请在原直角

坐标系中画出△A与G，并写出4、⑸、G的坐标；

(2)若△4星C2与4A旦G关于原点。成中心对称，请写出4、B2、。2的坐标，并在

原直角坐标系中画出△A刍G.

【答案】⑴见解析；4(-2,3),4(-M),q(i,4)

⑵见解析；4(2,—3),B2(l,-1),G(T，T)

【解析】

【分析】(1)根据平移的性质作图，即可得出答案.

(2)根据中心对称的性质作图，即可得出答案.

【小问1详解】

如图：△A4C即为所求,4(—2,3),4(—1,1),q(i,4)

-I—I-I—I-I

2【小问2详解】

V△a刍G与△A4G关于原点。成中心对称,

.-.A,(2,-3),B2(l,-1),G(TT)

如图：△4与C2即为所求

【点睛】本题考查作图一平移变换、中心对称，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答

本题的关键.

22.学校开展篮球社团活动，需要购买若干个篮球，现从两家商场了解到同种篮球的标价

均为100元/个，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：前20个篮球按原价收

费，其余优惠20%；乙商场的优惠条件是：全部打九折.

（1）设学校需要购买x个篮球，选择甲商场时，所需费用为％元，选择乙商场时，所需

费用为为元，请分别写出/、为与x之间的关系式;

（2）若学校需要购买篮球数超过20个，选择到哪家商场购买，所需费用较少？

_100x(0<%<20)

【答案】（1）%一%Ox+400(%>20)y2-9Qx

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据甲，乙商场的收费标准列出函数关系式即可;

（2）选择哪家商场购买就是比较y的大小，①当甲商场购买更优惠，可得X<%，解此不

等式，即可求得答案；②当乙商场购买更优惠，可得%>%,解此不等式，即可求得答案;

③当两家商场收费相同，可得％=%,解此方程，即可求得答案.

【小问1详解】

根据题意得：

甲商场的收费为：

当％<20时，%=100x；

当1>20时，％=100x20+100(x-20)x(l-20%)=80x+400；

100x(0<%<20)

%与X之间的关系式为力'80x+400(x>20)

乙商场的收费为：y2=100xx90%=90x；

，为与X之间的关系式为%=90x；

【小问2详解】

①当％<%时，即80%+400<90%，

解得：%>40

•••当x>40时，甲商场购买更优惠；

②当必〉为时，即80x+400>90x,

解得：x<40,

当x<40时，乙商场购买更优惠；

③当％=%时，即80x+400=90x,

解得：％=40,

...当％=40时，两家商场收费相同.

【点睛】此题考查了一次函数的实际应用问题以及不等式与方程的解法.此题难度适中，解

题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解.

23.如图（1）,点C、点。在直线4上，点A、点8在直线4上，且，i〃，2，连接AC、

（1）请在图（1）中，找出三对面积相等的三角形：；

（2）利用（1）中的结论解决下面两个问题：

①将图（1）中的，ABC、△A3。进行以下操作：

第一步，分别复制JRC、△ABD,粘贴，如图（2）所示的.4用。、VA,B2D.

第二步，先将图（2）中的.4片。、丫4层。的顶点C、。重合，再将丫人&。绕点C

旋转到如图（3）所示位置.

若直线4员与4月相交于点£，连接CE.求证：CE平分NAE4.

②如图（4）,折线型小路P-M-。，将四边形A3CD苗圃分成甲、乙两块，为了方便管

理，要将折线型小路P-M-Q改为经过点尸的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发

生改变.请你在图（4）中画出直线型小路尸N（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明

作图的关键步骤）.

【答案】（1）和ABC；.ACD和△BCD；△AQD和.3OC

（2）①见解析；②见解析

【解析】

【分析】（1）根据两条平行线之间的距离相等，即可可得出答案；

（2）①过点o分别作。G,44于G,DFL&B?于F,根据题意可知=&&，

4耳。的面积小人不。的面积，根据面积公式可得0G=OE,即可得出结论；

②连接尸。，过点M做尸。的平行线交于点N,则PN为所求的直路，根据两条平行线

之间的距离相等，可得—S、pNQ.

【小问1详解】

解：：（〃，2，

：.11、乙间的距离相等，

设乙、4间的距离为〃，

.的

S.AR2r——AB-h,*Sr\.\DLf=2—AB-h,.S/ILAiyrn=?—CD,h,»Svl,rr)=?—CD-h,

^/\ABC=S/^ABD，SACD=SBCD,

^AABC-^AAOB=S^ABD-^AAOB，

•,^AAOD=S&BOC，

故答案为：△ABD和，ABC；ACD和ABCD；△AOD和/OC.

【小问2详解】

①证明：过点。分别作少G，A4于G,。尸，&&于尸，如图：

根据题意可知A4=4与，4与。面积=丫44。的面积,

1.,4月。的面积=QA4,DG,丫4层。的面积=54巴・。厂,

.'.—44•DG=—A,B2-DF,

:.DG=DF,

•：DG±A4,DF±A,B2,

CE平分NAE4；

②解：步骤：连接尸。，过点M做PQ的平行线交BC于点N,则PN为所求的直路.

如图：

BNQC

证明：：尸。〃的V,

'四边形AB。尸-ZPMQ~~»四边形一凶PNQ，

甲、乙的面积前后不发生改变.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的面积公式，角平分线的判定，四边形的面

积，解题的关键是掌握两条平行线之间的距离相等，利用面积法求解.

24.如图（1）,已知C4=CB,CD=CE,且NACB=NOCE,将△£＞色绕C点旋转

（A、C、。三点在同一直线上除外）.

U）求证：AACD当ABCE；

（2）在ADCE绕C点旋转过程中，若ED、AB所在的直线交于点「当点尸为边

AB的中点时，如图2所示.求证：ZADF=ZBEF（提示：利用类倍长中线方法添加

辅助线）；

（3）在（2）的条件下，求证：AD±CD.

【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）见解析

【解析】

【分析】（1）等量代换可得NACD=N5CE,根据全等三角形的判定可得

△ACD^ABCE（SAS）；

（2）延长E尸到G,使得FG=ED,连接8G,根据全等三角形的判定和性质可得

AD=BG,ZADF=ZG，由（1）可知：AD=BE,推得3G=BE,根据等边对等

角可得Z.G=ZBEF,即可求得ZADF=ZBEF；

（3）根据等边对等角可得NCOE=NCED,推得/8石+/4。/=/仪3,根据由

（1）可知：ZADC=ZCEB,推得NCDE+NA£^=NADC,求得NADC=90°,

即可得到ADYCD.

【小问1详解】

VZACB=ZDCE,ZACB=ZACD+ZCDB,ZDCE=ZECB+ZCDB,

：.ZACD=NBCE,

在，AC。和qBCE中，

AC=BC

<ZACD=NBCE,

DC=EC

△ACD之△BCE（SAS）.

【小问2详解】

延长所到G,使得FG=FD,连接BG,如图：

为AB的中点,

：.AF=BF,

在△AIR和.BGF中,

AF=BF

<ZAFD=ZBFG,

DF=GF

：..ADF均BGF（SAS）,

:.AD=BG,ZADF^ZG,

由（1）可知：AD=BE,

：.BG=BE,

：.ZG=/BEF,

；•ZADF=ZBEF.

【小问3详解】

,:CD=CE,

：.NCDE=NCED,

：.NCDE+ZADF=ZCED+ZBEF=Z.CEB,

由（1）可知：ZADC=NCEB,

：.ZCDE+ZADF=ZADC,

•：ZCDE+ZADF+ZADC=