全称量词命题和存在量词命题的否定 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．例如，“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”，“空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定为“空集不是集合A={1,2,3}的真子集”.

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假。下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定.探究写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇函数；（3）它们与原命题在形式上有什么变化？上面三个命题都是全称量词命题，即具有的形式．其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题（3）的否定是“并非所有的也就是说，

从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题。一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“

”则它的否定为“并非"，也就是”.通常，用符号“”表示“p(x)不成立”.定义全称量词命题：它的否定：也就是，全称量词命题的否定是存在量词命题.对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：P29例3写出下列全称量词命题的否定（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上（3）对任意的个位数字不等于3（1）存在一个能被3整除的整数不是奇数（2）存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.（3）的个位数字等于3.P30探究写出下列命题的否定：（1）存在一个实数的绝对值是正数；（2）有些平行四边形是菱形；（3）它们与原命题在形式上有什么变化？这三个命题都是存在量词命题，即具有的形式．其中命题（1）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；命题（2）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；命题（3）的否定是“不存在也就是说，

从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为则它的否定为不存在使p(x)成立”，也就是定义存在量词命题：它的否定：也就是，存在量词命题的否定是全称量词命题.对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：P30例4写出下列存在量词命题的否定：（1）（2）有的三角形是等边三角形；（3）有一个偶数是素数.解:（1）（2）所有的三角形都不是等边三角形（3）任意一个偶数都不是素数P31例5写出下列命题的否定，并判断真假：（1）任意两个等边三角形都相似（2）（2）该命题的否定：解:（1）存在两个等边三角形，它们不相似（2）P31练习1.写出下列命题的否定（1）（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形（2）存在奇数的平方不是奇数（3）存在平行四边形不是中心对称图形解:（1）练习2.写出下列命题的否定（1）有些三角形是直角三角形（2）有些梯形是等腰梯形（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数解:（1）所有三角形都不是直角三角形（2）所有的梯形都不是等腰梯形（3）所有的实数的绝对值都是正数练习3.设命题p：∀x∈(-1，1)，|x|<1，则﹁p为(

)A.∃x∈(-1，1)，|x|<1

B.∃x∈(-1，1)，|x|≥1C.∀x∈(-1，1)，|x|≥1 D.∀x∉(-1，1)，|x|≥1【解析】选B.命题p是全称量词命题，其否定﹁p为∃x∈(-1，1)，|x|≥1.练习4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定.(1)有一个奇数不能被3整除.(2)∀x∈Z，与3的和不等于0.(3)有些三角形的三个内角都为60°.(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.解答(1)有一个奇数不能被3整除.

是存在量词命题，

否定为：每一个奇数都能被3整除.(2)∀x∈Z，与3的和不等于0.是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，与3的和等于0.解答(3)有些三角形的三个内角都为60°

是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.常见的词语的否定有哪些？原词否定词原词否定词等于不等于至多一个至少二个大于不大于至少一个一个也没有小于不小于任意某个是不是所有的某些都是不都是常见的词语的否定有哪些？原词否定词原词否定词等于不等于至多一个至少两个大于不大于至少一个小于不小于任意某个是不是所有的某些都是不都是常见的词语的否定有哪些？