广东省广州市天河区大观学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）

广东省广州市天河区大观学校2023-2024学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列四边形不是轴对称的图形是（）A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．圆2．（3分）下列命题是真命题的是（）A．三角形的外角大于它的任何一个内角 B．n（n≥3）边形的外角和为360° C．相等的角是对顶角 D．同位角相等3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，若AC＝8，则线段AO的长为（）A．3 B．4 C．5 D．164．（3分）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．|cosA﹣|+（tanB﹣）2＝05．（3分）在数轴上A点表示的数为﹣5，点B表示的数为2，则线段AB的长为（）A．﹣3 B．5 C．6 D．76．（3分）下列运算不正确的是（）A．（2a2）3＝8a6 B．a8÷a4＝a4 C．a3•a4＝a7 D．a3+a2＝a57．（3分）关于抛物线①y＝x2；②y＝﹣x2+1；③y＝（x﹣2）2，下列结论正确的是（）A．顶点相同 B．对称轴相同 C．形状相同 D．都有最高点8．（3分）如图，点C是⊙O的弦AB上一点．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长为（）A．3 B．4 C． D．9．（3分）如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sinB的值为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为120°．以旋转轴O为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点A对应的坐标为（10，10）．若叶片每秒绕点O顺时针旋转90°，则第2023秒时叶片尖点A的坐标为（）A．（10，10） B．（﹣10，10） C．（10，﹣10） D．（﹣10，﹣10）二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）2023年春运为期40天，其中1月7日至21日，全国铁路日均发送730万人次，将730万用科学记数法表示应为．12．（3分）因式分解：a2﹣2ab+3b2＝．13．（3分）如图，A，B是反比例函数y＝（k＞0）上两点，纵坐标分别为3和1，连结AO并延长交双曲线于另一点C，连结BC，若AC＝BC，则k的值为．14．（3分）如图是一个几何体从三个不同方向看到的形状图，根据图中数据，可得该几何体的体积是．15．（3分）如图，在半径为6的⊙O中，点C是的中点，OC与AB相交于点D，CD＝3，图中阴影部分面积是．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一个动点，连接PB，则PA+PB的最小值为．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）（1）计算：；（2）解方程：﹣1＝．18．（4分）如图，在▱ABCD中，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．（1）补全图形；（2）求证：AE＝CF．19．（4分）（1）画△ABC的高BM，AN，CH；（2）若BM＝3，AN＝2，CH＝4，求AB：AC：BC．20．（6分）为了普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，广水市党校在某校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89（1）按如表分数段整理两班测试成绩，表中a＝；班级70.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.595.5～100.5甲12a512乙033621（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：班级平均数众数中位数方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x＝，y＝88．（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是班；（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人，现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．21．（8分）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）22．（10分）某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件50元，进货价每件40元．（1）若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件32元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．（2）已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件．经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？23．（10分）如图，直线y＝mx+n（m≠0）与双曲线相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．（1）求m，n的值；（2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP与△OCD相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为．（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为．25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得∠PEC+∠ACE＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，在y轴右侧的抛物线上存在一点Q，使S△QBC＝2S△QAC，直接写出点Q的坐标．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：菱形、矩形、圆能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，平行四边形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：C．2．解：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，而和它相邻的角大小关系不确定，故A是假命题，不符合题意；n（n≥3）边形的外角和为360°，故B是真命题，符合题意；相等的角不一定是对顶角，故C是假命题，不符合题意；两直线平行，同位角相等，故D是假命题，不符合题意；故选：B．3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC＝4，故选：B．4．解：A、∵，∴△ABC是直角三角形，错误；B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，错误；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，∴△ABC不是直角三角形，正确；D、∵|cosA﹣|+（tanB﹣）2＝0，∴，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，错误；故选：C．5．解：AB＝|﹣5﹣2|＝7，故选：D．6．解：（2a2）3＝8a6，A选项正确，不符合题意；a8÷a4＝a4，B选项正确，不符合题意；a3•a4＝a7，C选项正确，不符合题意；a3+a2＝a3+a2，D选项错误，符合题意．故选：D．7．解：①y＝x2；②y＝﹣x2+1；③y＝（x﹣2）2中，①的顶点为（0，0），②的顶点为（0，1），③的顶点为（2，0），故A选项不符合题意；①②的对称轴为y轴，③的对称轴为x＝2，故B选项不符合题意；①③有最低点，②有最高点，故D选项不符合题意，三个函数中二次项系数绝对值相等，故C选项符合题意．故选：C．8．解：作OD⊥AB于点D，如图所示，由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，∴AB＝8，∴AD＝BD＝4，∴CD＝2，∴OC＝＝＝，故选：D．9．解：由图可得，AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝，故选：C．10．解：∵A（10，10），∴A在第一象限的角平分线上，∵叶片每秒绕原点O顺时针转动90°，∴第1、2、3、4s的坐标为：A1（10，﹣10），A2（﹣10，﹣10），A3（﹣10，10），A4（10，10）（与重合A（10，10）），如图，∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环，∵2023÷4＝505⋯3，∴第2023s时，点A的对应点A2023的坐标与A3相同，为（﹣10，10）．故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：730万＝7300000＝7.3×106．故答案为：7.3×106．12．解：a2﹣2ab+3b2＝（a2﹣6ab+9b2）＝（a﹣3b）2．故答案为：（a﹣3b）2．13．解：∵A，B是反比例函数y＝（k＞0）上两点，纵坐标分别为3和1，∴A（，3），B（k，1），∴C（﹣，﹣3），∵AC＝BC，∴（+）2+（3+3）2＝（k+）2+（1+3）2，解得k＝，故答案为：．14．解：这个几何体的体积＝π×（）2×4+π×（）2×3＝π××4+π××3＝9π+π＝π．故答案为：π．15．解：连接OA，OB，CA，CB，∵点C是的中点，∴AD⊥OC，AD＝BD，∵OC＝6，CD＝3，∴OD＝CD＝3，∴AC＝AO＝OB＝BC＝OC＝6，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°，在Rt△AOD中，AD＝＝＝3，∴AB＝6，∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×3×6＝12π﹣9，故答案为：12π﹣9．16．解：过A作直线AE，使∠EAC＝15°，过P作PQ⊥AE，垂足为Q，过B作BQ'⊥AE，垂足为Q'，在△BAQ'中，∠BAQ'＝∠CAE+∠BAC＝45°，AB＝4，∴BQ'＝2，在RtAPQ中，∠PAQ＝30°，∴PQ＝PA，∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ'＝2，故答案为：2．三．解答题（共9小题，满分72分）17．解：（1）原式＝1+4+1﹣3＝3；（2）﹣1＝，方程两边都乘x（x﹣2），得x2﹣x（x﹣2）＝x﹣2，解得：x＝﹣2，检验：当x＝﹣2时，x（x﹣2）≠0，所以x＝﹣2是原方程的解，即原方程的解是x＝﹣2．18．（1）解：补全图形如图：（2）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC．则∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AED＝∠CFB＝90°．在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴AE＝CF．19．解：（1）如图：BM，AN，CH即为所求；（2）∵△ABC的面积的2倍为：3AC＝4AB＝2BC，∴AB：AC：BC＝3：4：6．20．解：（1）由题意得：a＝4，故答案为：4；（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图如下：（3）甲班15名学员测试成绩中，87分出现的次数最多，∴x＝87，由题意得：乙班15名学员测试成绩的中位数为88，故答案为：87，88；（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班，理由如下：①甲、乙两个班的平均数相等，但乙班的中位数大于甲班的中位数；②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成绩更稳定；故答案为：乙；（5）把甲班2人记为A、B，乙班1人记为C，画树状图如图：共有6种等可能的结果，其中恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的结果有4种，∴恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率为＝．21．解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．由题意：tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x，∵四边形DMNC是矩形，∴DM＝CN＝2x，在Rt△NBC中，tan37°＝＝＝，∴BN＝x，∵x+3+x＝14，∴x＝3，∴DM＝6，答：坝高为6m．（2）作FH⊥AB于H．设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3+2y﹣y＝3+y，BH＝14+2y﹣（3+y）＝11+y，由△EFH∽△FBH，可得＝，即＝，解得y＝﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），∴DF＝2﹣7，答：DF的长为（2﹣7）m．22．解：（1）由题意，设每次下降的百分率为x，依题意得：50（1﹣x）2＝32，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去），∴每次下降的百分率为20%．答：每次下降的百分率为20%．（2）由题意，设件应降价a元，每天获得的利润为y，则y＝（10﹣a）（40+20a）＝﹣20a2+160a+400＝﹣20（a2+8a+16）+720＝﹣20（a﹣4）2+720．∵﹣20＜0，∴当a＝4时，每天的获得的利润最大，最大值为720元．答：每件应降价4元才能使每天获得的利润最大．23．解：（1）∵A（﹣1，2）和B（2，b）在双曲线y2＝（k≠0）上，∴k＝﹣1×2＝2b，解得b＝﹣1．∴B（2，﹣1）．∵A（﹣1，2）和B（2，﹣1）在直线y1＝mx+n（m≠0）上，∴，解得，∴m，n的值分别是﹣1、1；（2）在y轴上存在一点P，使△BCP与△OCD相似，理由如下：①如图，过点B作BP∥x交y轴于点P，∴△PCB∽△OCD，∵B（2，﹣1），∴P（0，﹣1）；②过点B作BP′⊥AB交y轴于点P'；，∴△BCP′∽△OCD，由（1）知，y＝﹣x+1，∴C（0，1），D（1，0），∴OC＝OD，∴△OCD是等腰直角三角形，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP＝PP'＝2，P′（0，﹣3），∴这样的点P有2个，即（0，﹣1）和（0，﹣3）．24．（1）证明：如图1，∵PO﹣OC＜PC，∴（AP+OA）﹣OC＜PC，∵OA＝OC，∴AP＜PC；（2）如图2，连接OA，交半⊙O于P，则AP最小，在Rt△AOC中，OA＝＝＝，∴AP＝OA﹣OP＝﹣，故答案是﹣；（3）如图3，连接BM，交⊙M（半径是1）是A1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠BAM＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵M是AD的中点，∴∠AMB＝90°，∴BM＝AB•sin60°＝，∴A1B＝；故答案是﹣1；（4）如图4，作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，连接PA交⊙A于M，∴PA＝PC，∴PA+PB＝PC+PB＝BC，∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），∴BC＝＝10，∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN＝10﹣1﹣2＝7，故答案是7．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（3，0），B（﹣1，0）两点，∴，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵抛物线交y轴于点C（0，3），经过点A（3，0），∴OC＝OA，∴∠ACO＝45°，∴∠OCE+∠ACE＝45°，∵∠PEC