广东省广州市2022-2023学年高一年级上册期末数学试题(学生版+解析)

广州市第二中学2022学年第一学期期末考试高一数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若集合=则集合中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.与角-330终边相同的最小正角是（）

A.-30B.330c.30D.60

若/（、）则（）的值为（

3.6+i=x+i,y3)

A.4B.5C.9D.10

4.己知幕函数/（%）=（加一3卜一'"在（0,+⑹为单调增函数，则实数加的值为（)

A.6B.±2c.2D.-2

f（；）的值为（

5.若/（%）=口〃（妙）（0＞0）的周期为1,则,)

「73

A-73B.--D.73

33

z=sinf—+2>1

6.已知实数次,y,z满足x=4°,y=log3,，则（）

5(2)

A.z<x<yB.y<z<xC.z<y<xD.x<z<y

TT

7.已知弧长为万cm的弧所对的圆心角为一，则这条弧所在的扇形面积为（）cm2

4

71

A.—B.nC.InD.4〃

2

8.已知函数/（%）是定义在R上的偶函数，对于％,x2e[0,4w）,且%，/，都有

//（%）＜0成立,若实数机满足时（机）+（1-2机）/0—2机）＞0,则m的取值范围是（）

X一工2

A.（-co,-l）B.（fl）C.（1,+co）D.（-l,+oo）

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分.

9.下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A./⑺=/,g(x)=x：=cosx,g(x)=sin

x>0)

D./(x)=log4x,g(x)=log2Vx

-x(x<0)

10.下列说法正确的是()

A.uac2>bc2”是“a>b”的充分不必要条件

B.“孙>。”是“x+y>o”的必要不充分条件

C.“对任意一个无理数X,/也是无理数”是真命题

D.命题“去eR,丁+1=0”否定是“VxeR,x2+1^0)，

11.已知函数/(x)=2sin21ox-51(0>0)的最小正周期为兀，若加，ne[-2n,2TI\,且

/(m)-/(«)=4,则下列结论正确的是()

A.。的值为1B./(zn)=/(«)=-2

<571、

C.—,1是函数/(九)图象的一个对称中心D.加一〃的最大值为3兀

12.已知函数〃x)=cos|■[x],其中国表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是(

A.函数y=f为偶函数

B.〃尤)的值域为{—1,0,1}

C.”力为周期函数，且最小正周期T=4

D./(尤)与y=log71x—[的图像恰有一个公共点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知.<0,则关于x的不等式2£+(5+2a)x+5a<0的解集是.

14.—i----3―的值为.

cos80°cos10°

15.将函数/(x)=sin2%+三的图像向左平移机(帆>0)个单位后得到的图像关于y轴对称，则机的最

小值是.

J|logx|,0<x<2

已知函数=［2一，,g(x)=2，当0<〃2<1时，关于X的方程g［/(%)］=7〃解

16.[3-x,%>2

的个数为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合4={14<%<2>},B=|x|x2+x-12>Oj.

(1)当a=2时，求4°(备3卜

(2)若AcaB,求。的取值范围.

「心sin2a-4sina

18.已知------------------=3o,ae

cos2。一4coso+l

⑴求tana和sin2a的值；

⑵若sin,=2sin求a+,的大小.

2—Y

19.已知函数〃%)=In----.

2+x

(1)判断/(X)在定义域内的单调性，并给出证明；

⑵求/(%)在区间［―1,1］内的值域.

20.已知函数/(X)=2'+2(aeR)为定义在［—1,1］上的奇函数.

⑴求实数。的值;

717T

⑵设g(x)=/(sin2x),当xe—,0(e>一)时，函数,求。的取值范围.

12

21.生产A产品需要投入年固定成本5万元，每年生产x万件(xeN*),需要另外投入流动成本g(x)万元,

1,

一x+4x,0<x<7

2

且g(x)=<,每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完.

llx+--35,x>7

x

⑴写出利润p(x)(万元)关于年产量次(万件)的函数解析式；(年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)

（2）年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？

22.已知函数/（X）=f—2（a+l）x—a+1,aeR.

⑴若“X）在区间［一1』上不单调，求。取值范围；

⑵已知关于x方程/（尤）+9+2龙|=0在区间（-1,2）内有两个不相等的实数解，求实数”的取值范围.

广州市第二中学2022学年第一学期期末考试高一数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.若集合"=则集合中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

求得ADB，由此判断出中元素的个数.

【详解】依题意4。6={—1,0,1,2},有4个元素.

故选：D

【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题.

2.与角-330终边相同的最小正角是（）

A.-30B.330C.30D.60

【答案】C

【解析】

【分析】

利用终边相同的角的关系，求得与角-330终边相同的最小正角.

【详解】与角-330终边相同的最小正角为-330+360=30.

故选：C

【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.

3.若/（、6+l）=x+l,则/（3）的值为（）

A.4B.5C.9D.10

【答案】B

【解析】

【分析】

由«+1=3计算出x的值，由此求得/（3）的值.

【详解】由4+1=3由解得x=4,所以/（3）=4+l=5.

故选：B

【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.

4.已知暴函数"％）=（苏—3卜5在（o,+8）为单调增函数，则实数加的值为（）

A.B.±2C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据〃尤）为塞函数，求得用的可能取值，再由〃力在（0,+e）上的单调性，求得m的值.

【详解】由于/（九）为募函数，所以疗—3=1,根=±2,当加=2时，/（九）=/在（0,+e）

上递减，不符合题意，当m=-2时/（尤）=/在（0,+。）上递增，符合题意.

故选：D

【点睛】本小题主要考查根据函数为幕函数求解析式，考查事函数的单调性，属于基础题.

5.若/（%）=勿〃（妙）（0>0）的周期为1,则/（；）的值为（）

A.—石B.-立C.3D.73

33

【答案】D

【解析】

【分析】

根据/（%）的周期求得0,由此求得了]31的值.

【详解】依题意T=—=1,«=71,/（%）=tan（TLX）,所以/佶]=tang=6.

co13J3

故选：D

【点睛】本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

6.已知实数x,y,z满足％=4°，）^=log53,z=sin[]+2；贝（）

A.z<x<yB.y<z<xC.z<y<xD.

x<z<y

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数、对数、三角函数的知识确定正确答案.

【详解】x=4°=b

y=log53<log55=1,

/7J1I\兀

z=sinI—+2I=cos2,而万<2<兀，所以zvO,

2

所以z<y<x.

故选：C

77

7.己知弧长为万cm的弧所对的圆心角为一，则这条弧所在的扇形面积为()m2

4C

71-

A.—B.nC.2»D.47

2

【答案】C

【解析】

【分析】

先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.

71,,

­=41

【详解】依题意，扇形的半径为兀，所以扇形面积为一RZuZTr.

72

故选：C

【点睛】本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.

8.已知函数“可是定义在R上的偶函数，对于%,%«0,+8),且石彳马，都有

%，(石)一4/(“)<。成立,若实数小满足时(帆)+(1——2M>0,则根的取

%一%2

值范围是()

A.(-oo,-l)B.C.(1,+co)D.

(-l,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数F(%)=VW，根据F(x)的单调性和奇偶性化简不等式

+2m)/(1-2m)>0,进而求得加的取值范围.

【详解】依题意，函数/(%)是定义在R上的偶函数，/(-%)=/(%),

构造函数歹(％)=4"(九)，贝I]F(-x)=-xf(-x)=-V(^)=-F(x),

所以歹(力是奇函数，图象关于原点对称.

由于x2e[0,+s),且%彳々，都有--/(一)<0成立,

即尸（石）一尸（9）<0,所以/（同在［0,+8）上递减,

否~X2

所以方（可在R上递减.

由+—2m）/（l-2m）>0,

即F（m）+F（l—2m）>0,F（m）>—F（l—2m）,

即>F（2m—1）,

所以m<2m

所以m的取值范围是（1,+8）.

故选：C

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分.

9.下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A.f（t）=t2,g（x）=x2B./(x)=cosx,g(x)=sin^x+—

c小H«）2,g（x）=］；（：?）

D.f(x)=log4x,g(%)=log2Vx

【答案】ABD

【解析】

【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.

【详解】〃。=/送（力=/对应关系和定义域显然相同，故A正确;

B选项中,因为g（x）=sin(x+^I=cosx,所以B正确;

C选项中，/（司=（«『的定义域为［0,+8）,g（x）的定义域为R,故C不正确;

x

D选项中，显然/(x),g(x)的定义域都为(0,+8),X/(x)=log4x=log22x=^°§2-

g(x)=log2Vx=log2x^=-log2x,故D正确.

故选：ABD

10.下列说法正确的是()

A."ac2>bc2”是“。>b”的充分不必要条件

B.“孙>。”是“x+y>。”的必要不充分条件

C.“对任意一个无理数X,/也是无理数”是真命题

D.命题"上'eR,V+i=o”的否定是“VxeR,x2+1^0)，

【答案】AD

【解析】

【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A选

项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用特殊值法可判断C

选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.

【详解】对于A选项，若四？>反2,则,?>0,由不等式的性质可得“>b,即“四？>bc2”

二>"a>b"，

若a>b,取c=0,则近2=灰2,即“近2>灰2"牛"a>b”,

故aac2>bc2J，是“a>b”的充分不必要条件，A对；

对于B选项，若孙>0,不妨取x=—l,y=—l,则x+y<0,即“孙>。”声

“x+y>0”，

若x+y>0,取x=—l,y=2,则移<0,即“孙>0”及“x+y>0”，

所以，“孙>。”是“x+，>。”的既不充分也不必要条件，B错；

对于C选项，取％=&为无理数，则9=2为有理数，C错；

对于D选项，命题“IceR,好+1=0”的否定是“VxeR,f+i/o”，口对.

故选：AD.

11.已知函数/(xjuZsinz/x—f(<y>0)的最小正周期为兀，若加，ne[-2n,2TI],

且/(加>/(")=4,则下列结论正确的是()

A.。的值为1B./(m)=/(«)=-2

(5兀、

C.—,1是函数/(%)图象的一个对称中心D.m一”的最大值为3兀

16；

【答案】ACD

【解析】

【分析】化简/(%)的解析式，根据/(九)的最小正周期求得。，再结合/(尤)的最值、对

称中心对选项进行分析，从而确定正确答案.

[详解]/(x)=2sin=1-cos——,

由于/(%)的最小正周期为兀，

所以T=--=兀,口=1,A选项正确.

2a)

所以/(X)=1—cos,由于—1<cos<1,—1<—cos<1,

所以041一cos[2x一巳)V2,

当m,ne[—2兀，2可时,要使/(〃)./(")=4,!UiJ/(m)=/(n)=2,B选项错误.

所以—,1是函数/(九)图象的一个对称中心，C选项正确.

16；

I7T17C7兀

当/(%)=2时,cos2x--=-1,2x——=2kjt+Tt,x=kjt+—,keZ,

<6J612

,_77兀cw31717

由一2兀<fan---W2兀，解得----<k<——,

121212

所以左=—2,—1,0,1,

771r7兀、..

所以加一几的最大值为兀+；——2兀+==3兀，D选项正确.

12I12)

故选：ACD

12.己知函数/(x)=cos'国],其中国表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是

()

A.函数y=+为偶函数

B.〃尤)的值域为{-1,0,1}

C.“X)为周期函数，且最小正周期T=4

D.〃力与y=log71%-1|的图像恰有一个公共点

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确.

【详解】对于A,由于/[—g+g)=/(0)=cos0=l,

=品。所以：下4一］,所以丁=小+：不是偶

函数，故A错；

对于B,由于区为整数，3［司=—5(左€2).〃111左1］的值有口一1/三种情况，所以

/(力的值域为｛0,—1,1｝故8正确；

对于C,由于［%+4］=印+4,所以

〃x+4)==cos泗+2兀/(x),故C正确;

对于D,由8得/(%)€{0,-1,1},令log7k-1|=0,得x=2或X=O,而

/(2)=cos7i=-L,〃0)=cos0=l不是公共点的横坐标,令log7k-1|=0,得％=8或

%=一6,而/⑻=cos4兀=lj(-6)=cos(-37i)=cos7i=—l,所以(8,1)是两个函数图

o6

像的一个公共点.令10g7K—［=-1，得了=1或1=—，而

=cos^=0,/Rj=COSO=1,所以不是两个函数图像的一个公共点.

综上所述，两个函数图像有一个公共点(8,1),故D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知a<0,则关于x的不等式2f+(5+2a)x+5a<0的解集是.

【答案】｛x|—5<x<-a｝

【解析】

【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较一。和-之的大小，再利用一元二次不等

2

式的解法即可求解.

【详解】因为关于x的不等式2%2+(5+2“卜+5。<0可化为：

(2x+5)(x+a)<0,又因为a<0,所以一。〉一令,

2

所以不等式(2x+5)(x+a)<0的解集为｛x|<x<—a｝,

则关于x的不等式2*2+（5+2a）x+5a<0的解集是{x|—5<x<—a},

故答案为：{x|—/<x<—a}.

14.」-------Y1—的值为.

cos80°cos10°

【答案】4

【解析】

【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案.

【详解】_i--------旦

cos80°cos10°

_cos100-A/3COS80°

cos80°cos10°

_sin800-A/3COS80°

cos80°cos10°

（1J3）

2-sin80°-—cos80°

,I22J

cos80°cos10°

_2sin（80°-60°）

cos80°cos10°

2sin20。

cos80°cos10°

_2x2xsinl0°cosl0°_/1

sin10°cos10°

故答案为：4

15.将函数"x）=sin[2x+m]的图像向左平移机（机>0）个单位后得到的图像关于y轴

对称，则m的最小值是.

JT1

【答案】12##1271

【解析】

【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得加的取值范围，进而求得冽的最

小值.

【详解】函数/（x）=sin[2x+三,勺图像向左平移机（机>0）个单位后，

得到y=sin2(x+m)+^-=sinf2x+2m+-1j,其图像关于>轴对称,

LLIz-\兀1兀klL兀7r

所以277tH---=kitH----,TYl------1----,KGZ,

32212

ir

由于加〉0,所以加最小值为

jr

故答案为：--

12

16.己知函数/(%)=|2一'—1|,8(力=”°；2乂;;：2,当0〈机<1时，关于x的方程

g[f(%)]=m解的个数为.

【答案】4

【解析】

|,0<x<2

【分析】令，=/(%),得到g«)=%由g(x)=的图象得到根t的分

x.x>2

布，再由

/(力=|2-「1|的图象，得到/=/(%)的根的个数即可.

【详解】解：令/=/(%),则g"(x)]=7〃，化为g«)=W,

Hx)=f|log240<x<2

的图象如图所示:

3-%,x>2

因为0<m<1,

所以g(1)=加有三个不同的根444，其中4e(O,l),Z2e(l,2),Z3e(2,3)，

函数/(x)=上工一1]的图象如图所示：

w

，i厂y%厂

-X4X3x\\O~^2X

由图象知：4=/(%)有2个不同的根，/2=/(x)有1个根，/3=/(*)有1个根，

所以当。〈机<1时，关于x的方程g[/(%)]=加解的个数为4,

故答案为：4

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17已知集合A={x，<x<2a},B=|x|x2+x—12>oj.

(1)当a=2时，求

(2)若4口备8,求。的取值范围.

【答案】(1)40(伞3)={才-4<%<4}

⑵]-力，|

【解析】

【分析】(1)解一元二次不等式求得集合3,由补集和并集的定义可运算求得结果；

(2)分别在A=0和Aw0两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.

【小问1详解】

由题意得A={x[2<x<4},5={乂％«-4或x»3},

为3={尤|-4<尤<3},

Au低5)={乂-4<x<4}.

【小问2详解】

Ac3RB,

当aWO时，A=0,符合题意，

3

当。>0时，由2aW3,得0<a<一,

2

故a的取值范围为［一"，5

sin2a-4sina

18.已知=3,aG

cos2。一4cos。+1

⑴求tana和sin2a的值；

(2)若sin,=2sin|,J,[3el0,-|j,求a+'的大小.

3

【答案】(1)tanor=3,sin2(z=—；

3兀

⑵彳

【解析】

【分析】(1)结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tan1=3,以及sin2a=3以

tan。+1

求值;

(2)条件等式由诱导公式可得sin/7=2cos尸ntan尸=2,即可由和差公式求得

tan(o+/?),结合a+尸范围即可.

【小问1详解】

sin2a-4sina2sinacos。-4sin。2sina(cos2)

=3—：-tanCL—

cos2。一4cos。+12cosa-4cosa2cos。(cos。-2)

,入2sinocos。2tanor3

sm2。=——----------二——z-------二一；

sina+cosatana+15

【小问2详解】

sin/?=2sin|—+/?|=2cos/?ntan/?=2,

tanQ+mJana+tanl-i,

1-tanatanp

3兀

*.*a+0e(0,Ji),••oc/3—.

2—x

19.已知函数/(x)=ln-

2+x

(1)判断/(%)在定义域内的单调性，并给出证明;

⑵求/(X)在区间［—1,1］内的值域.

【答案】(1)单调递减，证明见解析

，，

(2)In耳1,In3c

【解析】

【分析】(1)利用复合函数的单调性性质，结合对数函数与反比例函数的单调性，可得答案，

利用单调性的定义证明即可；

(2)根据⑴所得的函数单调性，可得其最值，可得答案.

【小问1详解】

由函数〃x)=ln泞=ln二手上±=ln，l+｝］,则函数/(x)在其定义域上单

调递减.

证明如下：

2—x9—X

由函数/(x)=ln-则一->0,(2-x)(2+x)>0,(x—2)(x+2)<0,解得

2+x2+x

-2<x<2,即函数的定义域为(—2,2),

取任意％,X2G(—2,2),设石<龙2,

4+2%1y2

/(Xi)_/(X2)=ln^-ln^=lnf^-^Kln^-^,

2+%|2+(2+须2—%2J4+2(王一马)—石/

由王<%2，贝！］再一犬2<0<%2_芯，即4+2(玉—%2)_玉％2<4+2(%2_玉)一石％2，故

4+25_%1)一中2］

4+2(%-x2)-xrx2

所以/(%)>/(%)，则函数/(%)在其定义域上单调递减.

【小问2详解】

由⑴可知函数/(%)在其定义域上单调递减，则函数〃尤)在［-11］上

/何四=/(—1)=m3,/(x)min=/(l)=ln|,

所以函数/(%)在［—1』上的值域为ln1,ln3.

20.已知函数/(力=2"+/(aeR)为定义在［—1』上的奇函数.

⑴求实数a的值；

⑵设g(x)=/(sin2x),当xe-^-,0(£>2L)时，函数g(x)的最小值为也，求。的

_12」122

取值范围.

【答案】⑴a=—1

兀八，5兀

(2)——

1212

【解析】

【分析】(1)由/(。)=0求得。的值.

(2)求得g(x)的表达式，利用换元法，结合三角函数、函数的单调性、最值等知识求得。的

取值范围.

【小问1详解】

由于函数〃%)=2,+2是定义在［-1,1］上奇函数,

所以〃。)=1+〃=。，"=—1"(%)=2允—2：经检验符合题意.

【小问2详解】

g(x)=/(sin2x)=2sin2x-2-sin2x,

-<x<0,-<2x<20,

126

令/=sin2x,/z(，)=2'—21

所以丸⑺是奇函数，且力⑺在R上单调递增,

7T]出二2:2』一1_V2

当/=sin—=—时，h

6272-2

要使g(x)的最小值为也，则f=sin2x»L

22

LL…兀/C/5兀LL…兀C八/5兀71八/571

所以一—,所以一一,一<0<一.

66661212

21.生产A产品需要投入年固定成本5万元，每年生产x万件(xeN*),需要另外投入流动

1

—X9+4x,0<x<7

2

成本g(x)万元,且g(x)=<,每件产品售价为10元，且生产的产品

llx+--35,x>7

X

当年能全部售完.

(1)写出利润?(X)(万元)关于年产量X(万件)的函数解析式；(年利润=年销售收入-固定成

本-流动成本）

（2）年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？

【答案】（l）p（x）=<

30—A1

,(x>7,xeN*

（2）当年产量为7万件时，年利润最大，最大年利润为U1万元.

7

【解析】

【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得"（了）.

⑵结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.

【小问1详解】

——+6%—5,(0<%<7,九£N

依题意，p(x)=10x-5-g(x)=<

30-x+—\(x>7,xeN：

【小问2详解】

—-+6x-5,(0<%<7,%wN

由⑴得P(x)=<

30—卜+手

,(%>7,xeN*

当0<%<7,所