2024北京石景山高三年级上册期末数学试题及答案

2024北京石景山高三(上)期末

数学

本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效。考试结束后，将答题卡交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合A={-2,0,2,4},B={x，W4},贝ljA「|5=

(A)[-2,0,2}(B){0,2}

(C){-2,2}(D){0,2,4}

(2)已知复数zi=l+2i,zi「2在复平面内的对应点关于虚轴对称，贝！Jz-Z2=

(A)5(B)-5(C)4+2i(D)-4+2i

(3)(x2-3六展开式中含好的项的系数为

X

(A)4(B)-4(C)8(D)-8

(4)已知向量Q=(5,机)，b=(2,-2),若(a—b)_L力，则加二

(A)-1(B)1(C)2(D)-2

(5)已知等差数列{即}的前〃项和为S〃，若15,(5=65,贝!]q+〃4=

(A)24(B)26(C)28(D)30

(6)直线2%->+机=0与圆x2+y2-2x-4=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是

(A)-5<m<3(B)0<m<5

(C)-9<m<3(D)-7<m<3

(7)设函数/(x)="1%(2则”_2)+/(log10)=

后可2

(A)2(B)5(C)7(D)10

(8)在△ABC中，2。cosA=bcosC+ccosB.,则NA=

712兀

(A)2(B)(C)2(D)

6323

(9)设函数/(x)=ln|x+l|-ln|x-l|,则/(x)是

(A)偶函数，且在区间(1,+oo)单调递增

(B)奇函数，且在区间(-1』)单调递减

(C)偶函数，且在区间(-oo,-l)单调递增

(D)奇函数，且在区间(1,+8)单调递减

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(10)在正方体A8CD-A181Goi中，点尸在正方形A。。]4内(不含边界)，则在正方形DCGA内(不

含边界)一定存在一点Q,使得

(A)PQIIAC

(B)平面尸QG〃平面ABC

(C)PQ1AC

(D)AC1PQC\

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)函数/(x)=+lg(x+3)的定义域为

2=l(a>0)的一条渐近线方程为y=Lx,则该双曲线的离心率为

(12)已知双曲线=-y?

a2

(13)某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行

数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，

将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100],并整理得到如右频率分布直方图，则

图中的“直为,若全校学生参加同样的测试，估

计全校学生的平均成绩为(每组成绩用中间

值代替).

(14)己知命题p:若则苏+分。].能说明p为假

命题的一组。的值为。=,b=.

(15)在数列｛4｝中，4+1=/(4),给出下列四个结论;

①若/(尤)=-2x,则｛an｝一定是递减数列；

②若/(x)=e*,则｛a“｝一定是递增数列;

3

③若/(元)=x+1,a1e(-l,0),则对任意c>0,都存在〃eN*,使得>c;

④若/(x)=kx2+l(k>0),a=1,且对任意〃eN*,都有a<2,则上的最大值是

1n

其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）

如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC_L平面p

2兀

ABC,PA=PC=PB=2,AB=BC,ZAPC=—.

3

（I）求证：AC1PB；

A

（ID求二面角A-PC-B的余弦值.

（17）（本小题13分）

设函数/（无）=.，3sins_2sin2；尤+1（。＞0）.

（I）若0=2，求人上）的值；

12

兀7L

（II）已知/（尤）在区间［―,_］上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已

123

知，使函数/（x）存在，求0的值.

条件①：函数/（X）的图象经过点4上3）；

12

条件②：时，“X）的值域是［-2,2］；

123

条件③：x=V是/⑶的一条对称轴.

注：如果选择的条件不符合要求，第（H）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按

第一个解答计分.

（18）（本小题13分）

某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为A区和B区，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在

B区投篮，在A区每投进一球得2分，没有投进得0分；在8区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生

甲在A,B两区的投篮练习情况统计如下表：

甲A区8区

投篮次数3020

得分4030

假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立.

（I）试分别估计甲在A区，8区投篮命中的概率；

（II）若甲在A区投3个球，在2区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率；

（III）若甲在A区，2区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在A区投篮

的最

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多次数.(结论不要求证明)

(19)(本小题15分)

已知椭圆C：W+?=13>b>0),离心率为2>短轴长为2、2.

abF

(I)求椭圆c的方程；

(II)过坐标原点。且不与坐标轴重合的直线/交椭圆c于P,Q两点，过点尸作x轴的垂线，垂足为

E,直线QE与椭圆的另一个交点为M.求证：△MPQ为直角三角形.

(20)(本小题15分)

已知函数/(x)=ln(l-x).

(I)求曲线y=/(尤)在点(0,/⑼)处的切线方程；

(II)求证：当xe(-oo,0)时，/(x)>--x；

2

(III)设实数上使得-尤对尤e(-oo,0)恒成立，求上的取值范围.

(21)(本小题15分)

对于项数为相的数列｛。“｝,若数列｛》“｝满足优；=maxHi，上,,―，见.｝，(k=l,2,-,m),其中，maxM

表示数集M中最大的数，则称数列他」是｛6｝的产数列.

(I)若各项均为正整数的数列｛%｝的产数列是3,4,4,5,写出所有的数列｛为｝；

(II)证明：若数列｛%｝中存在q使得丁>的(2WiW㈤，贝U存在左e｛l,2,•,加-1｝使得瓦+i>瓦成立；

n

(III)数列仇｝是｛。“｝的尸数列，数列｛,,｝是｛-•“｝的尸数列，定£4=£sgn(%-q),其中

Z=1

1,x>0,

sgn(x)=0,x=0,•求证：｛bn+c“｝为单调递增数列的充要条件是｛d„｝为单调递增数列・

—-1,x<0.

(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)

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参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

(1)A(2)B(3)D(4)B(5)C

(6)A(7)C(8)B(9)D(10)A

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

5

(11)(-3,4](12)(13)0.01472.6

2

（14）11（答案不唯一）（15）②③④

22

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（本小题14分）

（I）证明：取AC中点。，连结尸。,8。

因为尸A=PC,所以尸O_LAC；

因为AB=BC,所以BOLAC

因为8。।PO=O,所以AC,平面PB。；

因为PBu平面尸8。，

所以AC_LP8.[6分]

（II）由（I）知尸。_LAC,尸Ou平面PAC,因为平面尸AC_L平面ABC,平面PAC「］平面ABC=AC,

所以PO±平面ABC,因为BOu平面ABC,所以PO1BO

POLAC,BOLAC,如图建立空间直角坐标系。-尤yz.

由已知/APC=e27t，易得P

33

PO=]_PA=1,OC=^1PC=,^........Z...J.............

2_

在Rt△尸B。中，OB=VPB一尸。2=..137B

所以得B(£,0,0),C(0,、g0),P(0,0,l),<

所以PB=PC=(0,

设平面PCB的法向量为n=(x0,y0,z0),贝！J

•收。’即|产。一。=

I-'13y-z=

[n-PC=0,h'。。

令％o=l，则yo=l,zo=\，3.于是〃=(1,1,“3).

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又因为平面POC的法向量为0B=(、万,0,0),

|cos<--->IOB-n|T

所以OB,n>|=-------=——

-->5

\OB\\n\

由题知二面角A-PC-B为锐角，所以其余弦值为它［14分］

5

(17)(本小题13分)

解(I)因为m)=、户sins-2sin2；x+l,所以

f(x)=3sins+cos5

=2."sins+1coss)=2sin(^x+.

~226

因为。=2,所以/(?)=3［5分］

12-

(n)选②

因为/(x)在区间［匕\上单调递减，且当工£［上、时，/⑴的值域是［-2,2］,

12312,3

所以九ax④=/•(')=2,/,ninW=/(,=-2.

止匕时，由三角函数的性质可得:=：-二=：,故7=

231242

2冗

因为。>0,所以0=2=4.

T

(II)选③

兀71

因为/(X)在区间［―,_］上单调递减,

123

LLt、r兀兀T口n27r7T

所以即

31222

解得0<oW4.

兀

因为X=正是“X)的一条对称轴，

所以心⑺二喋).

所以sin(Zi①+二)=1,

126

口r兀兀兀-T,〜

即_。+_=_+2屈,keZ

1262

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解得0=4+24匕左eZ.

由O<0W4,可知0=4.[13分]

（18）（本小题13分）

2

解：（I）甲在A区投篮30次，投进20次，所以估计甲在A区投篮进球的概率为：，

3

甲在8区投篮30次，投进15次，所以估计甲在8区投篮进球的概率为L[2分]

2

21

（II）据题意，甲在A区进球的概率估计为：，在2区投篮进球的概率估计为，

32

设事件A为“甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分”

甲在A区投3个球，得分可能是0,2,4,6,在8区投2个球，得分可能是0,3,6.

则甲在A区投篮得分高于在2区投篮得分的情况有：

2111

A区2分8区。分，概率估计为Cix'x-Axd）2=i,

333218

7

22

40Cx1121

A区分8区分，概率估计为3（-）x_x（_）

3329

43C2x2211112

A区分8区分，概率估计为3（不）xxC2x_x_=_,

33229

A区6分B区。分，概率估计为（3尸*（1）2=3,

3227

一A2231114

A区。分8区3分，概率估计为（今）xC2x_x_=_,

2227

11794

则甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率估计为_L+l+l+±+_=H

1899272718

[10分]

214

（III）甲在A区投篮一次得分的期望估计是2X1+0XUL,甲在8区投篮一次得分的期望估计是

333

113

^x_+0x_=_,

222

设甲在A区投篮尤次，则甲在2区投篮（5-x）次，

43

则总的期望值估计为fx+:（5-尤）》7,解得Xw3,

32

则甲选择在A区投篮的次数最多是3次.[13分]

（19）（本小题15分）

何=22

a=2

解:I）由题意知f/解得\b=

拒

222

a=b+c

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所以椭圆C的方程为上+£=1.[5分]

42

(II)解：不妨设直线/的方程为y=丘(左。0),/交椭圆于P(Xp,%),Q-%p,-.

1yi

由题意知EQ,0),所以％=f_%=•二=k；

PQE-x-x2rZxZ

pppp

k

直线。£的方程为〉=£。-彳)

2P1・

Ck

y=(x-x)

联立<2P消去y得(2+/)/-2Rxp.x+。石-8=0

[x2+2/=4

222

易知A=(~2kxP)-4(2+A:)(r说-8)>0

所以xM+%=3*,设QM的中点为D,

2+左2

皿IX+Xk--Xp

则MQ

2

kkk-Xp-k'xP

"=)对寸f)=一；

因为在△MPQ中，ODHPM,所以k=---

PMk

1兀

所以左.k=-_xk=-l,即

PMPQk2

所以aMPQ为直角三角形得证.[15分]

(20)(本小题15分)

角星：(I)fr(x)=___*(1—%)'=____，k=fr(fi)=—1.

1—XX—1

又〃0)=0，

所以曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为y=-x.[4分]

97

(II)令F(x)=f(x)+一+x=ln(l-x)+一+x(x<0),

22

,1x2

F(x)=___+x+1=----

x-1x-1

因为x<0,所以尸'(x)<0,/(%)在(一8,0)

上单调递减.所以F(X)>尸(0)=0.

即当XW(-8,0)时，f(x)>---x.[8分]

2

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(HI)(1)当女W-I时，反一xW-E-

22

Y2

由(II)知，当X£(-8,0)时，f(x)>~一一X.

2

所以当kW-1时，/(%)>依2一%对工£(一8,0)恒成立；

2

(2)当七〉一_时，/z(x)=ln(l-x)-kx2+x

2

,1-Ikx1+(2k+l)x

h(x)=____-2kx+1=

x-1x-1

①当上，0时，因为%£(-8,0),所以〃(X)>O,/z(x)在(-8,0)上单调递增.

h(x)</z(0)=0,不合题意

②当一1<%<0时，"(X)=0得x=2"+1=1+<Q

22