2024届新高考数学“8+4+4”小题期末狂练12 解析版

2024届高三"8+4+4”小题期末冲刺练（12）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

2

1.已知集合4={止1<"<3},B={xeZ|x-4x<0}；贝"B=（）

A{x[0<x<3}B.|x|-l<%<3}

c.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】c

【解析】由集合3={xeZ|x2—4X<0}={XCZ|0<X<4}={1,2,3},

又因为4={司―1<%<3},可得AB={1,2}.

故选：C.

2.复数z=t2■在复平面内对应的点位于（）

4+3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

l+2i（l+2i）（4-3i）_4-3i+8i-6i2_21.

【解析】由复数z

（4+3i）（4—3i）16-9i255

所以复数Z在复平面内对应的点为,该点位于第一象限.

故选：A.

3.已知非零向量a，b满足）=（、四,1）,若则向量a在向量》方向上的

投影向量为（）

1_1C

A.—bB.—bC.—bD.b

422

【答案】A

【解析】因为一〃）_L〃，所以=L一q.b=o,

*'•|^|——|^z||/?|=0,又"=所以「二+12=2,.,.忖=1或卜卜0（舍去），

所以J=1，

a-b71

所以〃在〃方向上的投影向量为订目包二彳”7-

m4

故选：A

4.英国数学家哈利奥特最先使用“〈”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发

展影响深远.对于任意实数。、b、c、d,下列命题是真命题的是()

A.若Q2Vb2,贝|J〃<bB.若〃</?,则QCvZ?c

C.若a<b,c<d,则D.若c<d,则a+cv〃+d

【答案】D

【解析】对A：因为/<〃，可能bvavO,故错误；

对B：当cv0时，若acb,贝!Jac>be,故错误；

对C：当QVZ?VO,cvdvO时，则ac>〃d,故错误；

对D：若a<b,c<d,则a+cvb+d,故正确.

故选：D.

5.若（1-2%）5=%+%（%—1）+%（%—I）2+〃3（%—1）3+〃4（尤—1）4+。5（尤—1）5，则下列结论中正确

的是（）

A.a0—1B.%,=8。

]—31°

C同+同+同+同+同+同=35D,+4+%)(%+%+%)=1—

【答案】C

[解析1由(1—2x)5=tip+%(x_l)+a。(x―1)-+q(x―1)^+g(x—I)4+%(x―1)^,

对于A中，令x=l,可得%=-1,所以A错误；

对于B中，(1-2X)5=[-1-2(X-1)]5,由二项展开式的通项得应=《•(—2)匕(—I)[=一80,所以

B错误；

对于C中，同+同+同+国+同+|%|与(1+2(XT))5的系数之和相等，

令X—1=1BP|OQ|+|<2||+EI+1。31+El+1。5|=3,,所以C正确;

对于D中，令X=2,则+。]+。2+。3+。4+。5=-3、，

令1=0,贝IQ°_q+=]，

/-35+1-35-1

解得10+%+%------，%+生+生=------，

310-1一

可得(％+%+%)(4+。3+05)=，所以D错沃.

故选：C.

6.道韵楼以“古、大、奇、美”著称，内部雕梁画栋，有倒吊莲花、壁画、雕塑等，是历史、文化、民俗一

体的观光胜地道韵楼可近似地看成一个正八棱柱，其底面面积约为3200(、门+1)平方米，高约为11.5

米，则该八棱柱的侧面积约是（)

A.460平方米B.1840平方米C.2760平方米D.3680平方米

【答案】D

27rJi

【解析】如图，由题意可知底面A5CDDGH是正八边形，ZAOB=—=-,由余弦定理可得

84

AB-=（9A2+OB2-2OAOBcosZAOB=（2-V2）OA2,贝UOA2=2+拒AB2.因为底面

2

ABCDEFGH的面积为3200(0+1)平方米，所以8x^x走x=3200(应+1)

222

解得AB=40.则该八棱柱的侧面积为320x11.5=3680平方米.

22

7.已知々，工分别为双曲线2-1=1（4>0力>0）的左、右焦点，过工且与双曲线的一条渐近线平

ab

行的直线交双曲线于点P,若|P耳|=4户闾，则双曲线的离心率为（）

AJyB•与C.0D.而

【答案】B

a

由已知结合双曲线的定义可得归娟-归闾=3户闾=2a,

所以，|尸耳|=2。，|尸用=tan/£月P=2,且/耳8P为锐角.

33。

sin/FFPh

又-=tanKF2P=sin2ZF^P+cos2/F遥P=1,

cosN耳工「a

所以，cosNF[F,P=巴.

c

又|能|=2c,

在，K&P中，由余弦定理可得

122|明.|西

2x—〃x2c

3

整理可得，3/=74,

所以c号='，0，=叵

33a3

故选：B.

7兀1］（兀71）兀兀

8.已知函数/(x)=sin。％+彳3>0）在区间77,兀内不存在最值，且在区间上，满足

3）122）43

“X”日恒成立，则。的取值范围是（）

25

A.B.u1

u3?6I

【答案】D

【解析】由兀］,则力尤+四£（二。+工,兀0+工）内不存在最值,

12）3233

兀兀、7兀

—a）+—>依+—

23217117

即《，则2kH—ScoGk—,kwZ,则0<GV—或一VGV---,

兀,3兀3-6636

兀刃+—<E+——

32

1兀71।兀「兀兀兀7U..[7T|y31,一.

由XC,则nft>x+-e|—。+—,—0+—]中sm|0X+一住二恒成工,

143」34333(3)2

_717171„71712兀„,

只需一。+—2—且一。+—<—=>0<。41,

433333

0<0〈工或LoWl；

63

(1]「1一

所以。的取值范围是0,--,1.

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.已知相，n,/为空间中三条不同的直线，a,（3,y,5为空间中四个不同的平面，则下列说法

中正确的有（）

A.若则mlIn

B.已知。B=1,BY=m,y\a=n,若/m=P,贝

C.若m_La,mL/3,ally,则

D.若。_L/?,r±tz,6^/3,则/

【答案】BC

【解析】7711/,nLl,则，〃与“可能平行，可能相交，也可能异面，A错.

因为。0=1,/3\Y=m,Im=P,所以

因为/I。=",所以尸B对.

m±a,m±j3,则tz〃/，又。〃/,则，〃7,C对.

正方体中，设面a为面ABC。，平面厂为面5。。内，面/为面AB44，面3为面CODg,

则tz_L〃，aLy,8L/3,但/〃S,D错,

故选：BC.

10.已知函数"％)=£彳,g(x)=siM[x—则以下结论正确的是()

A.函数g(x)的最小正周期为兀

B.函数/(X)的图象关于点[o,成中心对称

C.函数/(X)与g(x)的图象有偶数个交点

兀

D.当xe-,21时，f(x)<g(x)

【答案】ABD

1—cos21x—1-COS2%--

【解析】对于选项A：因为z、.I4、21-sin2x,

g(x)=sm

222

所以函数g(x)的最小正周期为7=,=兀，故A正确；

111Px

对于选项B：因为〃％)+〃_%)=—L_+——=」—+_J=l,

/e'+le-%+le"+lex+l

所以函数/(X)的图象关于点成中心对称，故B正确;

对于选项C：因为g(x)+g(-x)=ls；2x+lsm；(-x)=］,

所以函数g(%)的图象关于点［o,成中心对称，

即函数〃尤)与g(x)的图象均关于点成中心对称，

因为〃0)=g⑼=；，即1°，!|为函数与g(%)的一个交点，

当x>0,函数“力与g(x)的图象有“cN个交点，

则当x<0,函数/(尤)与g(x)的图象有个交点，

综上所述：函数〃尤)与g(x)的图象有2〃+1个交点，为奇数个，故C错误;

兀［11

对于选项D：当XG-,71时，则e">e°=l，所以/(无)=F—<一，

2''e+12

/x1-sin2x

且21£[兀,2兀],sinxe[-1,0],g⑺:一；-er1

所以/(x)＜；＜g(x),故D正确；

故选：ABD.

11.记A,8为随机事件，下列说法正确的是()

A.若事件A,B互斥,P(A)=g2⑻=g，尸(,邛=|

112

B.若事件A,8相互独立，P(A)=-,P(B)=-,则尸3

C.若P(A)=g,尸(中)=3,P(引方)=|，则P(B)W

D.若P⑷弓，P(A|B)=|,P(A|B)=|,则P国A)=：

【答案】BC

---11-

【解析】P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1--+——P(AB)

--1-1

P(B)=P(AB)+P(AB)=P(AB)=j,AP(AB)=-,A错.

P(AiB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)B对.

23233

令P(B)=xP回=1-X,尸回耳=需=竽1,

,-.P(AB)=|(l-x),

--——3311

P(A)=P(AB)+P(AB)=-x+-(l-x)=l--,=C对.

池力甯1ip」“错,

V17P(A)「⑻P；(A尸)产Lj_6

2

故选：BC.

12.已知曲线G：+y3-6孙=O(x>0,y>0),贝!j()

A.曲线G关于直线丁=%轴对称

B.曲线G与直线x+y—6=0有唯一公共点

c.曲线G与直线x—y+l=0没有公共点

D.曲线G上任意一点到原点的距离的最大值为3后

【答案】ABD

【解析】对A,将(。力)、(仇。)代入有4+63—6次7=0都成立，即曲线G关于直线y=x轴对称,

A对；

对B,将y=6-x代入曲线d+(6—x)3—6x(6—x)=0,整理得6x+9=(x—3y=0,

所以％=y=3,即曲线G与直线x+y—6=0有唯一公共点(3,3),B对；

对C,将丫=尤+1代入曲线d+(x+i)3—6x(x+l)=0,整理得2/—3d—3%+1=0,

令/(幻=2/-3/-3x+l,贝|]/口)=3(2/—2x-1),且x>0,

所以在(上手,+oo)上"X)>0,〃x)递增，(0,上手)上八X)<0,7*)递减，

又/(0)=1>。，/(1)=6>0,而乎—1<0，

所以/⑺在(0,+8)上有两个零点，C错；

7T

对D,令曲线G上任意一点(rcosarsin。)且。€[0,万],且到原点距离为小

6cos6^sin6cossin

所以「(cos30+sin30)=6r2cos6sin8,则〃

cos3^+sin30(cos0+sin6)(1—cos0sin3)

若，=。05。+51口。=&5111(。+二)£[1,0],则cosesin8=^——-

42

6(»-1)12

所以厂二"+

Z(3-/2)3/"

令y=3”,且问1,伪,则y'=3(l—d)<0,即/e[1,0]上y单调递减,

所以r=—9+上方在f€口,应]上单调递增，故Gax=--"+'2户=3贬,D对.

t3t—t7Z3-y2—A/2

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.

13.随机变量J有3个不同的取值，且其分布列如下:

44sin&4cos。2sin2a

j_j_

Pa

44

则EC)最小值为.

【答案】［

【解析】依题意知工+工+。=1,则。=,,则£'0=5也£+<205。+51112£,

442

[tz+工],则/e[―,

设♦=sin。+cosa=42sin

2

故sin2a=(sina+cosa)2—1=/一1,所以£(j=/+1_]=]%+；)一5

4

当”——£「―时，E(J)取最小值一二，

2L」4

故答案为：---

4

14.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为3；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为:•假

3/

定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑

子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为.

【答案】—

72

【解析】分两种情况讨论：

(1)第一局甲胜，第二局乙胜：

若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为:，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为:，

若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为十，

1211117

所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为《=+;

(2)第一局乙胜，第二局甲胜：

12

若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为可，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为鼻，

若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为1,

1121125

所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为吕二%乂彳乂彳+彳乂彳乂以二”.

23322318

7541

综上所述，甲、乙各胜一局的概率为.

241872

41

故答案为：—

72

15.已知/(无)=◎?+%,g(x)=1~C°SX,若对VX|N1,天，eR使〃xj4g(x2)成立，则实数

2+sinx

。的取值范围是

3

【答案】—OO----------

16

【解析】令左=1c°s*,则左sinx+cosx=l—2左，即正+lsin(x+。)=1一2左，

2+sinx

.,、l—2k