湖南省长沙市2024届高三年级下册月考（七）数学试题（含答案与解析）

雅礼中学2024届高三月考试卷（七）

数学

（时量120分钟，满分150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知全集。={2,4,6,8］。，12},"={4,6,8},N={8,1。},则集合{2」2}=（）

A.MeNB.McNC.Cu（MuN）D.N）

2.下列命题正确的是（）

A.是"e7"<e"”的充分不必要条件

B.命题：Vx>O』nx<%-1的否定是：3x0>0,ln%0>x0-1

C.sinx+=-cosx

YI2

D.函数yn2——^在（-1,+cQ）上是减函数

•X\J-

3.若复数z满足|z+2i|+|2-2i|=8,则复数z在复平面内所对应点的轨迹是（）

A椭圆B.双曲线C.圆D.线段

32

4.已知。是二ABC所在平面内一点，AD=-AB+-AC,贝U（）

3-32

A.BD=-BCB.BD=-BCC.BD=-BCD.BD=-BC

5523

5.我们把由0和1组成的数列称为0-1数列，0-1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把

斐波那契数列｛匕｝（大=耳=1,%+2=月+月+i）中的奇数换成。，偶数换成1可得到0-1数列｛an｝,记

数列｛4｝的前〃项和为S“，则Si。。的值为（）

A.32B.33C.34D.35

6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施

白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外

壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4

厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位:平方厘米）（）（附：^49»12.2）

A.3471B.2771C.20KD.18兀

2222

7.已知椭圆l+二=1（。〉6〉0）与双曲线二—2r=1（机〉0,〃〉0）有共同的焦点可，F2,且在第一

abmn

7T

象限内相交于点P,椭圆与双曲线的离心率分别为4.若/耳。耳=可，贝!02的最小值是

A/2C.BD.-

A-—2

T22

c4/士2cos40+cos80/、

8.求值：----------------二()

sin80

C.-43D.—昱

A.73B.显

33

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，

小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（）

。认购一成交

A.日认购量与日期正相关

B.日成交量的中位数是26

C.日成交量超过日平均成交量的有2天

D.10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量

10.抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰

富的性质产生了无穷的魅力.设A3是抛物线C:/=4y上两个不同的点，以4(%,%),5(9,%)为切点

的切线交于尸点.若弦A3过点/(0』)，则下列说法正确的有()

A.=-4

B.若石=2,则A点处的切线方程为％—丁―1=。

C.存在点尸，使得八4./>3>0

D.面积的最小值为4

11.已知函数“x)=(x+D(eX—x—l),则下列说法正确的有

A.7(%)有唯一零点

B.7(%)无最大值

C.”力在区间(1,+8)上单调递增

D.%=0为了(%)的一个极小值点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社、戏剧社、魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿

者只分配到1个社团、每个社团至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有种

13.已知圆G：f+(y—2尸=1与圆。2：(%-2)2+(y—=4相交于A,B两点，则*■(G，+。⑻=

14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆

的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形

的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC外接圆的半径为2,且三条圆弧沿，48。三

边翻折后交于点P.若钻=3,则sin/B4C=；若AC:AB:5c=6:5:4,贝U

PA+PB+PC的值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

15.人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类

的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面

面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其

数据的统计结果如下表所示：

服务业就业人数的

ChatGPT应

合计

用的广泛性

减少增加

广泛应用601070

没广泛应用402060

合计10030130

（1）根据小概率值。=0.01独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业

人数的增减有关？

（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3

人，记抽取的3人中有X人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X的分布列和均值.

2_n(ad-bc)2

",(a+/?)(c+d)(i+c)(b+d)其中n=a+b+c+d.

a0.10.050.01

3841

Xa2.7066.635

16.如图，在四棱锥夕—ABC。中，P41.平面ABC。尸A=A5=3C=2,AD=C2/A3C=120.

(1)求证：平面R4C_L平面夫5。；

(2)若点M为PB的中点，线段尸C上是否存在点N,使得直线与平面PAC所成角的正弦值为

正.若存在，求娶的值；若不存在，请说明理由.

2PC

17.如图，圆C与x轴相切于点T(2,0),与丁轴正半轴相交于M,N两点(点M在点N的下方)，且

\MN\=3.

(2)过点M任作一条直线与椭圆二+二=1相交于两点A3,连接AN、BN,求证:

84

ZANM=ZBNM.

18.已知函数/(X)=仙1¥—办2一3%(.£R).

（1）若X=1是函数力的一个极值点，求实数。的值;

（2）若函数/（%）有两个极值点花,9，其中西＜々，

①求实数。的取值范围；

②若不等式2axi+0吨＞3左+1恒成立，求实数上的取值范围.

19.对于无穷数列{%},若对任意相,〃eN*,且mW",存在左eN*，使得曝+g=q.成立，则称{%}

为“G数列”.

（1）若数列{%}的通项公式为仇=2”，试判断数列{〃}是否为“G数列”，并说明理由；

（2）已知数列{4}为等差数列，

①若{4}是“G数列"，q=8,%eN*,且%＞q,求与所有可能的取值；

②若对任意〃eN*，存在左eN*，使得％=S”成立，求证：数列{4}为“G数列”.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知全集。={2,4,6,8］。,12},加={4,6,8},N={8,”则集合{2,12}=（）

A.MeNB.McNC.Cu（MuN）D.CV（MN）

【答案】C

【解析】

【分析】根据交集、并集、补集的定义分别计算各选项对应的集合，从而可得正确的选项.

【详解】MLJN={4,6,810},而M「N={8},

故a（MUN）={2,12},a（MN）={2,4,6,10,12},

故选：C.

2.下列命题正确的是（）

A."Inmvln/z”是“记＜e"的充分不必要条件

B.命题：V%>0/nxKx—l的否定是：3x0>O,lnxo>x0-1

c.sinx+^Ucosx

龙+2

D.函数yn2---在（f0,T7（一1,+8）上是减函数

■X\L

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A,根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B,利用诱

导公式判断C,利用特殊值判断D.

【详解】对于A：由函数y=lnx为定义在（0,+。）上单调递增函数，因为可得

0<m<n,

又因为函数y=e，为单调递增函数，可得e"，<e"，即充分性成立；

反之：由e"'<e"，可得能<〃，当私7?小于。时，此时没意义，即必要性不成立，

所以是"e"'<砂”的充分不必要条件，故A正确；

对于B：命题：Vx>O』nx<x-l的否定是：3x0>O,lnxo>x0-l,故B不正确；

对于C：sin[x+£]=sin[x+]]=cosx,故C不正确；

对于D：当％=—2时y=0,当％=0时y=2,但—2<0,可得0<2,

YI2

所以函数y=——在（-,—1）（―1,y）上不是减函数，故D不正确；

故选：A.

3.若复数z满足|z+2i|+|z-2i|=8,则复数z在复平面内所对应点的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.圆D.线段

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，利用复数的几何意义，以及椭圆的定义，即可求解.

【详解】设尸（x,y）,耳（0,2）,鸟（0,—2）,复数z对应点尸,

因为复数z满足|z+2i|+|z—2i|=8,

由复数的几何意义，可得|尸闾+|尸周=8=2a>闺闾=4=2c,

所以复数Z对应的点满足椭圆的定义，复数Z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆.

故选：A.

32

4.已知。是.ABC所在平面内一点，AD=-AB+-AC,贝|()

2332

A.BD=-BCB.BD=-BCC.BD=-BCD.BD=-BC

5523

【答案】A

【解析】

【分析】由平面向量线性运算可得.

-3-232

由AD=—AB+—AC,得+=—AB+—AC

5555

得3。=—gAB+gAC,得3£>=g(—AB+AC)=gBC,

故选：A

5.我们把由。和1组成的数列称为0-1数列，0-1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把

斐波那契数列｛匕｝(E=6=1,月+2=%+月用)中的奇数换成o,偶数换成1可得到o—1数列｛%｝,记

数列｛«„｝的前〃项和为s„,则s100的值为()

A.32B.33C.34D.35

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求得数列的前9项，通过观察找到规律，继而可求.

【详解】因为耳=8=1，r+2=居+%+「

所以骂=2,且=3,骂=5,耳=8,耳=13,耳=21,&=34,,

所以数列｛4｝的前若干项为：

q—a,=0,4Z3—-1,a1—0,—0,a$~1,a,—0,i2g=0,—1,

贝ljq+2+。3=%+%+Q=%+。8+°9==1，

所以S100=33x1+0=33.

故选:B.

6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施

白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外

壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4

厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（）（附：土12.2）

A.34KB.2771C.20兀D.18兀

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意结合圆台的侧面积公式分析求解.

【详解】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为民，

由题意可知：火=4.2/=1.4,则圆台的母线长/="2+（4.2—14）2=4，［函,

所以其侧面积为兀x（4.2+1.4）x4a^“兀x（4.2+1.4）x4xl.22“27兀.

故选：B.

2222

7.已知椭圆=+:=1（。〉6〉0）与双曲线J—2r=1（机〉0,〃〉0）有共同的焦点耳，F2,且在第一

abmn

TT

象限内相交于点P,椭圆与双曲线的离心率分别为G，%.若8=9，贝Ue「e2的最小值是

AJ_R6C也2

2X.D.----x_z.----LnJ.

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

设共同的焦点为(-c,0),(c,0),设归耳|=s,|。闾=/,运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定

理和基本不等式，即可得到所求最小值.

【详解】解：设共同的焦点为(-c,0),(GO),

设归国=s,|「鸟|=/,

由椭圆和双曲线的定义可得s+/=2a,s—t—2m,

解得s=a+t—a—m,

TT

在中，公职=七,

可得闺可2=\PF^+\PF^\-2\PF^\PF^-cos

AFXPF2,

即为402=(〃+加)2+(6z—m)2—(a+m)(a—m)=a2+3m2,

-a3m-/

即61tl有一r+—^=4,

cC

13“

即为万+二=4,

G%

可得e「e22岑，当且仅当62=百弓时，取得最小值显,

V

故选C.

【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

c4/士2cos40+cos80/、

8.求值：----------------=()

sin80

A.73B.且C.-73D.一立

33

【答案】A

【解析】

【分析】易知cos40=cos12。-80,再利用两角差的余弦公式计算可得结果.

［详解］2cos40+cos80_2cos（120-80）+cos80

sin80-sin80

2（cosl20cos80+sinl20sin80）+cos80qsin80

一sin80-sin80一

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，

小明同学根据折线图对这7天的口认购量与口成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（）

A.日认购量与日期正相关

B.日成交量的中位数是26

C.日成交量超过日平均成交量的有2天

D.10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量

【答案】BD

【解析】

【分析】根据正相关的定义结合图象即可判断A；根据中位数的定义结合图象即可判断B；根据图中数据进

行计算即可求得平均数，即可判断C；根据图中数据进行计算即可判断D.

【详解】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以A错;

将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26,所以B对;

13+8+32+16+26+38+166

日平均成交量为亡42.7

7

超过42.7的只有一天，所以C错;

10月7日认购量的增量为276—112=164,

成交量的增量为166-38=128,所以D对,

故选:BD.

10.抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰

富的性质产生了无穷的魅力.设A3是抛物线C:/=4y上两个不同的点，以4（%,X）,5（%,%）为切点

的切线交于尸点.若弦A3过点b（0』），则下列说法正确的有（）

A.石泡=一4

B.若罚=2,则A点处的切线方程为％—y—1=。

C.存在点尸，使得R4.P3>0

D..MB面积的最小值为4

【答案】ABD

【解析】

【分析】联立方程组，结合韦达定理，可判定A正确；求得/=得到切点坐标得出

切线方程y=；X]X-进而可判定B正确；由直线AP的斜率为gx1,直线的的斜率为:々，得到

111

:玉九2=一1，可判定C错误；由过点5的切线方程为y=%石9，结合弦长公式，得到

3

S.=4（1+左2）5,可D正确.

y=kx+1

【详解】对于A中，设直线A3:y=Ax+l,联立方程组I1“，整理得7―4乙—4=0，

x=4y

再设4（外,%）,3（%2，%），则=44,西・％2=—4,所以A正确；

对于B中，由抛物线公=4丁.可得y=：入2,则/=；x,

则过点A的切线斜率为gx],且％=；#，即“占,3",

1,1/、11,

则切线方程为：y——x1=—xl（^x—,即y=5尤]%—1王，

若石=2时，则过点A的切线方程为：x-y-l=Qf所以B正确；

对于C中，由选项B可得：直线AP的斜率为,七，直线5P的斜率为！马，

22

因为=z玉%2=—L所以APLE0,即P4，PB=0，所以C错误；

11

对于D中，由选项B可知，过点3的切线方程为y=]入2%9

联立直线PA,PB的方程可得尸(2人,—1),kpF=—[kpF-kAB=-1,PFLAB,

所以SABP=；|A5Hp司，

2

\AB\=y/l+k\xx-X2\=J1+左2J(%1+々)2-4%.%2-J1+左2«6k2+16=4(1+攵2),

IPF\=7(2Z:-0)2+(-l-l)2=44k2+4=2y/1+k2,

3

则sABP=4(1+左2)5,当左=0时，％BP有最小值为4,所以D正确.

故选：ABD.

11.已知函数〃x)=(无+l)(e-尤—1),则下列说法正确的有

A.7(九)有唯一零点

B.7(%)无最大值

C."%)在区间(1,+8)上单调递增

D.%=0为7(%)的一个极小值点

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函数的零点判断A；利用导数探讨函数/⑺在(2,+co)上的取值情况判断B；利用导数探讨单

调性及极值情况判断CD.

【详解】对于A,依题意，/(-1)=/(0)=0,即x=—1和％=0是函数〃x)=(x+l)(ex—%—1)的零

点，A错误；

对于B,当尤>0时，令〃(x)=e*—x—l,求导得a'(x)=e*-l>0,函数”x)在(0,+co)上递增，当

%之2时，w(x)>e2-3>l,

而>=尤+1在(0,+。)上递增，值域为(1,+8),

因此当工22时，/(x)>x+l,则/(%)无最大值，B正确；

对于C,/(x)=(x+2)eT-2x-2,

令g(x)=(x+2)e，-2x-2,求导得/(x)=(x+3)e*-2,

当x>0时，令7i(x)=(x+3)e*-2,则/(x)=(x+4)e*>0,即g'(x)=/z(x)在(0,+。)上递增，

g'(x)>g，(o)=1>0,则_ra)=g(x)在(0,+向上递增,r(x)>r(o)=o,

因此了(左)在(0,+。)上递增，即〃%)在(1,+8)上单调递增，C正确；

2尤+2

对于D,当一IvxvO时，(p(x\=ex-------，

v7x+2

2

求导得“('=6-食+2)2，显然函数。(x)在(TO)上递增，

而夕'(—1)=』—2<0,0'(0)=；>0,则存在％1,0),使得”(尤o)=O，

当x«Xo,O)时,”(尤)>0,函数0(x)在(％,0)上单调递增,则0(%)<必0)=0,

v

即当尤e(九0,。)时，e-<^—则/'(x)=(X+2)e，—2x—2<0,又/'(0)=0,

x+2

因此x=0为八％)的一个极小值点，D正确.

故选：BCD

【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：

①直接求零点：令/(x)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间切上是连续不断的曲线，且/(a)•/(》)〈(),还必须结

合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的

值，就有几个不同的零点.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社、戏剧社、魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿

者只分配到1个社团、每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有种

【答案】240

【解析】

【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好4组安排参加4个社团参加志愿活动，结

合分步计数原理，即可求解.

【详解】根据题意，分2步进行分析：

①将5名学生志愿者分为4组，有C；=10种分组方法，

②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有A：=24种情况，

贝IJ有10x24=240种分酉己方案.

故答案为：240.

13.已知圆G：犬+（y—2）2=1与圆C2:（x—2）2+（y—1尸=4相交于A,3两点，则QC2-（QA+。⑻=

【答案】2

【解析】

【分析】易知两圆公共弦AB所在的直线方程为2x-y+l=0,C1（0,2）,C2（2,l）,由点到直线距离公式可

,1

得向量GA在向量GC?方向上的投影为1=而，可得结果为2.

【详解】由题意可知两圆公共弦A3所在的直线方程为2x—y+l=0，G（0,2），G（2』），如下图所示：

所以点G到直线2x—y+l=0的距离为4=言,|。］。2|=逐，

又易知，A3，所以向量GA在向量GG方向上的投影为d=有,

所以•GA=君义美=1,同理可得QC2GB=1,

所以CIG-（GA+G5）=2.

故答案为：2

14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆

的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形

的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角cABC外接圆的半径为2,且三条圆弧沿AABC三

边翻折后交于点尸.若AB=3,则sin/QAC=；若AC:AB:5C=6:5:4,则

PA+PB+PC的值为.

【答案】①.—②.—##5.75

44

【解析】

【分析】第一空，由正弦定理求得sin/ACB=2,可得COS/AC5=Y7,利用三角形垂心性质结合三

44

角形诱导公式推得sin/R4C=cos/AGB,即得答案；

第二空，^NCAB=e,NCBA=a,NACB=/3,由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合

正弦定理表示出PA+PB+PC=4(cos0+cos«+cos/3),即可求得答案.

【详解】设外接圆半径为R,则R=2，

AB

由正弦定理，可知------------=2R=4,

sin/ACBsin^ACB

3立,

即sin/ACB=—,由于ZACB是锐角，故cos/ACB

4丁

JT

又由题意可知尸为三角形ABC的垂心，即APL5C,故，R4C=——ZACB,

2

所以sin/P4c=cosZACB=—；

4

设ZCAB=aNCBA=a,ZACB=13,

jrjrjr

则NPAC=5—4,/PBA=5—e,/丛3=万—o,

由于AC:AB:5C=6:5:4,不妨假设AC=6,A5=5,5C=4,

由余弦定理知cos"62+5、42/42+5-2」」+6-529

2x6x542x4x582x4x616

jrjr

设ADCE1尸为三角形的三条高，由于NEC3+NEBC=—,NPCD+NCPD=—,

22

故NEBC=NCPD,

贝ij得ZAPC=7i-ZCPD=7i-NEBC=兀一/ABC，

PCPAACAC

=27?=4

所以.(7i—.，兀/—sin/APC

smQ引叫2刊sin/ABC

45AB

=27?=4

sin^APBsin^ACB

31923

所以P4+P3+PC=4(cos6+cosa+cos£)=4一——।——

48164

故答案为：；—

44

【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能

灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

15.人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类

的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面

面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其

数据的统计结果如下表所示：

ChatGPT应服务业就业人数的合计

用的广泛性减少增加

广泛应用601070

没广泛应用402060

合计10030130

（1）根据小概率值a=0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业

人数的增减有关?

（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3

人，记抽取的3人中有X人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X的分布列和均值.

n(ad-be)?

附：/,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

X。2.7063.8416.635

9

【答案】（1）没有（2）分布列见解析，-

【解析】

【分析】（1）根据题意求力2,并与临界值对比判断；

（2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望.

【小问1详解】

零假设为Ho：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.

+口信主用物短汨2130x（60x20—40x10）2

根据表中数据得Z-=---------------------—»6.603<6.635=x

70x60x100x30°n

所以根据小概率值a=0.01的独立性检验，

没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.

【小问2详解】

由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中,

有一x5=3人认为人工智能会在服务业中广泛应用,

100

有一x5=2人认为人工智能不会在服务业中广泛应用,

100

则X的可能取值为1,2,3,

233

又尸（X=］）=罟c'c$3%=2）=罟cc'=3|，尸（X=3）磊c三1

所以X的分布列为

X123

331

P

10510

331Q

所以E（X）=1X3+2X2+3X—=M

V'105105

16.如图，在四棱锥尸―ABCD中，/%，平面48。。,24=46=8。=2,")=。。,/46。=120.

(1)求证：平面？ACJ_平面尸8D；

(2)若点M为P3的中点，线段尸C上是否存在点N,使得直线与平面尸AC所成角的正弦值为

巫.若存在，求上的值；若不存在，请说明理由.

2PC

【答案】(1)证明见解析

PN1PN3

(2)存在,---———----=一

PC4〜PC8

【解析】

【分析】(1)设AC的中点为。，根据题意证得6r)_LAC和证得3D工平面R4C,进而证

得平面PAC±平面PBD.

（2）以OCOD所在的直线为x轴和y轴，建立空间直角坐标系，设PN=XPC（OW2<1）,分别求得

平面PAC和MN=fl岳——241，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.

I22J

【小问1详解】

设AC的中点为。，因为46=6。，所以

因为AD=CD,所以“>，AC,所以5。,。三点共线，所以

因为平面ABC。，5Du平面ABCD，所以5DLR1，

因为AC=A,Q4u平面PAC,ACu平面R4C,所以5D1平面PAC,

因为5。匚平面PBD,所以平面PAC_L平面尸8D.

【小问2详解】

以OCOD所在的直线为x轴和y轴，过。点作平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，则C（后,0,0）,网-若,0,2）,3（0,-1,0）,

（1）

因为M为PB的中点，所以I—2—24J，

设PN=2PC（O<2<1）,所以N（2后—君,0,2—2%）,

所以2W=（2岳一立，工,1—2%],

[22J

由（1）知8D1平面R4C,所以平面P4C的一个法向量为“=（0,1,0）,

设直线MV与平面P4C所成角为9,

।,।MN'n\1J2

则sin©=\cosMN,n\=-----；-L=——/=——，

11MN\\n\2.V1622-102+22

PN1PN36

即当——=一或一=—时，直线MN与平面R4c所成角的正弦值为注.

PC4PC82

ZA

17.如图，圆C与无轴相切于点T（2,0）,与y轴正半轴相交于两点（点M在点N的下方），且

\MN\=3.

（2）过点以任作一条直线与椭圆二+二=1相交于两点A3,连接⑷V、BN,求证:

84

ZANM=ZBNM.

【答案】（I）（x—2『+卜—=学（II）见解析

【解析】

【详解】分析：（1）设圆心坐标为（2,）,根据=3.可由勾股定理求出r,求得圆的方程.

（2）讨论当斜率不存在时NAAZM=N3NM=0；当斜率存在时，设出直线丁=区+1方程，联立椭圆方

4左6

—

程，利用韦达定理表不出为+%=....——~—rry，表不出左.、kBN,即可判定

J.十乙KJ.十乙K

ZANM二ZBNM.

'：MN=3,:.r2=f-^+22=—,r=-

详解：⑴由题可知圆心的坐标为（2j）.

⑵42

.••圆C方程为：（x—2『+（y—

(2)由圆C方程可得M(0,l),N(0,4)

①当A3斜率不存在时，ZANM^ZBNM=0

②当A5斜率存在时，设A5直线方程为:y=Ax+L设4(%,%),5(9,%)

y=kx+l

22(1+2左2)*2+4依-6=0x,+x^=——=-----^—7

x「-iV71-l+2k1-1+2左2

I84

、24――匚1_3仁以1]

,>_%—4工%—4_-3(%+々)_Il+2k^)I\+2k~J_n

KAN+KBN=1==7=u

%x2xxx2o

-1+2公

^AN+^BN~°

综上所述ZANM=ZBNM

点睛：本题考查了求圆标准方程，直线与椭圆的关系，通过韦达定理解决相交弦问题，也是高考的常考

点，属于难点.

18.己知函数/(x)=xlnx-ax2_3MawR).

(1)若X=1是函数/(光)的一个极值点，求实数〃的值；

(2)若函数/(%)有两个极值点石，龙2，其中石<々，

①求实数。的取值范围；

②若不等式2axi+曲%>3上+1恒成立，求实数上的取值范围.

【答案】18.-1

19.①②[1,y)

【解析】

【分析】(1)对函数求导，依题意可得/'(1)=0,解得。=-1,经检验符合题意；

(2)①将函数/(%)有两个极值点转化为方程Inr-2依-2=0有两个不同的正数根，再由函数与方程的思

想可知函数g(力=上二与函数y=2a的图象在(0,+“)上有两个不同交点，利用数形结合可得

②由两极值点的关系通过构造函数可将不等式恒成立问题转化为函数尸(f)=flnr—f+l—左(f—1—lw)<0

对任意的0<f<1恒成立，利用导数并对实数k的取值分类讨论即可求得ke[1,+").

【小问1详解】

易知/'(x)=lnx+l—2ar-3=lnx-2or—2,又x=l是函数〃尤)的一个极值点，

/'(1)=0,即-2a-2=0,r.a=-1.

此时/'(x)=lnx+2x-2,令丸(x)=hu+2x-2,/2'(x)=』+2>0,

X

：.f'(x)=h(x)在(0,+1)上单调递增，且/''⑴=0,

当xe(0,l),/'(x)<0,当xe(l,+8),/'(x)>0,

.■./(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+。)上单调递增，

所以％=1是/(%)的极小值点，即。=-1符合题意；

因此实数。的值为-1.

【小问2详解】

①因为/'(%)=lux-2ax-2,且/(x)=xlnx-ta2-3x(aGR)有两个极值点