山东高考数学课件及世纪金榜答案8市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

第八节应用举例第1页第2页第3页第4页第5页第6页第7页第8页第9页第10页仰角、俯角、方位角有什么区分？提醒:三者参考不一样.仰角与俯角是相对于水平线而言，而方位角是相对于正北方向而言.第11页第12页1.若点A在点C北偏东30°，点B在点C南偏东60°，且AC=BC，则点A在点B（）（A）北偏东15°（B）北偏西15°（C）北偏东10°（D）北偏西10°第13页【解析】选B.如图所表示，∠ACB=90°，又AC=BC，∴∠CBA=45°，而β=30°，∴α=90°-45°-30°=15°.∴点A在点B北偏西15°.第14页2.在200m高山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别是30°，60°，如图所表示则塔高CB为（）（A）（B）（C）（D）第15页【解析】选A.由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，则OC=OA·tan∠OAC在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=AD·tan∠BAD=tan30°=又∵DC=OA=200第16页3.如图所表示，为了测量某障碍物两侧A、B间距离，给定以下四组数据，不能确定A、B间距离是（）（A）α,a,b（B）α,β,a（C）a,b,γ（D）α,β,b【解析】选A.∵当已知a,α,b时不能惟一确定三角形解情况故不能确定AB距离.第17页4.如图，为了测量河宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸标识物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则这条河宽度为______.第18页【解析】如图.在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求河宽度.在△ABC中，∵∠CAB=30°，∠CBA=75°，∴∠ACB=75°，∴AC=AB=120m.在Rt△ACD中，CD=ACsin∠CAD=120sin30°=60(m),所以这条河宽为60m.答案:60m第19页5.一船自西向东匀速航行，早晨10时抵达灯塔P南偏西75°、距塔68海里M处，下午2时抵达这座灯塔东南方向N处，则这只船航行速度等于______.第20页【解析】如图所表示，设MN与PQ交于Q，则MQ=68·sin75°PQ=68·cos75°又∠NPQ=45°，∴MN=MQ+QN=（海里），∴这只船航行速度（海里/小时）.答案:海里/小时第21页1.解三角形应用题步骤第22页2.解三角形应用题常有以下几个情形（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量包括到两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件三角形，然后逐步求解其它三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求解.第23页（3）实际问题经抽象概括后，包括到三角形只有一个，所以由已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.第24页第25页测量距离问题【例1】如图所表示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直平面内，B、D为两岛上两座灯塔塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点仰角均为60°，AC=0.1km.（1）求证：AB=BD.（2）求BD.1第26页【审题指导】（1）由已知角度不难求得∠BCD，且易得AC，DC关系，利用三角形全等可得AB=BD.（2）求BD只需将其转化在某一三角形中利用已知条件即可求.第27页【自主解答】（1）在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°-∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1km.又∠BCD=180°-60°-60°=60°，∴△ACB≌△DCB所以BD=BA.第28页（2）在△ABC中，即第29页【规律方法】1.利用示意图把已知量和待求量尽可能集中在相关三角形中，建立一个解三角形模型.2.利用正、余弦定了解出所需要边和角，求得该数学模型解.3.应用题要注意作答.第30页【变式训练】某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C和D处，已知CD=6km,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时，测量得∠BCD=30°，∠BDC=15°，如图，求炮兵阵地到目标距离.第31页【解析】在△ACD中，∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°，CD=6，∠ACD=45°，依据正弦定理有同理，在△BCD中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°，CD=6，∠BCD=30°，依据正弦定理得又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，依据勾股定理有所以炮兵阵地到目标距离为第32页【例】如图，公路MN和PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.假如受影响，已知拖拉机速度为18千米/小时，那么学校受影响时间为多少？第33页【审题指导】本题利用直线与圆位置关系求解，能够以A为圆心以100为半径作圆，此圆与MN相交弦长即为学校受影响时拖拉机行驶距离，从而可求受影响时间.第34页【规范解答】作AB⊥MN，B为垂足，在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°，AP=160米，（米）.∵点A到直线MN距离小于100米，所以这所中学会受到噪声影响.如图所表示，若以A为圆心，100米为半径画圆，那么圆A和直线MN有两个交点，设交点分别为C、D，连接AC、AD，则AC=AD=100米，第35页结合勾股定理得：CB=DB==60（米），∴CD=120米，学校受噪声影响时间为（秒）.答：学校受影响时间为24秒.第36页【规律方法】处理这类问题关键是理清题意，画出示意图，找到处理问题关键点，以A为圆心以100为半径作圆是处理此题突破口，而后利用直线与圆位置关系求弦长即可.第37页【变式备选】某观察站C在A城南偏西20°方向.由A城出发一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后抵达D处，此时CD间距离为21千米，问这人还要走多少千米才能抵达A城？第38页【解析】设∠ACD=α,∠CDB=β.在△BCD中，由余弦定理得则而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-cosβsin60°在△ACD中，由正弦定理得

第39页（千米）答：这个人再走15千米才能抵达A城.第40页测量高度问题【例2】在一个塔底水平面上某点测得该塔顶仰角为θ,由此点向塔底沿直线行走了30m,测得塔顶仰角为2θ，再向塔底前进又测得塔顶仰角为4θ，则塔高度为多少？【审题指导】此题可画出示意图后，标明已知条件，将高转化到三角形内求解即可.第41页【自主解答】如图，依题意有PB=BA=30，在三角形BPC中，由余弦定理可得所以2θ=30°，4θ=60°，在三角形PCD中，可得=15(m).答：塔高度为15m.第42页【规律方法】1.测量高度时，要准确了解仰、俯角概念.2.分清已知和待求，分析（画出）示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.3.注意竖直线垂直于地面组成直角三角形.第43页【变式训练】如图，测量河对岸旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内两个测点C与D.测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=a，并在点C测得旗杆顶A仰角为60°，则旗杆高AB为______.第44页【解析】在三角形BCD中，由正弦定理得：在直角三角形ABC中，答案:第45页测量角度问题【例3】在海岸A处，发觉北偏东45°方向，距A处nmileB处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A处2nmileC处缉私船奉命以nmile/h速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？第46页【审题指导】本例应首先画出示意图，结合所给两船各按直线航行，相遇时所用时间相同，从而可结构三角形求解.第47页【自主解答】设缉私船用th在D处追上走私船（如图），则有CD=t,BD=10t,在△ABC中，∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC第48页且∴∠ABC=45°,∴BC与正北方向垂直.∵∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船.第49页【规律方法】处理测量问题关键是在搞清题意基础上，画出表示实际问题图形，并在图形中标出相关角和距离，再用正弦定理或余弦定了解三角形，最终将解得结果转化为实际问题解，本例中求出∠ABC=45°，进而得出BC与正北方向垂直非常关键，这对确定∠CBD大小，进而用正弦定理确定∠BCD大小非常关键.第50页【变式训练】如图，当甲船位于A处时得悉，在其正东方向相距20海里B处有一艘渔船遇险等候营救.甲船马上前往救援，同时把消息通知在甲船南偏西30°相距10海里C处乙船，接到信号后乙船沿与AC夹角为θ角方向沿直线前往B处救援，问θ正弦值为多少？第51页【解析】如题图所表示，在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°，由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=202+102-2×20×10×()=700.由正弦定理得即sinθ为第52页第53页三角形中实际应用问题答题技巧【典例】(12分)(·福建高考)某港口O要将一件主要物品用小艇送到一艘正在航行轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里A处，并正以30海里/小时航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.第54页(1)若希望相遇时小艇航行距离最小，则小艇航行速度大小应为多少？(2)假设小艇最高航行速度只能到达30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.【审题指导】首先将本题依据题目所给信息作出示意图，并将问题转化到三角形中利用余弦定理可解(1)，对于(2)中问题则可用余弦定理转化为v与t函数关系式进行求解即可.第55页【规范解答】(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行距离为S海里，如图所表示.在△AOB中A=90°-30°=60°∴………4分故当时，此时即小艇以海里/小时速度航行，相遇时小艇航行距离最小.…………6分第56页(2)由题意可知OB=vt在△AOB中利用余弦定理得：v2t2=400+900t2-2·20·30tcos60°故…………………8分∵0＜v≤30，∴即解得又时，v=30(海里/小时).故v=30时，t取得最小值，且最小值等于.第57页此时，在△OAB中，有OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.………………12分第58页【失分警示】解答本题时有两点易造成失分：一是第(1)问转化为余弦定理后计算错误.二是不会构建v与t函数关系式，不会利用条件解不等式.处理这类问题时以下几点易造成失分：1.对题目所给条件不能作出相关示意图.2.不会将实际问题转化到三角形中利用正、余弦定理求解.3.解题过程中计算失误造成失分.第59页【变式训练】如图，甲船以每小时海里速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船北偏西105°方向B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟抵达A2处时，乙船航行到甲船北偏西120°方向B2处，此时两船相距海里.问乙船每小时航行多少海里？第60页【解析】如图，连接A1B2,由已知第61页又∠A1A2B2=180°-120°=60°,∴△A1A2B2是等边三角形，由已知，A1B1=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°,第62页在△A1B2B1中，由余弦定理，得所以，乙船速度大小为(海里/小时）.答：乙船每小时航行海里.第63页第64页1.(·龙岩模拟）已知A、B两地距离为10km,B、C两地距离为20km,现测得∠ABC=120°，则A，C两地距离为（）（A）10km（B）km（C）km（D）km第65页【解析】选D.如图所表示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700第66页2.（·北师大附中模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后抵达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间距离是（）（A）海里（B）海里（C）海里（D）海里第67页【解析】选A.如图所表示，由已知条件可得，∠CAB=30°∠ABC=105°即AB=40×=20（海里）∴∠BCA=45°∴由正弦定理可得：(海里）.第68页3.（·潍坊模拟）已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间距离为3km,则B船到灯塔C距离为____km.【解题提醒】画出示意图，设出BC长度，利用余弦定了解方程可得.第69页【解析】如图，由题意可得，∠ACB=120°，AC=2，AB=3.设BC=x,则由余弦定理可得：AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos120°,即32=22+x2-2×2xcos120°,整理得x2+2x=5,解得（另一解为负值舍掉）.答案:第70页4.(·南安模拟)如图，公园有一块边长为2等边△ABC地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等两部分，D在AB上，E在AC上，设AD=x,ED=y，则用x表示y函数关系式为_____.第71页【解析】答案:第72页第73页一、选择题（每小题4分，共20分）1.(·潍坊模拟）如图，设A、B两点在河两岸，一测量者在A同侧，在所在河岸边选定一点C，测出AC距离为50m,∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就能够计算出A、B两点距离为（）（A）50m（B）50m（C）25m（D）m第74页【解析】选A.∠B=180°-45°-105°=30°.在△ABC中，由=得AB=100×=50m.第75页2.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮北偏东15°，与灯塔相距20海里，随即货轮按北偏西30°方向航行30分钟后，又测得它在货轮东北方向，则货轮速度为（）（A）20（+）海里/小时（B）20（-）海里/小时（C）20（+）海里/小时（D）20（-）海里/小时第76页【解析】选B.由题意知∠NMS=15°+30°=45°，∠MNS=60°+45°=105°，由正弦定理得,∴MN==10(-),∴货轮速度为=20(-)海里/小时.第77页3.线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km,汽车以80km/h速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h速度由B向C行驶，则运动开始____h后，两车距离最小.（）（A）（B）1（C）（D）2第78页【解析】选C.如图所表示，设过xh后距离为y，则BD=200-80x，BE=50x，∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos60°整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5)∴当x=时y2最小.第79页4.地上画了一个角∠BDA=60°，某人从角顶点D出发，沿角一边DA行走10米后，拐弯往另一边方向行走14米恰好抵达∠BDA另一边BD上一点，我们将该点记为点N，则N与D之间距离为()(A)14米(B)15米(C)16米(D)17米第80页【解析】选C.如图，设DN=xm,则142=102+x2-2×10×xcos60°,∴x2-10x-96=0,∴(x-16)(x+6)=0,∴x=16或x=-6(舍).∴N与D之间距离为16米.第81页5.(·长沙模拟)某游轮在A处看灯塔B在A北偏东75°，距离为nmile,灯塔C在A北偏西30°，距离为nmile,游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°，则C与D距离为()(A)20海里(B)海里(C)海里(D)24海里第82页【解析】选B.在△ABD中，∠ADB=60°，B=45°，由正弦定理得AD==24(nmile).在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°,解得CD=海里.第83页二、填空题(每小题4分，共12分)6.已知函数f(x)=1-sin(2x-)，在锐角△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C对边且f(A)=-，c=3,△ABC面积为3，则边a=_____.第84页【解析】∵f(A)=1-sin(2A-)=-,∴sin(2A-)=.又∵△ABC是锐角三角形，-＜2A-＜,∴2A-=，即A=.由S△ABC=bcsinA=×=3,得b=4.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=42+32-2×4×3×=13,即a=.答案:

第85页7.(·东营模拟）如图,一船在海上由西向东航行,在A处测得某岛M方位角为北偏东α角,前进m(km)后在B处测得该岛方位角为北偏东β角,已知该岛周围n(km)范围内(包含边界)有暗礁,现该船继续东行,当α与β满足条件______时,该船没有触礁危险.第86页【解析】由题可知,在△ABM中,依据正弦定理:解得要使船没有触礁危险需要所以α与β关系满足mcosαcosβ＞nsin(α-β)时船没有触礁危险.答案:mcosαcosβ＞nsin(α-β)第87页8.(·江苏高考改编)某兴趣小组要测量电视塔AE高度H(单位：m).如示意图，垂直放置标杆BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β值，算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,则H=______m.第88页【解题提醒】用H，h表示AD，AB，BD后利用AD=AB+BD即可求解.【解析】由AB=,BD=,AD=及AB+BD=AD，得+=,解得H===124(m).所以，算出电视塔高度H是124m.答案:124第89页三、解答题(每小题9分，共18分)9.某人在山顶观察地面上相距2500mA、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°,同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果准确到0.1m).第90页【解题提醒】解答本题关键是画出示意图，分析题意，然后借助正、余弦定理,求出对应山高.【解析】画出示意图(如图所表示)：设山高PQ=h,则△APQ、△BPQ均为直角三角形，在图(1)中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°.∴AQ=PQ=h,BQ=PQ=h.第91页在图(2)中，∠AQB=57°+78°=135°,AB=2500m,所以由余弦定理得：AB2=AQ2+BQ2-2AQ·BQcos∠AQB，即25002=()2+h2-h·h·cos135°=(4+)h2,∴h=≈984.4(m),所以山高约984.4m.第92页10.(·陕西高考)如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里两个观察点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里C点救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船抵达D点需要多长时间？第93页【解题提醒】在△DAB中，由正弦定理可求DB，在△DBC中，