黑龙江省哈尔滨市2024届高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024届高三第二次模拟考试

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={1,2},B={3,4},定义集合：A^B=^x,y）\x^A,y^B},则集合A*B

的非空子集的个数是（）个.

A.16B.15C.14D.13

2.命题“VxwR,ej-GO”的否定是（)

A.“£R,ex-x-l>0^B."HxwR,(1K0”

C."VXGR,E产一x—lvO”D."HX£R,(V—x—IvO”

3.已知数列{七}为等差数列，4+。2+/=9,a3+a7=10,则。8=（）

A.5B.6C.7D.8

4.已知定义在R上的奇函数满足/（x+2）+/（x）=0,则以下说法错误的是（）

A."0）=0B.〃尤）是周期函数

C.”2024）=1D.〃1）+〃3）"（4）

5.祖胞是我国南北朝时期伟大的数学家.祖晅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平

行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相

等，那么这两个几何体的体积相等”.例如，可以用祖晒原理推导半球的体积公式，如

图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内

挖去一个半径为R,高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平

面a去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何

体的体积相等.若用平行于半球底面的平面a去截半径为R的半球，且球心到平面a的

距离为正R，则平面a与半球底面之间的几何体的体积是（

D.冷炉

6.已知实数。一且">。，则」+丁：方+9取得最大值时,i的值为（）

A.石B.2A/3C.-2^/3D.2百或-2指

7.在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c且c->=26cosA,

则，的取值范围为（）

b

A.（1,A/3）B.（A/2,V3）C.（V2,2）D.（1,2）

22

8.双曲线c：二-2=1的左、右顶点分别为A，4,左、右焦点分别为H，F],过月

ab

作直线与双曲线C的左、右两支分别交于M,N两点.若耳助V,且cos/片Ng=；,

则直线跖4与的斜率之积为（）

二、多选题

9.如图，正方体ABC。-aAGA的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（）

A.两条异面直线RC和BG所成的角为:

4

B.直线BG与平面A3CD所成的角等于7;T

C.点C到面2DG的距离为正

3

D.四面体的体积是:

10.已知复数z°=2+i和z,则下列命题是真命题的有（）

A.若z满足|z-Zo|=Zo+],则其在复平面内对应点的轨迹是圆.

B.若z满足|z-z°|+|z-[|=4,则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆.

C.若z满足|Z-Z0|TZ-^|=2,则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线.

D.若z满足|z+z°+E|=|z-W],则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线.

试卷第2页，共4页

iia

11.若尸(A)="P(B)=-,P(冏A)=［则下列说法正确的是()

A.；B.事件A与8相互独立

c.P(AJ3)=AD.P(B|A)=|

三、填空题

12.已知向量。=(O,-3),万=(1,根)，若向量b在向量d上的投影向量为则

m=.

13.已知直线/：(，”+2八一(〃2+1)丫-1=0与圆。：尤2+〉2=4交于人，3两点，则|A到的

最小值为.

14.已知三棱锥尸-ABC的四个面是全等的等腰三角形，且上4=2,PB=AB=3,则

三棱锥尸-ABC的外接球半径为；点。为三棱锥P-ABC的外接球球面上一动点,

产。=且时，动点。的轨迹长度为.

2

四、解答题

(1-XXX।IXXXI

15.已知向量根=［。3$亩5，$苗5+8$5卜71=12cos-,sin--cos-I,且函数

/(X)=加・〃-。在xeR上的最大值为2-石.

⑴求常数。的值；

(2)求函数/(x)的单调递减区间.

16.已知尸是抛物线C:4x的准线上任意一点，过点尸作抛物线C的两条切线

尸3切点分别为A3.

(1)求抛物线焦点坐标及准线方程；

(2)设直线P4,PB的斜率分别为匕，k2,求心心的值.

17.如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3,则称这个数列为“G型

数列”.

⑴若数列｛4｝满足2。.=5”+1,判断｛4｝是否为“G型数列”，并说明理由；

⑵已知正项数列｛%｝为“G型数列"，%=1,数列也｝满足〃,=a,+2,〃eN*,也｝是

等比数列，公比为正整数，且不是“G型数列”，求数列｛4｝的通项公式.

18.已知函数〃x）=x-£.

⑴当a=-l时，求的极值;

（2）若存在0＜无。＜）,满足/（lnxo）=/1ln'［求的取值范围.

19.一座小桥自左向右全长100米，桥头到桥尾对应数轴上的坐标为。至100,桥上有

若干士兵，一阵爆炸声后士兵们发生混乱，每个士兵爬起来后都有一个初始方向（向左

或向右），所有士兵的速度都为1米每秒，中途不会主动改变方向，但小桥十分狭窄，

只能容纳1人通过，假如两个士兵面对面相遇，他们无法绕过对方，此时士兵则分别转

身后继续前进（不计转身时间）.

⑴在坐标为10,40,80处各有一个士兵，计算初始方向不同的所有情况中，3个士兵

全部离开桥面的最长时间（提示：两个士兵面对面相遇并转身等价于两个士兵互相穿过

且编号互换）；

（2）在坐标为10、20、30............90处各有一个士兵，初始方向向右的概率为设最

后一个士兵离开独木桥的时间为T秒，求T的分布列和期望；

⑶若初始状态共2〃+1个士兵（心1）,初始方向向右的概率为计算自左向右的第〃+1

个士兵（命名为指挥官）从他的初始方向离开小桥的概率P（〃），以及当P（”）取得最大

值时"取值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】

先确定集合4*8有四个元素，则可得其非空子集的个数.

【详解】根据题意，A*B={(x,y)|xeA,ye3}={(l,3),(l,4),(2,3),(2,4)},

则集合A*3的非空子集的个数是2J1=15.

故选：B

2.D

【分析】

利用“含有一个量词命题的否定”形式即可得出答案.

【详解】根据全称量词命题的否定可知，

命题“VxeR,e「x-120”的否定是“HxeR,eA-^-l<0，'.

故选：D

3.C

【分析】

借助等差中项的性质计算即可得.

【详解】由％+的+/=3%=9,故%=3,由/+%=2%=1°，故为=5,

又0,+。8=2%,即有3+08=2x5=10,故。8=7.

故选：C.

4.C

【分析】

借助题目条件可得函数的周期性，结合奇函数性质与函数的周期性逐项判断即可得.

【详解】对A：由〃x)为定义在R上的奇函数，故〃0)=-〃0),gp/(0)=0,故A正确;

对B：由〃x+2)+〃x)=0,则/(x+4)+/(x+2)=0,即有〃x)=〃x+4),

故/(x)是以4为周期的周期函数，故B正确；

对C：由2024=4x506,/(2024)=/(0)=0,故C错误；

对D：由〃x+2)+/(x)=0,故〃3)+〃1)=0,又/(4)=〃0)=0,

答案第1页，共14页

故〃1)+〃3)=〃4),故D正确.

故选：C.

5.C

【分析】

分别求得面。截圆锥时所得小圆锥的体积和平面。与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖

晒原理可求得结果.

【详解】平面a截圆柱所得截面圆半径

平面a截圆锥时所得小圆锥的体积匕=1口2.正衣=克兀R,

13212

又平面a与圆柱下底面之间的部分的体积为匕=兀炉R=也兀炉

222

根据祖胞原理可知：平面a与半球底面之间的几何体体积

V=V,-V,=—7t7?3--717?3=还兀/.

2121212

故选：C.

6.D

【分析】

利用基本不等式求解.

2ab----l-a-b-<----------2----=-----------

【详解】6?2+b2+a2b2+9-2ab+a2b2+9,,,9,

0Z+ab-\----

ab

gIg~

又ab>0,所以abd---->2Jab=6,

abVab

mi、i2ab1

所以―72272-n-T，

a+b+ab+94

当且仅当必=3,即a=0=或a=Z?=-取等号,

所以a+b=2-\/3或a+Z?=—2^3.

故选：D

7.B

【分析】

利用三角恒等变换与正弦定理的边角变换，结合正弦函数的性质得到A=25,从而利用锐

角三角形的性质得到B的范围，再利用正弦定理转化所求即可得解.

答案第2页，共14页

【详解】因为c-6=2匕cosA,则由正弦定理得sinC-sinB=2sin3cosA,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin5,

所以sinAcosB+cosAsinB-sin^nZsinBcosA,

则sinB=sinAcosB-sinBcosA-sin(A-B),

因为的是锐角三角形,则。＜A苦,。＜2唠则-5苫,

所以3=A—8,即A=23,则。=兀一4一3=兀-33,

兀

广

0<2B<2-r

,解得则正<COSB<3

所以

0<K-3B<-6422

2

广广…asinAsin2Bcr-\

所以：=「;=—^T=2cos3£血,石

bsinBsinB'7

故选：B.

8.C

【分析】

设出卜加，借助双曲线定义表示其它边后，借助余弦定理计算出。与加的关系，再次借

22

助余弦定理可得。与C的关系，设出点可得与-与=1,代入直线MA与M4的

ab

斜率之积额表达式中化简即可得.

【详解】由双曲线定义可知1gHM^1=2〃，\MF2\-\MFx\=2a,

|A^|=5m,\NF2\=5m-2af

(4m)2+(5加一-+2〃y

由余弦定理可得cosN耳Ng=

2x4mx(5m-2tz)4

21o

整理可得：m=-a,故|N£|=wa,照|=》,

答案第3页，共14页

则有cos/F]NFz整理可得：8/=302,

4

设〃则有,\=1,即温=/+和=〃211+1_

%=4-1=--!=-

2

x0+aa33.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出|昭仁机并借助双曲线定义，结合余弦定理得到

。与加的关系，即可表示各边，从而得到。与。的关系.

9.BCD

【分析】

建立适当空间直角坐标系后借助空间向量逐项计算与判断即可得.

【详解】

建立如图所示空间直角坐标系。-孙z,

对A：9(0,0,1)、C(0,l,0)、8(1,1,0)、q(0,1,1),

-11

则0c=(0,1,-1)、BG=(-1,0,1),故cosD\C,BC\==,

故2cBe1=9j1r,即异面直线2c和BG所成的角为三7T，故A错误;

对B：=(-1,0,1),由z轴_1_平面ABCD,故平面ABCD法向量可为加=(0,0,1),

当故直线叫与平面钿。所成的角为:，故B正确;

贝UcosBC、,m=—

V2-1

对C：BC=(-1,0,0),=(1,1,0),g=(-1,0,1),

答案第4页，共14页

设平面BOQ的法向量为〃=（x,y,z）,则有•1c，

令尤—1,则“一（l,-l,l）,故=1）=6,故C正确；

\n\733

对D：易得四面体BZ）GA为正四面体，

则%=%C£>.4sle向一4%.4乌6=l-4x；xgxlxlxl=g,故D正确.

故选：BCD.

10.AB

【分析】

根据复数的几何意义，结合圆、椭圆、双曲线、抛物线定义，对选项逐一进行分析即可得出

结论.

【详解】设z=x+jd（x,yeR）,由z。=2+i可得％=2-i；

对于A,若z满足|z-z°kzo+*=2+i+2-i=4,即可得|x_2+（y_l）i|=4,所以

（x-2）+（y-1）=16,

因此其在复平面内对应点的轨迹表示以（2,1）为圆心，半径为4的圆，即A正确；

对于B,若z满足|z-z0|+|z-司=4,在复平面内表示点（x,y）到（2,1）与（2,-1）的距离之和

为4,

又因为（2,1）与（2,-1）之间的距离为2<4,根据椭圆定义可得其在复平面内对应点的轨迹是

椭圆，即B正确；

对于C,若z满足|z-与|-卜-习=2,在复平面内表示点（x,y）到（2,1）与（2,-1）的距离之差

为2,

又因为（2,1）与（2,-1）之间的距离为2=2,不满足双曲线定义，即C错误；

对于D,若z满足|z+Zo+ZoHz_Zo|,可化为|z+q=|z_Zo],

在复平面内表示点（元,y）到（T,0）与（2,-1）的距离相等，其在复平面内对应点的轨迹是直线,

即D错误；

故选：AB

答案第5页，共14页

11.ACD

【分析】

由条件概率公式可判断选项A,D；由相互独立事件的概率乘法公式可判定B；由和事件的

概率公式可判断C.

【详解】由条件概率公式14，

3

所以尸（AB）=；,故A正确;

而尸（A）P（B）=；x；=gwP（A2）,故B错误;

1117

P（AuB）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+---=p;,故C正确;

1

因为尸（A忸）=2^4=1

£2

2

「小团）（脸）尸倜忸）尸⑻（l-P（A|B））P（B）_3

三，故D正确.

用力一万同—一丽——P（I）一O

故选：ACD

2

12.

2

【分析】

借助投影向量定义计算即可得.

m

r详解］一3m.巴a=1a,,3

【详斛】同时而百际~~^~2'故根='•

,3

故答案为：—.

13.272

【分析】先求得直线/过定点CU）,再分析IA例取得最小值时的情况，利用弦长公式即可得

解.

【详解】由Z：（m+2）x-（m+l）^-l=0,得/:m（x-^）+2x-y-l=0,

lx—y=0\x=l

由。［八，解得］，则直线/过定点（LD，

［2x—y-1=0［丁=1

答案第6页，共14页

Xl2+12<4,所以该定点在圆。：/+9=4内,

由圆。：Y+y=4可得圆心0(0,0),半径厂=2,

当圆心0与定点(1,1)的连线垂直于A3时，IABI取得最小值，

圆心0(0,0)与定点(1,1)的距离为d==0，

则IABI的最小值为2M-d2=2A/4^2=2夜.

故答案为：2垃.

14.叵〉历叵

222

【分析】

由三棱锥的结构特征，可扩成长方体，利用长方体的外接球半径得三棱锥的外接球半径；由

动点。的轨迹形状，求长度.

【详解】三棱锥P-ABC的四个面是全等的等腰三角形，且PA=2,PB=AB=3,如图所

示，

则有PA=3C=2,PB=AB=PC=AC=3,

把三棱锥尸-ABC扩成长方体P"CG-,

AF2+AG2=PA2=4

贝！|有<AF2+AE2=AB2=9,AF2=AG2=2,AE2=1,

AG2+AE2=AC2=9

则长方体外接球半径r=〃我+心+比=叵,

22

所以三棱锥P-ABC的外接球半径姮；

2

点。为三棱锥P-A5C的外接球球面上一动点，尸。=姮时,

2

答案第7页，共14页

由。。=。。=。尸=姮，动点。的轨迹是半径为叵的圆,

24

P

轨迹长度为画.

2

故答案为：—;叵^

22

【点睛】关键点点睛：

三组对棱分别相等的四面体(三棱锥)一补形为长方体(四面体的棱分别是长方体各面的对

角线).

15.(1)^3

(2),+24兀,与+2也[keZ)

【分析】

(1)根据向量数量积运算、二倍角和辅助角公式可化简f(x),根据正弦型函数最大值可构

造方程求得。的值;

TTTTJ7T

(2)采用整体代换的方式，构造不等式'+7«万+2析(Z£Z),解不等式即可求

得单调递减区间.

2271

【详解】(1)m-n=2J3sin—cos—+sin—-cos—=Jisinx-cosx=2sinx

2222I

「./(%)=2sin[x-%]—〃，/.f(x)max=2—a=2—A/3,解得：a=粗.

(2)由(1)知：〃x)=2sin(x,

,TT57r

令'+2E<x--<—+2far(A:GZ)解得：—+2foi<x<—+2kit{kGZ),

262

\的单调递减区间为—+—+2kn(々wZ).

16.⑴焦点坐标为(1,0),准线方程为产-1

答案第8页，共14页

⑵《？心-1

【分析】

（1）借助抛物线的基本性质即可得；

（2）由点斜式设出直线方程，直曲联立，由判别式为零，得到关于人的一元二次方程，再

由韦达定理即可得到斜率之积的值.

【详解】⑴由C:;/=4x,故抛物线焦点坐标为（1,0）,准线方程为x=-l；

（2）点尸在抛物线C的准线上，设尸

由题意知过点尸作抛物线C的切线，斜率存在且不为0,

设其斜率为k则切线方程为y=k（x+l）+m

[y2—4.x

联"4ky2'—4y+4（/77+A：）=0,

=左（尤+1）+相

由于直线与抛物线C相切，可知A=16-16左（相+左）=0,gpk2+mk-l=0,

而抛物线C的两条切线尸4尸8的斜率左,月，即为方程左,+/成一i=o的两根，

故k"-1.

17.（1）不是“G型数列”，理由见解析；

⑵%=3"-2

【分析】（1）计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；

（2）利用｛%｝为“G型数歹U”和也｝是等比数列，且不是“G型数歹!!”可求得也｝的公比为3,

即可求出数列｛%｝的通项公式为凡=3"-2.

答案第9页，共14页

【详解】(1)易知当〃=1时，可得2%=S[+1=%+1,即％=1；

而当〃=2时，2a2=S2+\=ax+a2+l,可得g=2；

此时a=/=2<3,不满足“G型数列”定义，

ax1

猜想：数列｛%｝不是“G型数列”，

证明如下：

由2aH=S"+1可得，当”22时，2a=5n.1+1,

两式相减可得2%-2an_t=Sn-S,-=a”,可得an=2%,

此时从第二项起，每一项与它前一项的比为旦=2<3,因此｛%｝不是“G型数列”；

an-\

(2)设数列出｝的公比为4,易知qeN*,

又因为数列也｝不是“G型数列"，可得“43

ba।2

可得券即得％=«"+2”2；

bn4+2

又数列｛4｝为“G型数列"，可得乎=4>3；

易知“G型数列”为递增数列，因此当〃趋近于正无穷大时，4+2二趋近于4,即可得"23；

a”

综上可得4=3,即"〃+i-+4,可得a.+2=3(%+2)；

所以数列｛%+2｝是以4+2=3为首项，公比为3的等比数列；

即可得。“+2=3x3"_=3",可得%=3"-2；

所以数列｛%｝的通项公式为%=3"-2.

18.⑴极小值为40)=1,无极大值；

(2)(2-21n2,+co)

【分析】

(1)代入。=-1并求导，得出单调性即可求出的极值；

(2)易知当时，〃x)单调递增，不合题意；可知。<0,构造函数g(t)=lnf+a(尸-1)

答案第10页，共14页

并求出其单调性，由零点存在定理可解得-得出/(in/)的表达式并求其单调性

可得结论.

【详解】(1)当a=—l时，/(x)=x+J,贝lj-(x)=l-g=*；

令((力=0,可得x=0,

当xw(e,O)时，/'(x)<0,即在(―双。)上单调递减，

当x«0,y)时，f^x)>0,即在(0,+。)上单调递增；

因此函数“X)在x=0处取得极小值"0)=1,

所以的极小值为"0)=1,无极大值；

(2)易知当0</<：时，一片「(/I"%),。,

2］一飞11—XQ1-X()

所以In%>1、0；

又〃x)=尤-£可得((x)=l+£,

不满足了(lnx°)=/1ln

易知当说0时，/^%)>0,此时〃x)单调递增,

因止匕〃<0；

a

由〃ln%)=/］ln言J可得In"/一”］一天

片，

If

记—王<玉,且0<$<,

1-%0

一cia11a1

即可得In%-----=In玉----,即In/—In再=-----

x0再XQJ

所以ln*=3二"，又易知%+%=产=%

王天与1一玉)xo

因此却/=必@&+尤。)=退出"

f

Q/xj

x0x{xox{XXX(

令&=/>l,可得Ln/=,gplnt=a(l-t2)在。1时有解，

再t\tJ

答案第11页，共14页

所以小〉1使得In，+〃-1)=0,

令g⑺=ln/+a(/_1),

则g«)=；+2q/=2°；+1,由

/

-，时，g'0>o,即g⑺在上单调递增,

当re0,

V

r~r)

当代-------,+oo时，g'⑺<。，即g⑺在上单调递减;

2a,2a,

易知g(l)=0可得，若一J-V1,则g⑺在(1,笆)上单调递减，显然不存在"1使得

V2a

ln/+a02—1)=o；

若J--—>1?解得-彳<〃<°,

V2a2

工,+1上单调递减，因此g

因此g⑺在上单调递增，在

以下证明存在％>1,使得g&)<0;

令机=贝ljmr(/)=--l=-■―-<0,

可得加(。在(1,+00)上单调递减，因此加(。<加(1)=0,即/>1时，