山东省2024年中考数学模拟试卷含解析

山东省2024年中考数学模拟精编试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.在同一直角坐标系中，函数产履-«与y=人（的））的图象大致是（）

2.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点M是AB的中点，若OM=4,AB=6,则BD的长为（）

A.4B.5C.8D.10

3.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）

A.x2+6x+9=0B.x2=xC.x2+3=2xD.（x-1）2+l=0

4.如图，AC是。O的直径，弦BDLAO于E,连接BC,过点O作OFLBC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF

的长度是（）

A.3cmB.y/6cmC.2.5cmD.y/5cm

5.下列调查中适宜采用抽样方式的是（）

A.了解某班每个学生家庭用电数量B.调查你所在学校数学教师的年龄状况

C.调查神舟飞船各零件的质量D.调查一批显像管的使用寿命

6.下列运算正确的是（）

A.a3«a2=a6B.（x3）3=x6C.x5+x5=x10D.-a84-a4=-a4

7.如图，在△ABC中，AC=BC,点D在BC的延长线上，AE〃BD,点ED在AC同侧，若NCAE=U8。，则NB的

大小为（）

9.用加减法解方程组,/，〜时，若要求消去V,则应（）

6x-5y=-l（2）

A.①x3+②x2B.①x3-②x2C.①x5+②x3D.①x5-②x3

10.已知，如图，AB是。O的直径，点D,C在。O上，连接AD、BD、DC、AC,如果NBAD=25。，那么NC的

度数是（）

D

A.75°B.65°C.60°D.50°

11.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

_4^_।_।

-3-2-10123

A.a>-2B.a<-3C.a>-bD.a<-b

12.如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分丕能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形

C.丙D.T

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.点G是二角形ABC的重心，AB=a，AC=b"那么BG="

14.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-14x+48=0的根，则该三角形的周长为.

x+5>2

15.不等式组,°的最小整数解是_____.

4-x>3

1

16.若式子方不亍有意义，则x的取值范围是.

17.已知扇形A08的半径。4=4,圆心角为90。，则扇形的面积为.

一4

18.已知：a（a+2）=1,贝Ua?+----=.

a+1

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10x10网格中，已知点O,A,B均为网格线的交点.在

给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A耳（点A,B的对应点分别为4、耳）.

画出线段A片;将线段A用绕点片逆时针旋转90。得到线段4耳.画出线段4用；以44、片、&为顶点的四边形

A4131a的面积是个平方单位.

20.(6分)如图，O为直线AB上一点，ZAOC=50°,OD平分NAOC,ZDOE=90°.写出图中小于平角的角.求出

NBOD的度数.小明发现OE平分NBOC,请你通过计算说明道理.

21.(6分)如图，己知AB是的直径，C为圆上一点，D是的中点，二二.二-于H,垂足为H,连交弦

于E,交--于F,联结---.

⑴求证：AnnnnnrnL-v

22.(8分)如图1,在R3A3C中，ZA=90°,AB^AC,点O,E分别在边AB,AC上，AD^AE,连接OC,点

M,P,N分别为OE,DC,5c的中点.

(1)观察猜想

图1中，线段与PN的数量关系是,位置关系是；

(2)探究证明

把AAOE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸

把AAOE绕点A在平面内自由旋转，若AZ>=4,48=10,请直接写出△尸MN面积的最大值.

A

E

B

图1图2

23.（8分）如图，在△ABC中，BC=60，AB=AC,E,F分别为AB,AC上的点（E,F不与A重合），且EF/7BC.将

△AEF沿着直线EF向下翻折，得到AA，EF,再展开.

（1）请判断四边形AEA'F的形状，并说明理由;

（2）当四边形AEA，F是正方形，且面积是△ABC的一半时，求AE的长.

24.（10分）徐州至北京的高铁里程约为700km,甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁

B前往北京.已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h,A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%,两车的

行驶时间分别为多少？

25.（10分）如图，在平面直角坐标系中，点。1的坐标为（-4,0）,以点G为圆心，8为半径的圆与x轴交于A,3两

点，过A作直线/与x轴负方向相交成60的角，且交V轴于C点，以点2（13,5）为圆心的圆与x轴相切于点。.

・6)

（1）求直线/的解析式;

（2）将以每秒1个单位的速度沿X轴向左平移，当:。2第一次与外切时，求平移的时间•

26.（12分）有A,B两个黑布袋，A布袋中有两个完』全相同的小球，分别标有数字1和1.B布袋中有三个完全相

同的小球，分别标有数字-1,-1和-2.小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x,再从B布袋

中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为（x,y）.

(1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；

(1)求点Q落在直线y=-x-1上的概率.

27.(12分)关于x的一元二次方程x?+(m—1)x—(2m+3)=1.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)写出一个m的值，并求出此时方程的根.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、D

【解析】

根据k值的正负性分别判断一次函数y=kx-k与反比例函数y=-(时0)所经过象限，即可得出答案.

x

【详解】

解：有两种情况，

当k>0是时，一次函数尸质次的图象经过一、三、四象限，反比例函数丫=月(分0)的图象经过一、三象限；

X

当k<o时，一次函数尸丘-A的图象经过一、二、四象限，反比例函数丁=幺(际0)的图象经过二、四象限；

x

根据选项可知，D选项满足条件.

故选D.

【点睛】

本题考查了一次函数、反比例函数的图象.正确这两种图象所经过的象限是解题的关键.

2、D

【解析】

利用三角形中位线定理求得AD的长度，然后由勾股定理来求BD的长度.

【详解】

解：,••矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

.,.NBAD=90。，点O是线段BD的中点，

•.•点M是AB的中点，

AOM是小ABD的中位线，

/.AD=2OM=1.

，在直角AABD中，由勾股定理知：BD=7AD2+AB2=V82+62=10-

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理和矩形的性质，利用三角形中位线定理求得AD的长度是解题的关键.

3、B

【解析】

分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可.

详解：A、X2+6X+9=0.

△=62-4x9=36-36=0,

方程有两个相等实数根；

B、x2=x.

x2-x=0.

△=(-1)2-4xlx0=l>0.

方程有两个不相等实数根；

C、x2+3=2x.

X2-2X+3=0.

△=(-2)2-4xlx3=-8<0,

方程无实根；

D、(x-1)2+l=0.

(x-1)2=-1,

则方程无实根；

故选B.

点睛:本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当

△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当A=0时，方程有两个相等的实数根；③当AV0时，方程无实数根.

4、D

【解析】

分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可.

详解：连接OB,

5

C

VAC是。O的直径，弦BD_LAO于E,BD=lcm,AE=2cm.

在RtAOEB中,OE2+BE2=OB2,BPOE2+42=(OE+2)2

解得：OE=3,

AOB=3+2=5,

AEC=5+3=1.

在RtAEBC中，BC=y/BE2+EC2=^42+82=475•

VOF±BC,

.,.ZOFC=ZCEB=90°.

vzc=zc,

/.△OFC^ABEC,

.OFOCanOF_5

•.-----=------，即———T=,

BEBC44A/5

解得：OF=75.

故选D.

点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长.

5、D

【解析】

根据全面调查与抽样调查的特点对各选项进行判断.

【详解】

解：了解某班每个学生家庭用电数量可采用全面调查；调查你所在学校数学教师的年龄状况可采用全面调查；调查神

舟飞船各零件的质量要采用全面调查；而调查一批显像管的使用寿命要采用抽样调查.

故选：D.

【点睛】

本题考查了全面调查与抽样调查：全面调查与抽样调查的优缺点：全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、

耗时长，而且某些调查不宜用全面调查.抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关

系到对总体估计的准确程度.

6、D

【解析】

各项计算得到结果，即可作出判断.

【详解】

A^原式=a，，不符合题意；

B、原式=x"不符合题意；

C、原式=2x$,不符合题意；

D、原式=-a3符合题意，

故选D.

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

7、A

【解析】

根据等腰三角形的性质得出NB=NCAB,再利用平行线的性质解答即可.

【详解】

•在AABC中，AC=BC,

；./B=NCAB,

VAE/7BD,ZCAE=118°,

,,.ZB+ZCAB+ZCAE=180°,

即2NB=180°-U8°,

解得：/B=31。，

故选A.

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出ZB=ZCAB.

8、D

【解析】

试题分析：根据二次函数的图象依次分析各项即可。

由抛物线开口向上，可得.〕，

b

再由对称轴是--——•J,可得：、.•口，

由图象与y轴的交点再x轴下方，可得.门，

故选D.

考点：本题考查的是二次函数的性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质：.的正负决定抛物线开口方向，对称轴是二，C的正负决

2a

定与Y轴的交点位置。

9、C

【解析】

利用加减消元法①义5+②x3消去y即可.

【详解】

用加减法解方程组//，小时，若要求消去y,则应①x5+②x3,

6x-5y=-1（2）

故选C

【点睛】

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

10、B

【解析】

因为AB是。。的直径，所以求得NADB=90。，进而求得NB的度数，又因为NB=NC,所以NC的度数可求出.

解：TAB是。。的直径，

.,.ZADB=90°.

VZBAD=25°,

.,.ZB=65°,

，NC=NB=65。（同弧所对的圆周角相等）.

故选B.

11,D

【解析】

试题分析：A.如图所示：-3VaV-2,故此选项错误；

B.如图所示：-3<aV-2,故此选项错误；

C.如图所示：lVbV2,贝（!-2<-b<-L又-3Va<-2,故aV-b,故此选项错误;

D.由选项C可得，此选项正确.

故选D.

考点：实数与数轴

12、D

【解析】

解：将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的

是丁.故选D.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

1,2

13、—bu.

33

【解析】

根据题意画出图形，由AB=a，AC=b＞根据三角形法则，即可求得3。的长，又由点G是△A5c的重心，根据

重心的性质，即可求得.

【详解】

如图：3。是△ABC的中线，

AC=b，

1,

：•AD=]b，

AB=a，

1,

：•BD=~b-a,

1•点6是小ABC的重心，

212

BG=_BD=一b~一a,

333

12

故答案为：—b~~ci.

33

【点睛】

本题考查了三角形的重心的性质：三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，本题也考查了向

量的加法及其几何意义，是基础题目.

14、13

【解析】

利用因式分解法求出解已知方程的解确定出第三边，即可求出该三角形的周长.

【详解】

方程x2-14x+48=0,

分解因式得：(x-6)(x-8)=0,

解得：x=6或x=8,

当x=6时，三角形周长为3+4+6=13,

当x=8时，3+4<8不能构成三角形，舍去，

综上，该三角形的周长为13,

故答案为13

【点睛】

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

15、-1

【解析】

分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案.

•••解不等式①得：x>-3,

解不等式②得：x<L

•••不等式组的解集为-3VxWL

不等式组的最小整数解是-1,

故答案为：-1.

点睛：本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关

键.

16、---.

2

【解析】

33

解：依题意得：2x+3>l.解得”>一大.故答案为”>一7.

22

17、4n

【解析】

根据扇形的面积公式可得：扇形A08的面积为9丝07r上x土4?=4万，故答案为47t.

360

18、3

【解析】

4

先根据a(a+2)=1得出a2=L2a,再把a2=l-2a代入a2+—进行计算.

a+1

【详解】

a(a+2)=1得出a2=l-2a,

244—2a2—a+5—2(1—2a)—a+53(tz+1)

az+------=l-2a+-------=------------------=-------------------------=-----------=3.

a+1a+1a+1a+1a+1

【点睛】

本题考查的是代数式求解，熟练掌握代入法是解题的关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）20

【解析】

【分析】（1）结合网格特点，连接OA并延长至Ai,使OAi=2OA,同样的方法得到BL连接A1B1即可得;

（2）结合网格特点根据旋转作图的方法找到A2点，连接A2B1即可得；

（3）根据网格特点可知四边形AA1B1A2是正方形，求出边长即可求得面积.

【详解】（1）如图所示；

（2）如图所示；

（3）结合网格特点易得四边形AA1B1A2是正方形，

22

AA1=A/4+2=275»

所以四边形AA1B1A2的面积为：（2A/5）2=20,

故答案为20.

【点睛】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点是作图的关键.

20、（1）答案见解析（2）1550（3）答案见解析

【解析】

（1）根据角的定义即可解决；（2）根据NBOD=NDOC+NBOC,首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得NDOC

和NBOC即可；(3)根据NCOE=NDOE-ZDOC和NBOE=NBOD-ZDOE分别求得NCOE与NBOE的度数即

可说明.

【详解】

(1)图中小于平角的角NAOD,ZAOC,ZAOE,ZDOC,ZDOE,ZDOB,ZCOE,ZCOB,ZEOB.

(2)因为NAOC=50。，OD平分NAOC,

所以NDOC=25°,ZBOC=1800-ZAOC=180°-50°=130°,

所以NBOD=NDOC+NBOC=155°.

(3)因为NDOE=90°,NDOC=25。，

所以NCOE=NDOE-ZDOC=90°-25°=65°.

又因为NBOE=NBOD-ZDOE=155°-90°=65°,

所以NCOE=NBOE,所以OE平分/BOC.

【点睛】

本题考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键.

、证明见解析；(

21(1)2)-------->-X

【解析】

(1)由题意推出二三三g二二ocB.再结合二E—二可得△BHE~aBCO.

(2)结合ABHE〜ABCO,推出带入数值即可.

【详解】

(1)证明：•.•二二为圆的半径，二是亩的中点，

又-------,

S

__——__—.

・•・——=.得一

解得二二二、：,

【点睛】

本题考查的知识点是圆与相似三角形，解题的关键是熟练的掌握圆与相似三角形.

49

22、(1)PM=PN,PM±PN;(2)A是等腰直角三角形，理由详见解析；(3)一.

2

【解析】

(1)利用三角形的中位线得出PM=」CE,PN=-BD,进而判断出HD=CE,即可得出结论，再利用三角形的中位

22

线得出PM〃CE得出NO尸M=NOCA,最后用互余即可得出结论；

(2)先判断出△48。名△ACE,得出8O=CE,同(1)的方法得出尸河=L3。，PN=-BD,即可得出

22

同(1)的方法即可得出结论；

(3)方法1、先判断出MN最大时，APMN的面积最大，进而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后

用面积公式即可得出结论.

方法2、先判断出50最大时，APMN的面积最大，而30最大是45+40=14,即可.

【详解】

解：（1）•点P,N是BC,CZ）的中点，

：.PN//BD,PN=-BD,

2

•••点P,M是CZ>,OE的中点，

J.PM//CE,PM=-CE,

2

'：AB=AC,AD=AE,

:.BD=CE,

：.PM=PN,

'：PN//BD,

：.ZDPN=ZADC,

,JPM//CE,

：.ZDPM=ZDCA,

VZBAC=90°,

二ZADC+ZACD=90°,

：.NMPN=ZDPM+ZDPN^ZDCA+ZADC=90°,

：.PM±PN,

故答案为：PM=PN,PMVPN,

（2）由旋转知，ZBAD=ZCAE,

'：AB=AC,AD^AE,

：.AABD^AACE（SAS）,

AZABD=ZACE,BD=CE,

同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=-BD,PM=-CE,

22

：.PM=PN,

...△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

：.ZDPM^ZDCE,

同（1）的方法得，PNHBD,

:.NPNC=NDBC,

VNDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

：.NMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC

=ZBCE+ZDBC^ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

,/NA4c=90。，

ZACB+ZABC=90°,

：.NMPN=90。，

...APMN是等腰直角三角形，

(3)方法1、如图2,同(2)的方法得，△口!1可是等腰直角三角形,

；.MN最大时，APMN的面积最大，

：.DE//BC且DE在顶点A上面，

，MN最大=AM+AN,

连接AM,AN,

在AAOE中，AD=AE=4,ZDAE=9d°,

，AM=20,

在R3A3C中，AB=AC=10,AN=5叵,

••MN最大=2血+50=70,

I’ll-1l,49

SAPMN^^=—PM2=—X—Ml^=-X(772)=——.

22242

方法2、由(2)知，△PUN是等腰直角三角形，PM=PN=-BD,

2

.♦.PM最大时，△口»/可面积最大，

.•.点。在R4的延长线上，

：.BD=AB+AD=14,

【点睛】

本题考查旋转中的三角形，关键在于对三角形的所有知识点熟练掌握.

23、(1)四边形AEA，F为菱形.理由见解析；(2)1.

【解析】

(1)先证明AE=AF,再根据折叠的性质得AE=A，E,AF=AT,然后根据菱形的判定方法可判断四边形AEA，F为菱

形;(2)四先利用四边形AEAT是正方形得到NA=90。,则AB=AC=»BC=6,然后利用正方形AEAT的面积是4ABC

2

的一半得到AE2=---.6.6,然后利用算术平方根的定义求AE即可.

22

【详解】

(1)四边形AEAT为菱形.

理由如下：

VAB=AC,

Z.ZB=ZC,

VEF//BC,

.\ZAEF=ZB,NAFE=」NC,

AZAEF=ZAFE,

Z.AE=AF,

・・・AAEF沿着直线EF向下翻折，得到△ATF,

.\AE=AE,AF=AF,

AAE=ArE=AF=AT,

・・・四边形AEAT为菱形；

(2)•・•四边形AEA，F是正方形,

/.ZA=90°,

•••△ABC为等腰直角三角形，

:.AB=AC=—BC=—x6J2=6,

22

•・•正方形AEAT的面积是^ABC的一半，

,11

AE2=—,—,6*6,

22

AAE=1.

【点睛】

本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边

和对应角相等.

24、A车行驶的时间为3.1小时，B车行驶的时间为2.1小时.

【解析】

设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为闻小时，根据题意得：邛-普=8。，解分式方程即可，注意

验根.

【详解】

解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时,

根据题意得：7-罂=8。，

解得：t=2.1,

经检验，t=2.1是原分式方程的解，且符合题意,

/.1.4t=3.1.

答：A车行驶的时间为3.1小时，B车行驶的时间为2.1小时.

【点睛】

本题考核知识点：列分式方程解应用题.解题关键点：根据题意找出数量关系，列出方程.

25、(1)直线/的解析式为：y=-y/3x-12y/3.(2)&平移的时间为5秒.

【解析】

(1)求直线的解析式，可以先求出A、C两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式.

(2)设。02平移t秒后到。03处与。Oi第一次外切于点P,。。3与x轴相切于Di点，连接0103,O3DI.

在直角AO1O3D1中，根据勾股定理，就可以求出OiDi,进而求出DiD的长，得到平移的时间.

【详解】

(1)由题意得OA=T+|8|=12,

；