北京市海淀区2024届高三年级下册期中练习（一模）数学试题（含答案与解析）

海淀区2023〜2024学年第二学期期中练习

高三数学

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1,已知全集。O2WXW2},集合A=则孰人=（）

A.（-2,-1）B.[-2,-1]C.（-2,-l）U{2}D.[-2,-1){2}

2.若复数z满足zi=l+i,贝ijz的共轨复数是（）

A.-1-iB.1+iC.-1+iD.1-i

3.已知{%}为等差数列，S“为其前〃项和.若q=2%,公差dw0,S,“=0,则m的值为()

A.4B.5C.6D.7

4.已知向量满足|〃|=2]=（2,0）,且|〃+Z?|=2,则〈a,B〉=（）

兀兀2兀

A.—B.一C.—

633

22

5.若双曲线二-斗上的一点到焦点（-君,0）的距离比到焦点（百,0）的距离大/?,则该双

ab

曲线的方程为（）

丫22

A.E—y2=i

B.-.....y2=1D.—匕=i

4-2-24

6.设名厂是两个不同的平面，/,根是两条直线，且〃?=。,/_1_。.则“/_1_/?”是“m//，”的（)

A充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

,、Ix3,x<0

7.已知/（%）=〈（八，函数/⑺的零点个数为加，过点（0,2）与曲线y=/（无）相切的直线的条

lg（x+l）,x>0

数为“，则加，〃的值分别为（）

A.1,1B,1,2C.2,1D,2,2

8.在平面直角坐标系xQy中，角々以3始边，终边在第三象限.则（）

A.sintz—costz<tantzB.sin«-costz>tantz

C.sin(z-coscr<tan«D.sina-cos«>tan«

9.函数/（x）是定义在（-4,4）上的偶函数,其图象如图所示，/（3）=0.设/'（》）是/（无）的导函数，则关于

x的不等式/（%+1）•/（尤）>0的解集是（）

A.[0,2]B.[-3,0][3,4)C.(-5,0][2,4)D.(-4,0][2,3)

10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下

规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60°）,再沿直线繁

殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖

过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心。开始，沿直线繁殖到Ai，然后分叉

向41与方向继续繁殖，其中N4iAi42=60°,且4141与A142关于。41所在直线对称，

Aid】=AI42…•若。％=4cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半

径r（reN*,单位：cm）至少为（）

分叉

培养皿壁

图2

图1

A.6B.7C.8D.9

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知ln，=2,贝打nM—也"=.

b

12.已知1C:（x—1）2+/=3,线段A5是过点（2,1）的弦，贝U|A4的最小值为.

ax+%

13.名'（X—2）4—2工,++4％?+Cl^X+/,贝！J。（）=:

“0+〃2+34

已知函数/（%）=sin[x+：Jsin2x,则

14.；函数/⑺的图象的一个对称中心的坐

标为.

15.已知函数/（%）=J/—%,给出下列四个结论：

①函数/（幻是奇函数；

②V左eR,且左W0,关于x的方程/（x）—丘=。恰有两个不相等的实数根;

③已知P是曲线y=/（x）上任意一点，Al-1,0L则|AP|2g；

④设%）为曲线y=/（x）上一点，N（/,%）为曲线V=-〃x）上一点.若%+%|=1，则|人困21.

其中所有正确结论序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16._ABC中，/?sinC+A/3CCOS5=2c.

（1）求/B；

⑵若a=2拒,b+c=4,求；ABC的面积.

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，A£>//5C,M为严的中点，A"//平面CDP

(1)求证：BC=2AD；

(2)若PA，A3,A3=AP=AD=CD=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为

已知，使四棱锥F-ABCD存在且唯一确定.

(i)求证：上4,平面ABCD；

(ii)设平面CDPc平面8Ap=/,求二面角C—/—5的余弦值.

条件①：BP=DP；

条件②：ABLPC；

条件③：ZCBM=ZCPM.

注：如果选择条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.

现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩(百分制，且均为整数)及相应过程性积分数据，整

理如下表：

科普测试成绩X科普过程性积分人数

90<%<100410

80<x<903a

70<%<802b

60<x<70123

0<%<6002

(1)当。=35时,

(i)从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；

(ii)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之

和，估计X的数学期望E(X)；

(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为匕，上述100名学

生科普测试成绩的平均值记为B.若根据表中信息能推断X〈乂恒成立，直接写出a的最小值.

19.已知椭圆6：尸+m72=机的离心率为乎，4，4分别是G的左、右顶点，尸是G的右焦点.

(1)求机的值及点尸的坐标；

(2)设尸是椭圆G上异于顶点的动点，点。在直线尤=2上，且尸尸，凡2,直线尸。与x轴交于点比

较WP「与1舷41HM包的大小.

1

20.已知函数/(幻=胧，.

(1)求/(尤)的单调区间；

(2)若函数g(无)=|/(尤)+0-2,,无£(0,+8)存在最大值，求”的取值范围.

21.已知：Q:q,—，%(〃让2,mwN*)为有穷正整数数列，其最大项的值为加，且当

左=0,1,,，加—1时，均有他“+户他”+式1<，</<根).设d=0,对于/e{0,l,,m-l),定义

2+i=min{T">2，a〃>/},其中，min"表示数集M中最小的数.

(1)若。：3,1,2,2,1,3,1,2,3,写出印也的值;

(2)若存在。满足：伪+4+4=11,求用的最小值；

⑶当机=2024时，证明：对所有。也023<20240.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1,已知全集UO2WXW2},集合A={%|-"%<2},则”=()

A.(-2,-1)B.[-2,-1]C.(-2,-l)|J{2}D.[-2,-1){2}

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.

【详解】全集。={了|一2<%<2},集合A={R—l<x<2},

所以34=[—2,—1){2}.

故选：D

2.若复数z满足力=1+1,贝ijz的共轨复数是()

A.-1-iB.l+iC.-1+iD.1-i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z即可求解结果.

【详解】解：复数z满足力=l+i,所以z==山=9=1--

ii2-1

所以z的共朝复数是l+i.

故选：B.

3.已知{4}为等差数列，S“为其前”项和.若％=2%，公差dwO,S,“=O,则加的值为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列的通项公式求出为和d的关系，代入S,”=0计算可得m的值.

【详解】由已知q=2a2=2(4+2),得q=-2d,

「——一,

又Sm=rnaxH————-d=-2md+-——-d=0,又dW0,

m—1)

所以——-----=0,解得m=5或%=0(舍去)

2

故选：B.

4.已知向量a/满足|a|=2]=(2,0),且|。+切=2,则〈a/〉=()

71兀2兀5兀

A.—B.-C.—D.——

6336

【答案】C

【解析】

【分析】将|Q+6|=2两边同时平方，将条件带入计算即可.

【详解】由己知|。|=2,网=2,

zri\2r2rrr2rr

所以（a+b）=a+2b-a+b=4+2x2x2xcos〈。,力+4=4,

得cos〈a,Z?〉=一；，又〈。力〉£[0,兀],

2兀

所以〈。,加二

故选：c.

22

5.若双曲线当=l（a>0,6>0）上的一点到焦点（-百,0）的距离比到焦点（逐,0）的距离大b,则该双

ab

曲线的方程为（）

22

A.———y2=1B.—..y2=1C.一一上=1

4-22

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意及双曲线的定义可知2。=/?,C=J?,再结合储+尸二。？，求出即可求出结果.

【详解】由题知C=J?,根据题意，由双曲线的定义知2。=6,又储+〃=02,

2

所以56=5,得到。2=122=4,所以双曲线的方程为炉一上=1,

4

故选：D.

6.设名厂是两个不同的平面，/,机是两条直线，且〃2u^z,/_L（Z.则“/_L/?”是“w^//，”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.

【详解】11/3,且所以a//月，又加ua,所以机//，，充分性满足,

如图：满足加//尸，wiua,/_La,但/_L/?不成立，故必要性不满足,

所以“/，，”是“加//，”的充分而不必要条件.

故选：A.

,、Ix3,x＜0

7.已知〃x)=,(.八，函数/⑺的零点个数为加，过点(0,2)与曲线＞=/(元)相切的直线的条

lg(x+l),x＞0

数为九，则必〃的值分别为()

A.1,1B,1,2C.2,1D,2,2

【答案】B

【解析】

【分析】借助分段函数性质计算可得加，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得〃.

【详解】令y(x)=o,即时，x3=o-解得尤=o,

尤＞0时，lg(x+l)=O,无解，故加=1,

设过点(0,2)与曲线y=/(尤)相切的直线的切点为(小，%)，

当x＜0时，f'(x)=3x2,则有y-x；=3x；(x-%o),

有2—X=3片(―%),整理可得x；=—1,即/=—1,

即当/＜。时，有一条切线，

/'(x)=号，则有y—炒(/+1)=叁彳(x—%)，

当兀＞0时,

x+1%0+1

有2—lg(x0+1)=华■(一/)，整理可得(2+lge)%+2—(%+l)lg(x0+1)=0,

入0+1

^>g（x）=（2+lge）x+2-（x+l）lg（x+l）（x>0）,

贝ijg'（x）=2—lg（x+l）,

令g'（九）=0,可得x=99,

故当xe（0,99）时，g'（x）>0,即g（x）在（0,99）上单调递增，

当xe（99,e»）时，gr（x）<0,即g（x）在（99,+“）上单调递减，

由g（99）=（2+lge）x99+2-200=991ge>0,

g（0）=2-0=2>0,故g（x）在龙e（0,99）上没有零点，

Xg（999）=（2+lge）x999+2-1000x3=9991ge-1000<0,

故g（x）在（99,999）上必有唯一零点，

即当%>0时，亦可有一条切线符合要求，

故〃=2.

故选：B.

8.在平面直角坐标系犬0y中，角。以。x为始边，终边在第三象限.则（）

A.sina—cosa<tanaB.sina—cosaNtana

C.sincrcosavtanaD.sina・cosa>tana

【答案】C

【解析】

【分析】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.

【详解】由题意可得sina<0、cosa<0tana>0,

对A：当sincr-0一时，cos。——1,贝!Jsina-cosa-1,tanaf0,

此时sinc-cosa>tana,故A错误；

,”，5兀...5兀5兀八5兀1

对B：当。=一时，sincif-coscr=sin-----cos一=0<tan一二1,故B错误；

4444

,9sina2工一八

对C、D：sina-cosa-cosa-------=cosa-tana,由一IvcosavO,

cosa

故cos2。£（0,1）,则8$2。42111<12110，即sincrcosavtana,

故C正确，D错误.

故选：c.

9.函数/(x)是定义在(-4,4)上的偶函数，其图象如图所示，/(3)=0.设/'(幻是〃力的导函数，则关于

x的不等式于(x+1)•/'(尤)＞0的解集是()

A.[0,2]B.[-3,0][3,4)C.(-5,0][2,4)D.(-4,0][2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.

【详解】由/(3)=0,且/(幻为偶函数，故/'(—3)=0,

由导数性质结合图象可得当xe(—4,0)时，f'(x)＜0,

当xe(O,4)时,r(x)>0,当无=0时,即/'(0)=0,

-4<x+l<4

则由/(x+l)"'(x)»0,有//，解得-4<x<3,

-4<x<4

/(x+l)〉0

亦可得＜或/(川)=0,或/'")=。，

【广⑴〉。’I

[/(x+l)>0I-4<x+l<-33<%+1<4

由＜尸(x)〉0可父或<,即2<*<3,

0<x<40<x<4

吁「「可得]—3<x+1<3

由＜,即T<尤<0,

[尸(力＜0-4<%<0

由/(x+l)=0,可得x+l=±3,即x=2或％=-4(舍去，不在定义域内),

由/'(%)=0,可得％=0,

综上所述，关于x的不等式/(%+1)"'(%)»0的解集为(—4,0][2,3).

故选：D.

10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下

规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60°）,再沿直线繁

殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖

过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心。开始，沿直线繁殖到A-然后分叉

向与方向继续繁殖，其中NAiAi42=60°,且与A142关于。41所在直线对称，

Ai4i=…若。％=4cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半

径r（厂eN*，单位：cm）至少为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在。Ai方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算

公式，即可判断答案.

【详解】由题意可知，OAi=4cm,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在。4n方向上的距离的范

围，即可确定培养皿的半径的范围，

依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在。心方向上前进的距离依次为:

4,2xa,\乌“苕,

222482

则4+2x---1-1H—x—=5-1----->5H—=7，

22244

黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在。41方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，

4也216+4石16+8

4+1+-+x|2+-+-+x——r+——x——-<----=8

即44I281--21--33

44

综合可得培养皿的半径广（reN*，单位：cm）至少为8cm,

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖,解答的关键是理解题意，能明确黏菌

的繁殖规律，从而求出每次繁殖在on”方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.

第二部分（非选择题共uo分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知lnf=2,贝hn4—in"=.

b

【答案】4

【解析】

【分析】直接利于对数的运算性质求解.

【详解】因为111旦=2,

b

所以Ina?—[nA?=lnq=ln[q[=21n—=4.

b2\b）b

故答案为：4.

12.己知「C:（x—1）2+/=3,线段A3是过点（2,1）的弦，则的最小值为.

【答案】2

【解析】

【分析】借助直径与弦A3垂直时，有最小，计算即可得.

【详解】由（2—1）2+仔=2<3,故点（2,1）在圆的内部,

且该圆圆心为（1,0）,半径为百，

设圆心到直线AB的距离为d,

由垂径定理可得网=r2-d2,即|叫=2,3-屋,

I2J

故当d取最大值时，|4邳有最小值,

又4ax==V2，

故|AB|=2,3-屋>2万万=2.

故答案为：2.

a+%

13.若(％—2)4=+6%+%,贝|J。0=x

%+%+“4

40

【答案】0.16②.------

41

【解析】

【分析】借助赋值法，分别令X=0、1=1、X=—1计算即可得.

【详解】令％=0,可得（0—2）4=/，即4=24=16,

令l=］,可得（1一2）4=4+。3+。2+。1+。0，即。4+。3+。2+。1+。0~（"1）4=1，

令1=一1,可得（一］-2）4=%-%+〃2-4+〃0，即4-。3+%—"1+。0=（-3）=81，

贝！J（。4+“3+“2+q+%）+（“4—〃3+“2—4+a0）=2+4+%）=1+81=82,

82

即。4+%+4=5=41,贝I4+Q3=1—（〃4+〃2+/）=1-4］=-40,

%+%_40

故--------:-----.

a0+a2+a441*

40

故答案为：16；------.

41

14.已知函数/（x）=sin［x+；］sin2x,则/甘兀卜；函数/⑴的图象的一个对称中心的坐

标为.

7T

【答案】①.-1②.（——,0）（答案不唯一）

4

【解析】

【分析】根据函数表达式，代入即可求出兀］的函数值，根据条件，先求出使/（无）=。的一个取值

TT7L

x=--,再证明（——,0）是"X）的一个对称中心即可.

4'4

【详解】因为/（九）=sin（无+；］sin2九,所以/仅兀］=sin（乎+；）sin（2x；）=-1,

I4J14J444

因为/(九)定义域为R，当兀=一/时，/(一~-)=sin—sin(--)=0,

44I42

jr

下证(——,0)是fM的一个对称中心，

4

在/(x)=sin[x+；|sin2x上任取点q(%,%),其关于(―：,0)对称的点为P'(—曰―x。,—%),

又f(———xo)=sin———x+—sin2(———x)=sin(—x_1)sin(-7i—2%)=—sin(x+—)sin(2x)=—y,

乙\乙Ij040I0*000

71

所以函数F(x)的图象的一个对称中心的坐标为(-一,0),

4

7T

故答案为：-1；(——,0)(答案不唯一)

4

15.已知函数/(九)=Jd—九,给出下列四个结论：

①函数f(x)是奇函数；

②WkeR,且左w0,关于尤的方程/(幻—履=。恰有两个不相等的实数根；

③己知P曲线y=/(x)上任意一点，g,o],则|AP|zg；

④设%)为曲线y=f(x)上一点，N(%2,%)为曲线y=-f(x)上一点.若W+%|=1，则\MN\>1.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对左>0与左<0分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；

对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.

【详解】对①：令V—尤之0,即有x(x+l)(x—1)20,即1,0]31，+叫，故函数“X)不是奇函

数，故①错误；

对②：f(x)—kx=yjx3-x—kx=0>即-x=kx，

当x=0时，有血—0=0，故0是该方程一个根；

当xwO,左>0时，由-X=kx，故％>0,结合定义域可得X£[l,+“],

有了3一%=左2%2,即—左2%_])=0,

令好—上1=0，A=/+4>0，有彳=或彳=/2J/+4(负值舍去)，则

22

左2+J42+4〉0+10+4

故尤2—左2尤_]=0必有一个大于1的正根，即f(x)_kx=4必有一个大于1的正根；

当xwO,左<0时，由-X=kx，故％v0，结合定义域有光£[—1,0),

有％3一%=左2%2,即%(%2_左2%_])=0,

令Y—上2%—1=0，4=/+4>0，有x=k?或x』2+收+4(正值舍去),

22

令人2+4=/>4，即左2="4，贝I

17

z2l「-

_k—\/k+4_/—4—2J4I2J4_,

x———>——i1

2222

即％=2—Jk2+4〉_],故炉—左2尤-i=(J在定义域内亦必有一根，

2

综上所述，\/keR,且左w0,关于x的方程/(©-辰=0恰有两个不相等的实数根，故②正确;

对③：令P(x,y),则有y=Jr3_|AP「=(X+%]+(6—X)=X3+X2+^，

令g(x)=d+/+“xe[-l,0]u[l,+co],g,^x)=3x2+2x=x(3x+2),

当》€,1,一'|，(1，+00)时，g'(x)>。，当—•|，())时，g'(x)<0,

故g(x)在[-L-1]、(1,+⑹上单调递增，在[-上单调递减,

又g(—1)=—1+1+；=：,g(0)=0+1=1,故g(x)2；恒成立，即|AP『2；,故|AP|2；,故③

正确；

对④：当西=》2时，由XW[—l,o]u[l,+e],|玉+々|=1，故石=工2=—

，则眼叫=手21,

止匕时，％二—y2=

当不彳工2时，由y=/(无)与y=-/(x)关于x轴对称，不妨设占＜%2，则有一14王＜/＜0或

-1<%!<0<1<%2<2,,

当-1<X]<0<1<%<2时，由々一X]2々21,有

|MN\-J(xj-x2^+(y/x^-x,-yjxl-x2j>|xj-x2|>1>故成立;

当—14x＜々40时，即有々=1—%,即有M、N关于点(―；,0卜称，

由③知，点M到A-；,0的距离同理点|AN|N［故］iW|2；+L=l；

、乙J乙乙乙乙

综上所述，恒成立，故④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当当、巧都小

于零时，的情况.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在—ABC中，Z?sinC+A/3CCOSB=2c.

(1)求48；

(2)若a=2百］+。=4,求ABC的面积.

兀

【答案】(1)-

6

(2)也

【解析】

【分析】(1)根据条件，利用正弦定理边转角得到sin3+百cos5=2,再利用辅助角公式及特殊角的三

角函数值，即可求出结果；

7T

(2)根据(1)中8=2及条件，由余弦定理得到12+c2—〃=6c，再结合/?+c=4,即可求出c=2,

再利用三角形面积公式，即可求出结果.

【小问1详解】

因为6sinC+V3ccosB=2C，由正弦定理可得sin5sinC+A/3sinCcosB-2sinC

又Ce(0,7r),所以sinC/0,得到sinB+GcosBuZ,即2sin(B+1)=2,

所以sin(B+2)=l,又因为五(0,兀)，所以3+巴=/，得到3=9

3326

【小问2详解】

由(1)知8=!，所以cos5=《+L-k=3,又。=2代，得至打2+°2—/=6c①,

62ac2

又〃+c=4,得到b=4—c代入①式，得到c=2,

所以ABC面积为S钻。=-6zcsinB=—x2^x2xsin—=A/3.

226

17.如图，在四棱锥P—A6CD中，AO//3CM为成的中点，A4//平面COP.

(1)求证：BC=2AD；

(2)若PA，A3,A3=AP=AD=CD=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为

已知，使四棱锥P-ABCD存在且唯一确定.

(i)求证：平面ABCD；

(ii)设平面CDPc平面衣4尸=/,求二面角。一/一5的余弦值.

条件①：BP=DP；

条件②：AB±PC；

条件③：ZCBM=ZCPM.

注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)XL

7

【解析】

【分析】(1)借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；

(2)(i)借助线面垂直的判定定理即可得；(ii)结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向

量计算即可得.

【小问1详解】

取尸C的中点N,连接MN,ND,

因为/为族的中点，所以MN==BC,MN//BC,

2

因为AD/ABC,所以AO//MN,所以四点共面，

因为A"//平面COP,平面肱VOA〕平面CDP=JDN,4Wu平面ACVDA,

所以AM//DV,所以四边形为平行四边形,所以MN=AD,所以6c=2AD；

zK

j-k【小问2详解】

/'山

N\

C

(i)取的中点E,连接

由(1)知6c=2AD,所以EC=AD,

因为EC//AO,所以四边形AECD平行四边形,

所以EC=AD=1,AE=CD,

因为A5=CD=1,所以AE=1=L]

3C,

2

所二以NBAC=90，.即AB1AC,

r

选条件①：BP=DP,

因为43=4。=1,/>/4=刈，所以/.E钻与.R4。全等，

所以443=44。，因为ABLK4,所以/丛3=90°，

所以NR4D=90,即AP_LAD,又因为A3cAC=A,

AB，ACu平面A3CD,所以AP1平面A3CD；

(ii)由(i)知AP1平面ABCD,而ACu平面ABC。,

所以APLAC,因为尸=1,

建立如图所示空间直角坐标系A-孙z,、

则尸（0,0,1）,C（0,V3,0）,D,0,

一5斤

7

/、

所以8=--,-^-,0,PD=1_6,-1,AC=（0,V3,0）,

22

IJ3F27

'1V3

——x-y--=---0

n-CD=Q22

设平面PDC的法向量为”=(x,y,z),贝卜一，即《

n-PD=016

——x-\-y-----z=0

I22

令x=6，则y=_l,z=_6，于是“

ACn-A/3_V7

因为AC为平面？AB的法向量，且cosAC,〃=

MHJ3+1+3函-7

所以二面角C—/—3的余弦值为立

7

选条件③：ZCBM=ZCPM,

（i）因为NCBM=NCPM,所以CB=C0,

因为A5=AP=1,C4=C4,所以jWC与△APC全等，

所以NPAC=N3AC=90，即B4LAC,

因为B4LA3,又因为A5cAe=A,AB、ACu平面ABC。，

所以A4_L平面A3CD；

(ii)同选条件①.

不可选条件②，理由如下：

由(i)可得AB1AC,又E4LAB,

PAAC=A,PA，ACu平面尸AC,

所以A3工平面PAC，又因为PCu平面PAC,

所以A5LPC,即AB,PC是由已知条件可推出的条件，

故不可选条件②.

18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.

现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩(百分制，且均为整数)及相应过程性积分数据，整

理如下表：

科普测试成绩X科普过程性积分人数

90<%<100410

80<x<903a

70<%<802b

60<x<70123

0<%<6002

(1)当。=35时，

(i)从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；

(ii)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之

和，估计X的数学期望E(X)；

(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为乂，上述100名学

生科普测试成绩的平均值记为y.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出。的最小值.

2Y1<Y2

CQ

【答案】⑴⑴0.45；(ii)一；

9

⑵7.

【解析】

【分析】(1)(i)求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；(ii)

求出X的所有可能值，由(i)的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.

(2)求出乂的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值七的最小值，由题设信息列出不等式求解

即得.

【小问1详解】

当a=35时,

(i)由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为10+35=45,

45

则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为——=0.45,

100

所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.

(ii)依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频

—357

率为------=-

35+109

所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概

7

率估计为3,

同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的

2

概率估计为1,

X的所有可能值为6,7,8,

77497228224

P(X=6)=—x—=—,P(X=7)=2x—x—=—,P(X=8)=—x—=—,

998199819981

4Q28458

所以X的数学期望项X)=6x—+7x—+8x—=—.

8181819

【小问2详解】

由表知，10+a+Z?+23+2=100,则〃=65—a,

从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为X,则X的最大值为69,

100名学生科普测试成绩的平均值记为右，要匕〈X恒成立，当且仅当旧)*269,

显然X的最小值为各分数段取最小值求得的平均