2024年北京市东城区2024届高三一模数学试卷及答案

2024北京东城高三一模

数学

2024.4

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1.如图所示，U是全集,A8是。的子集，则阴影部分所表示的集合是（）

A.ABB.AiBC.e(AB)D.^(AB)

2.已知且avb,贝!j()

A.—>gB，ab<FC.〃<D.1g同

3.已知双曲线/一加y2=1的离心率为2,贝()

-11

A.3B.-C.—3D.—

33

4.设函数y（x）='-+i,则（）

In%

5.已知函数〃x）=，sins:+cos&r（G>0,，>0）的最小正周期为万，最大值为0,则函数的图

象（）

A.关于直线x=-£对称B.关于点对称

C.关于直线％=工对称D.关于点（工,01对称

8〔8）

6.已知（X+m）4=+%尤3+。2%2+%%+。0，若%）+%+4+。3+。4=81，则7〃的取值可以为（）

A.2B.1C.-1D.-2

7.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方

法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆

的直径为20cm,高为20cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm的粘土，然后，沿圆桶母

线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦,

全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：万。3.14）（）

分割线一片瓦

A.0.8m3B.1.4m3C.1.8m3D.2.2m3

8.设等差数列｛a“｝的公差为d,则“0<%<d"是为递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.如图1,正三角形A5D与以6。为直径的半圆拼在一起，。是6。的中点，。为八45。的中心.现

将沿应）翻折为△A3。，记△43。的中心为。厂如图2.设直线与平面BCD所成的角为

则sin夕的最大值为（）

10.已知/（%）是定义在R上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，设函数

g“x）=/（x）―/（a）（aeR）,下列说法正确的是（）

x-a

A.若/（x）在R上单调递增，则存在实数a,使得g/x）在（a,+8）上单调递增

B.对于任意实数a,若g〃(x)在(a,+x))上单调递增，则/(x)在R上单调递增

C.对于任意实数a,若存在实数M〉0,使得|/(x)|〈陷，则存在实数弧〉°，使得上⑺卜也

D.若函数g°(x)满足：当xe(a,+co)时，ga(%)>0,当xe(TO,a)时，ga(%)<0,则/(a)为

/(x)的最小值

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.若复数z=_,则忖=

12.设向量〃=(1,加).Z?=(3,T),且=则切=

13.已知角名厂的终边关于直线y=%对称，且sin(a—〃)=g,则a,尸的一组取值可以是夕=

B=_____

14.已知抛物线G：y2=4x的焦点为片，则片的坐标为；抛物线。2：必=8%的焦点为尸2,若

直线y=m(mwo)分别与GC交于P，Q两点；且归片|—|。阊=L则|尸。|=-

15.已知数列｛%,｝的各项均为正数，满足a,+i=ca；+a“，其中常数ceR.给出下列四个判断：

①若为=l,c<0,则。<--—(n>2)；

n+1

②若c=—1,则dn<----22);

③若c=l,a〃则q>1；

④6=1,存在实数0,使得可

其中所有正确判断的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）

273

在△ABC中，acosC+ccosA=----bcosB.

3

(I)求/B；

（II）若a=12,£＞为3c边的中点，且AD=3,求》的值.

17.（本小题13分）

某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度

的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直

方图：

（I）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；

（II）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的

人数为X,求X的分布列与数学期望石（X）；

（III）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下:506,516,553,592,617,632,667,693,

723,776,从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为V,试

判断数学期望后（¥）与（II）中的石（X）的大小.（结论不要求证明）

18.（本小题14分）

如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，AB=4,EF=1.

（I）求证：AB//EF；

（II）若“为CD的中点，M为5H的中点，EMLBH,EM=2』,再从条件①、条件②这两个条

件中选择一个作为已知，求直线CE与平面ADE所成角的正弦值.

条件①：ED=EA；

条件②：AE=5.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分，

19.（本小题15分）已知函数/（X）=xln（x-l）.

（I）求曲线y=在x=2处的切线方程；

（II）设g（X）=/'（X）,求函数g（无）的最小值；

（III）若工区>2,求实数a的值.

x-a

20.（本小题15分）

已知椭圆C：=+S=l（a〉6〉0）的短轴长为2逐，离心率e=42.

ab2

（I）求椭圆。的方程；

（II）设。为坐标原点，直线/是圆好+产=1的一条切线，且直线/与椭圆C交于M,N两点，若平行

四边形OMPN的顶点尸恰好在椭圆C上，求平行四边形OMPN的面积.

21.（本小题15分）

有穷数列日,%，…,％（%>2）中,令

S（p,q）=ap+ap+l++aq（Y<p<q<n,p,q^N*）,

当p=q时，规定S（p,q）=aP.

（I）已知数列—3,2,—1,3,写出所有的有序数对（p,q）,且p<q,使得S（p,q）>0；

（II）已知整数列为,出，”为偶数,若—i+l），=l,2,,£|，满足：当，为奇数时，

S（/,n-z+l）>0；当，为偶数时,S（z,n-z+l）<0.求同+同++|u|的最小值;

（III）已知数列外,出，、。〃满足S（L〃）>0，定义集合A=卜|5（，+1,〃）>0,，=1,2,,九一1）.若

A=，%｝（左£N*）且为非空集合，求证：S（1,n）>at++•+4.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(1)D(2)C(3)B(4)A(5)C

(6)A(7)B(8)A(9)C(10)D

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(12)

(11)V24⑴……(答案不唯一)

(14)(1,0),2(15)②③④

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(共13分)

解：(I)acosC+ccosA=bcosB,

3

根据正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2叵sinBcosB.

3

所以sin(A+C)=2fsin8cos8.

因为A+5+C=%,所以sinB=sin(A+C),

从而得sinB=2、sinBcosB-

3

又因为所以sinB/0,

所以cos3=立，可得8=工.....................5分

26

1兀

(II)在中，AD=3,BD=-BC=6,B=~.

~26

63

由正弦定理得sinZBA。一.兀,

sin一

6

7T

所以sinNB4D=l,ZBAD=~.

2

27c

所以/AZ)C=/S4D+/B=——.

3

在AADC中，由余弦定理得

217r217r

AC2=AD-+DC2-2AD-DCcos—=32+62-2x3x6cos—=63.

33

所以6=AC=3j7.........................13分

(17)(共13分)

解：(I)由频率分布直方图可得，100人的样本中阅读速度达到620字/分钟及以上的频率为

(0.00375+0.001+0.00025)x80=0.4,估计该校高二学生阅读速度达到620字/分钟及以

上的频率为0.4,故人数的估计值为1500X0.4=600人.4分

(II)从该校高二学生中随机抽取1人，则此人阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为

1-(0.00025+0.00225)*80=0.8.

又X的可能取值为0,1,2,3,

由题意可得X~3(3,0.8),则

尸(X=0)=C°x0.23X0.8°=0.008,

P(X=1)=C；x0.22x0.81=0.096,

P(X=2)=C；x0.21x0.82=0.384,

尸(X=3)=或x0.2°x0.83=0.512.

所以X的分布列为

X0123

P0.0080.0960.3840.512

X的数学期望为£X=3x0.8=2.4.........10分

(III)E(X)=E(Y).........13分

(18)(共14分)

解:(I)因为四边形ABCD是正方形，

所以AB//CD.

又ABa平面CDEF,CDu平面CDEb,

所以AB//平面CDEK

又平面ABFEI平面CDEF=EF,ABu平面ABbE,

所以AB//M..........................................................................................6分

(II)选取条件①：ED=EA.

取A£)的中点N,A3的靠近点5的四等分点尸,

连接MN,MP,NE,

因为N是AD中点，M是中点,

所以上W//AB,MP//AD.

因为石D=E4,所以

又AD1NM,且MWNE=N,

所以AD,平面MWE.

又因为MEu平面NME,所以AD，ME.

又EMLBH且与4成相交线，所以ME，平面ABC。.

又NM,MPu平面ABCD,

所以〃E_LNM,"E，MP.

如图，建立空间直角坐标系M-xyz,

由题意得，A(3,2,0),C(-l,-2,0),D(3,-2,0),F(0,0,2^),F(-l,0,273),

所以C/=(0,2,2百)，DA=(0,4,0),DE=(—3,2,2百).

设平面ADE的法向量〃=(x，y，z),则

n.DA=0,4y=0,

即《

n-DE=0,—3x+2y+2,\/3z=0,

令％=2,则y=0,z=A/3.于是〃=(2,0,A/3).

设直线CF与平面ADE所成角为。，则

qna=|cos〈〃：Cb〉|="土।=6=3币

\n\\CF\4s14

所以CF与平面TWE所成角的正弦值为主自..........14分

14

选取条件②：AE=5.

在中，MB=-HB=45,AB=4,

2

tanZMBA=2,贝UcosZMBA=乎，

于是，MA=y/MB-+AB--2MB-ABcosZMBA=V13-

因为ME=26,AE=5,于是，AE2=ME2+AM2>所以〃石，AM.

又ME上BH,BH平面ABC。，

所以ME，平面ABC。.

取AO的中点N,取AB的靠近点3的四等分点P,

连接肱V,"P,如图建系，

下同条件①，可得CF与平面ADE所成角的正弦值为上互.............

14分

14

(19)(共15分)

Y1

解：(I)/(%)=ln(x-l)+------=ln(x-l)+------+l(x>l).

x-1x-1

曲线丁=/(x)在x=2处的切线的斜率k=f\2)=2.

又因为/(2)=0,所以切点为(2,0).

曲线y=/(x)在x=2处的切线方程为y=2x—4.5分

(II)设g(x)=f-ln(x-1)+———I-1(X>1),

x-1

11x-2

g'(%)=

x-1(x-1)2(x-1)2

当X变化时，g'(X)和g(x)的变化如下表:

X(1,2)2(2,+co)

g'(x)—0+

g(x)\极小值/

当x=2时,尸10分

则/g=o,不合题意;

(III)若"2,

2-a

若。=2,设(p{x)=/(x)-2(%-2),

由(II)知，0(x)=/(x)-2>0,

所以°(x)在(1,-+w)上单调递增.

又°(2)=0,所以

当xe(l,2)时，°(x)<0,x—2<0,四〉0,包>2；

x—2x—2

当xe(2,+oo)时，(p{x}>0,x-2>0,>0,>2.

九一2x—2

所以。=2符合题意.

综上所述a=2.15分

(20)(共15分)

'lb=2行

cA/2a=A/6

解：(I)由已知可得——--解得

a2b=6.

a2=b2+c2

22

所以椭圆C的方程为Lr+匕v=1.5分

63

(II)当直线/斜率存在时，设直线/：丫=履+加,

m\

由直线与圆相切得下^=1,化简得汴=M+1.

+1

设"(％,/),N(%2,%)，则尸(玉+/，M+%),

y=kx+m

=>(2F+1)X2+4kmx+2m2-6=0,

x2+2y2=6

4km2m

%+X=-------,y+y=--——.

勺22公+1为722公+1

因为（含'品）在椭圆C上'

+2(2,]=6,即8左2加2+4^2=3(4k4+4左2+

所以

2k+1J12k+1J

即8R,2+I)+4(严+1)=12父+12/+3,解得左4=；,卜=±与,疗=公+1=|.

此时弦长|MN|=y/k2+l^—=—x3=—,

2k+122

因为。到直线/的距离d=l,

所以平行四边形QVffW的面积S=侦.

2

当直线/斜率不存在时，不妨设直线/：尤=1,则M（l,-巫），N（l,巫）,

22

所以P（2,0）不在椭圆上，不合题意.15分

（21）（共15分）

解：(I)(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)......4分

77

(II)由已知得S(左，〃一左+1)与S(左+1,〃一左)异号，其中左EN,k<---1.

2

由于+%一左+J=同(左n—k+1)—S(<k+19n—左)|二|S(左,n—^+1)|+1S[k+1,H—左)|N2.

因此间+|*/N2,k