高中数学常用函数图像及性质

1.指数函数y=优曰〉0且awl)

图像：

时，ye(l,+oo).

当0<a<l时，y单调递减，当xe(-8,0)时，ye(l,+oo)；当xe(0,+oo)

时，ye(1,0).

2.对数函数y=log。x{a〉0且aw1)

对数运算法则：

M

bg〃MN=log“M+bg“Nlogfl—=logflAf-logfl^

n

\ogaM=nlogaM(neJ?)alog〃N=N(对数恒等式)

logaN=粤»(换底公式)

logj

图像

yG(0,+oo).

当0<avl时，y单调递减，当无£(0,1)时，ye(0,+oo)；当%w(l,+8)

时,yG(-oo,0).

指数函数和对数函数的关系：互为反函数

3.初等函数

(1)：y=±x2

图像

y=—:开口向上，％£(-8,0)时，yw(0,+8),函数单调递减；xe(0,+oo),

时，ywQ+oo),函数单调递增，且是偶函数。

y=-%2：开口向下，％w(-oo,0)时，y£(-oo,0)，函数单调递增；xe(0,+oo),

时，yG(-oo,0)，函数单调递减。

性质：图像都是关于y轴对称

⑵：y=x3

图像

性质：xeR,yeR,函数是增函数，也是奇函数

(3)：y=/

图像

性质:%£火且xwO,yeH且ywO;函数在xG(-00,0)内和x£(0,+oo)内

都是单调递减，且函数是奇函数。

(4)：>

图像

性质：尤,ye[0,+oo),函数为单调递增函数，且是非奇非偶函数。

5.三角函数

(1):y=sinx

图像

性质：对称轴x=+J对称中心/跖0);函数是奇函数；周期T=2»;

2

函数在区间(2br-工,2左乃+为上单调递增，在区间(2"+工,2碗+包)上

2222

单调递减。

(2)：y=cosx

图像

性质：对称轴光=丘；对称中心(0+g,0),函数是偶函数；周期7=2»;

函数在区间Qki-兀2k兀)上单调递增，在区间(2左匹2左1+乃)上单调递减。

(3)：y=tanx

图像

性质：对称中心(g,0);函数是奇函数；周期T=小函数区间

(k兀—gk?i内单调递增。

6椭圆

22

(1):标准方程：=+斗=1("5〉0)图像如下

ab

性质：范围-aWa,-b<y<b

顶点：(a,0),(—61,0)9(0,Z?)9(0,—Z?)

焦点：FJ-GO),F2(C,0)

2

准线：.土幺=±g

ce

对称轴：关于X轴，y轴及原点对称

两轴：长轴长为2a,短轴长为2b

焦距：|百耳|=2c(c>0),c2=a2-b2

离心率：e=£(O<e<l)

'性质；范围：—b<x<b,-a<y<a

顶点：(0,«),(0-a),(40),(—瓦0)

焦点:耳(0,c),F2(O,-C)

2

准线：y=±£_=±£

ce

对称轴：关于X轴，y轴及原点对称

两轴：长轴长为2a,短轴长为沙

焦星巨：|月工|=2c(c>0),c2=a2-b2

离心率：e=—(0<e<l)

a

7.双曲线

22

(1):标准方程：斗=1("0/〉0)图像如下

性质：范围：在x=a和x=-a两条平行线的外侧，向左右两侧无限延

伸

顶点：(-a,0),(a,0)

焦点:片(-c,0),F2(C,0)

2

准线：x=±<=土幺

ce

渐近线：-±^=0

ab

对称轴：关于无轴，y轴及原点对称

两轴：实轴长为2a,虚轴长为2。

焦距：|£FJ=2c,c2=a2+b-

禺心'率：e=—(e>1)

a

22

⑵标准方程：二-二=1("0］〉0)图像如下

a~b

性质：范围：在y=a和y=-。两条平行线的外侧，向左右两侧无限延

伸

顶点：(0,—a),(0,tz)

焦点:居(0,c),F2(0,-C)

2

准线：y=±M=±q

ce

渐近线：-±^=o

ba

对称轴：关于尤轴，y轴及原点对称

两轴：实轴长为2a,虚轴长为2。

焦距：|£FJ=2c,c2=a2+b2

昌心率：e=—(e>1)

a

8.抛物线

⑴：标准方程：y2=2px(p>0)图像如下

性质：范围：x>0,-oo<y<+oo对称轴：x轴

顶点：(0,0)焦点：F(^,0)

开口方向：向右准线：X=-P-

2

⑵：标准方程；y2=-2px(p>0)图像如下

性质：范围：x<Q,—00<J<+oo

对称轴：X轴

顶点：(0,0)

焦点：砥-5,0)

开口方向：向左

准线…竹

⑶：标准方程：/=2py(p>0)图像如下

性质：范围：—oo<x<+oo,y>0

对称轴：y轴

顶点：(0,0)