长沙市2022-2023学年高二年级下册期末模拟数学试卷(含答案)

长沙市长郡湘府中学2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知实数集合4={1,。,4，5={4,凡44，若4=8，则口+0=()

A._iB.OC.lD.2

2.若两个正实数x,y满足4x+y=孙且存在这样的和使不等式工+1＜苏+3加有解，则

实数机的取值范围是()

A.(-l,4)B.(-4,l)C.(-OO,-4)IJ(1,+OO)D.(-OO,-3)Il(0,4w)

3.设臼，e2是两个不共线的向量，若向量加=-的+左e2(左eR)与向量〃=e2-2日共线，则

()

A.左=0B.左=1C.攵=2D-/:=—

2

4.函数/(%)=浮生在［_兀,兀］上的大致图象为()

X+1

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

6.设复数z满足z-(l+2i)=5,则z=()

A.2B.l+2iC--2D.l-2i

7.已知q=in班m=I，c=弹，则。，瓦。的大小关系为()

8

^-b>c>aB-q>c>bC.a>b>ca>c

8.已知X］是函数/(x)=x+l-ln(x+2)的零点,乙是函数g(x)=x2-2ax+4a+4的零点,

且满足|西-々区1，则实数。的最小值是()

A.—1B._2C-2—2夜Dl-V2

二、多项选择题

9.已知」>0,6>0,且a+6=l厕()

22

A.ab<B.a+bC」og2a+log26N-2D.a+1>>

10.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，且S2022<0，S2023〉0,则下列说法正确的是()

A.J<0

B.a1012>0

C.数列｛s.｝中耳011最小

D.数列｛同｝中最小

11.设函数/(x)的定义域为R,/(x+l)为奇函数,/(x+2)为偶函数，当为«1,2］

时,/(%)=加+6.若/(0)+〃3)=6,则下列关于/(x)的说法正确的有()

A./(x)的一个周期为4B.点(6,0)是函数的一个对称中心

C.x«l,2］时,/(x)=2f—2DJ管［号

12.如图是函数/(》)=25皿3+9),〉0,0<9<方的部分图像,则()

A./(x)=2sin12%+弓

B./(X)在区间单调递增

C.直线x=_1是曲线y=/(x)的对称轴

D.〃x)的图像向左平移型个单位得到函数g(x)=2sin2x的图像

三、填空题

13.若随机变量XN(〃,cr2),且p(x>5)=P(X<—1)=02,则P(-1<X<5)=

14.已知函数〃x)=sin(s+0)在区间［港)单调，其中0为正整数,烟<不且

则y=f(x)图像的一条对称轴

15.一个圆锥母线与底面所成的角为30。,体积为8兀，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得

截面面积的最大值为.

16.如图,已知球。的面上四点46,。1,出,平面

ABC,AB，5C,AB=1,,AP=百，则球。的体积等于.

四、解答题

17.设函数八可是定义域为R的偶函数,g(x)是定义域为R的奇函数，且

f(x)+g(x)=2x+1-

(1)求/(X)与g(x)的解析式;

(2)若为(无)=〃2力-2叫(%)在［1,+<»)上的最小值为-2，求m的值.

18.小家电指除大功率，大体积家用电器(如冰箱,洗衣机，空调等)以外的家用电器，运用

场景广泛,近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年

中国智能小家电市场规模(单位:千亿元),其中年份对应的代码依次为1-5.

年份代码X12345

市场规模y0.91.21.51.41.6

（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x关系，求y关于x的经验回归方程

（系数精确到0.01）;

（2）某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布，随机调查了200名消费者，

统计这200名消费者年龄，按照青少年与中老年分为两组，得到如下2X2列联表，请将列

联表补充完整，并回答:依据c=O.OOl的独立性检验，能否认为是否喜欢够买智能小家电

与年龄有关？

青少年中老年合计

喜欢购买智能小家电80

不喜欢购买智能小家电60

合计110200

参考数据及公式:

5,,一〃％，_

y=1.32,工毛％=21.4,5=gx+&中g=-，a=y—bx

T

i=\

2n(ad-be]

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附:临界值表

a0.100.0100.001

2.7066.63510.828

19.已知函数/（九）=Gsin2尤+cos2x+l.

（1）求函数的单调递减区间

⑵若在AABC中，角A,3,C所对的边分别为a,仇C,且/（A）=2,a=，求ABC面积

的最大值.

20.如图，直三棱柱45。-4用。1中,4。=2,8。=3,48=&?,。为。。1上一点,且

CD:CQ=4：9.

(1)证明:平面AB］。，平面A3与A；

(2)若直三棱柱ABC-A4G的体积为言，求二面角A-四。-3的余弦值.

21.设正项数列｛an｝的前n项和为Sn,a1+2an=4S„-1(«eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若d=3"i,求数列的前〃项和Tn.

屹J

22.已知函数/(x)=gx2-2ox+lnx(a为常数).

(1)当。=1时,求曲线y=/(x)在点(1,〃功处的切线方程；

(2)设函数“力的两个极值点分别为占,马(石＜々)，求/(9)的范围.

参考答案

1.答案：A

解析：由题意A=B可知，两集合元素全部相等，

得到[/=1或卜?"又根据集合互异性，可知awl,

ab=b[ab=l

解得-1或舍)，所以a=-l)=O,a+b=-l,

b=U[b=1

故选:A.

2.答案：C

4i

解析：因为x>0,y>0且4%+》=孙，所以一+—=1,

y%

所以x+h=i+»][W+L]=2+如+上>2+2^^=4,

414JX)y4%yy4%

当且仅当当=微，即y=4x=8时等号成立，

所以加2+3m>4，即(^+4)(m—1)>0，解得根v—4或加>1,

所以m的取值范围是(-oo,-4)I(1,+oo).

故选:C

3.答案：D

解析：因为01,02是两个不共线的向量，且向量加=-4+左62(左£R)与向量〃=02-2ei共

线，

5

所以根=An即—ei+ke?二X卜2—2ei),

所以，解得女」，

k=九2

故选：D.

4.答案：C

解析：/(-X)=:S；2T=笠;;=/(X),在[_兀,兀]上为偶函数.

cosO

又〃0)=二1?

02+1

.•.只有选项C的图象符合.

故选:C.

5.答案：A

解析：记集合4=1%[^1<()>=卜|_2<%<1},5={%|_2领k1}.

因为所以〃是q的充分不必要条件.

故选:A

6.答案：D

55。-公)

解析:z=----=l-2i.

l+2i(l+2i)(l-2i)

故选:D

7.答案：D

In37Ineln8.

解析:a-------,b=---------,

38

设…"w

.•.x“时，［(x)WO；

/(x)在[e,+oo)上单调递减;

.-./W>/(3)>/(8)；

IneIn3In8

/.---->----->-----；

38

:,b>a>c-

故选:D.

8.答案：A

iri

解析：/(x)=x+l-ln(x+2),x>-2,.\/"(x)=1------=-----，当-2<兄<-1

JC+2JC+2

时,/'(%)<0,/(%)单调递减，当x>-l时,/'(X)>0,/(%)单调递

增，・."(兄焉=/(—1)=°，."=—1为方程/(力=。的根，即％1=-1・故|%_%2归1，即为

|一1一百<1,解得一2工工2<。.:々是函数g(%)=x2-2ar+4a+4的零点，，方程

/_2ox+4a+4=0在［-2,0］上有解•即(2x-4)〃二d+4在［一2,0］上有解,

-8W2x-444r.2。=^^在［-2,0］上有解•令

x—2

(、_必+4r_9、JC+4(炉―4)+888”设

g(%)一不£L2,0J，g(%)=-------=--------------=%+2d--------=(%—2)H--------1-4，坟

%—2x~2x~2x~2x~2

t=x—2(TW/W—2)则g)=t+；+4,易知力⑺在［―4,—20］上单调递增，在［-272,-2］

上单调递减.又/z(T)=—2/(—2)=—2".无⑺mm=—2.:.2a>-2,a>-l-故实数a的

最小值是—1.

9.答案：ABD

解析：对选项A,因为。>0,5>0,且a+》=l,

所以仍<(。+"丫=J.，当且仅当。=人=工时，等号成立，故A正确.

442

对选项B,由A知:M《工，

4

所以42+沙2=（a+/y-2ab=1-lab>l-2x—=—,

V7'42

当且仅当a=人=工时，等号成立，故B正确.

2

对选项C,log?。+log2Z?=log2ab<log2-=-2,

当且仅当a=人=!时，等号成立，故C错误.

2

对选项D,因为。>Q,a+l—b=a+a+b—b=2a>0,

所以a+l>5,故D正确.

故选:ABD

10.答案：BC

解析：因为S2022=2022sL2）=1°11（囚。"+）<°'

所以4011+%012<°，

因为s2023（-3）=2023q012>。，

NUNJ21U1Z

所以。1012>0，所以。1011<0,。1012>0,

对于A:

因为。皿1<0,%012〉0,所以％<°，d>。，故A错误；

对于B和C:

因为0HHi<0,%012〉0，

所以5皿1最小，故B,c正确；

对于D：因为/11+%012<09011<°，4012〉0，

所以%012<~ai011，

所以go』<，故D错误；

故选:BC.

11.答案：AD

解析：/(x+1)为奇函数,,•,/⑴=0,且/(x+l)=—/(—x+1),函数“X)关于点(1,0),

/■(X+2)偶函数,.•./(%+2)=/(-*+2),函数“X)关于直线x=2对称，

/[(x+l)+l]=-/[-(^+1)+1]=-/(-X)，

即f(x+2)=-f(-x),.•./(-%+2)=f(x+2)=-f(-x),

令/=t,则f(t+2)=-/(?),+4)=-f(t+2)=f(t),

/(x+4)=/(%)，故/(x)的一个周期为4,故A正确；

则直线尤=6是函数/(x)的一个对称轴，故B不正确；

当xe[1,2]时,/(x)=ax2+b,

.-./(0)=/(-1+1)=-八2)=Ta-5,/⑶=/(1+2)=/(-1+2)=f(l)=a+b,

又/(0)+f(3)=6,:.-3a=6，解得a=-2,

f(1)=a+b=O.'.b=—a—2,

.••当xe[1,2]时,/(x)=-2x2+2,故C不正确；

故选:AD.

12.答案：AC

解析：A项:由图象可得37=”-(-四]=型,解得7=兀,所以°=0=2,故

43I12J4T

/(x)=2sin(2x+0),

由周期及图象知：/[巳1=2,将代入可得2sin[]+°]=2,解得0=《+2bi(ZeZ),

又0<夕<5,所以夕=擀，所以/(x)=2sin12x+£),A正确；

B项:当—E+2E<2X+4«工+2E（左eZ）,即一二++JcK（keZ）时,/（%）单调递

26236

增,

因为空，生.一巴+而,巴+也(keZbB错误;

63336

C项:令2%+四二二+E(kGZ)，解得％=四+如(％£Z),当左=—1时,％=—三,C正确；

62623

D项:y(x)的图象向左平移居个单位，得到y=2sin2"总=-2sin2x#g(x),D

错误.

故选:AC

13.答案：0.6或。

5

解析：因为XN(4,cr2)^P(X>5)=P(X<-l)=0.2,

所以尸(—1<X<5)=1-尸(X>5)-尸(X<—1)=06.

故答案为06

14.答案：石

12

解析：因为函数〃x)=sin3x+°)在区间已小单调，

2263

四,@在同一个周期内,

23

712兀

，y=/(x)图像一条对称轴为_2+3_7兀.

x——

212

故答案为:办

12

15.答案：8

解析：设圆锥的顶点为S,底面圆心为。，过圆锥顶点S的平面截圆锥所得截面为SAB,

E为A3的中点，则48，/&10=30。，50=走。4，

则圆锥的体积为1•兀.0屋.so=7t.(凶2.无。=走兀.OT,

3339

由题意得立兀.043=&兀，解得0A=26,SO=走x28=2，

93

AB=2y]o^-OE-=2y/12-OE-,SE=^SCf+OE2=R+OE。，

所以S^SAB=gA3.SE=g*2,12—OE?XV4+OE2=^(12-0£2)(4+0£2)

=^-(0E2-4)2+64，

因为0〈0后<。4=260^0£2<12，

所以当OF?=4,o石=2时,S*取得最大值为8.

故答案为：8.

16.答案：底兀

解析：将三棱锥补为一个同一顶点出发的三条棱长分别为1,正,6的长方体,

则三棱锥外接球的半径，即等于该长方体外接球的半径.

易知长方体外接球的半径J12+(V2)+(A/3)屈,

T——-----------------------------------=

22

所以，球0的体积V=g口3=^兀义［当］=向.

故答案为:扃.

17.答案：（1）f（x）=T+Tx,g（x）=2x-Tx

（2）m=2

解析：⑴/（%）为偶函数,.・.〃-%）=/（x）,

又•8（%）为奇函数,「.且（一4）=-8（%）,

/（x）+g（x）=2口①

・••/（—"+g（T）=2TM，即/⑴_g⑴=2/1,②

由鱼得:/（刈=2*+2：鱼］②可得g（x）=2「2：

⑵/（2%）=22X+2-2X=（2T-Tx）2+2,

Ax2Tx

^r^5/z（x）=/（2x）-2mg（x）=（2-2-）-2777（2-2-）+2,

令/=2,-2一，因为函数y=23y=-2-£在［1,”）上均为增函数,

故/=2"-2一”在［1,-+w）上单调递增，则?=2X-2-X>2-1=|,

设h（t）=t2-2mt+2,t>-，对称轴t=m,

①当加〉|时，函数入⑺在上为减函数，在（取”）上为增函数，

贝!J々（"mm=力（加）=加？—2m2+2=2—m2=—2,解得：相=2或根=一2（舍）;

②当机时,人⑺在］|,+切］上单调递增，

:.h（t）.=4曰="-3根=-2解得:〃小竺>3,不符合题意.

「mm\24122

综上:加=2.

18.答案：（1）>0.16系+0.84

（2）能认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关

解析：(1)由已知得】=1+2+3+4+5=3,3=].32,

=10,但(%-y八0.55,

i=lVi=l

一、5一

y-yj=_5xy=21.4-5x3x1.32=1.6,

i=l

1.6

所以亡0.92,

3.16x0.55

因为y与x的相关系数近似为0.92,说明y与x的线性相关程度较高,

所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系.

55

由题可得=21.4,=12+22+3?+42+52=55,

i=li=l

a-y-bx=1.32-0.16x3=0.845

故y与x的经验回归方程为9=0.16£+0.84.

(2)由题意可得如下2x2列联表:

青少年中老年合计

喜欢购买智能小家电8030110

不喜欢购买智能小家电306090

合计11090200

所以心笥黑*IAL…,

所以能认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关.

19.答案：(1)k7t+-,k7t+—«eZ

63

⑵3后

1)

解析：(1)因为/(x)=V§sin2x+cos2x+l=2sin2x+—cos2x+1

2J

=2sinf2x+6）+1,

即/'（尤）=2sin（2x+—J+l,

令2kn+—<2%+—<2kn+—,keZ，解得kn+-<x<kn+—,左eZ,

26263

所以函数的单调减区间为2

（2）由/（A）=2得sin2cA,+-兀

6弓爪（。㈤言"J

又。=2石，由余弦定理〃2=/+，-2Z?ccosA得b1+c2-be=12^

所以税=/+，—12之2仪:-12,得历<12,当且仅当8=c=时等号成立，

所以S=—besinA=^-bc<3A/3，

24

所以△ABC面积的最大值为3g.

20.答案：（1）证明见解析

（2）2历

17

解析：（1）方法一（几何法）:如图，作CELAB交A3于点瓦斯〃四交A用于点£连接

V13，

所以=22+32=（而）2=432,所以ACLBC,

所以由等面积可得。石=生变=茎=处

ABV1313

j-4万

由勾股定理得AE=VAC2-CE2=,22-

4V13

所以EF_—[3-_4_C£>，所以EE=CD,

BB}~AB~而—13—Cq

又EF〃BB],CD〃BBi，所以EF//CD,

所以四边形EFDC是平行四边形，所以DFHCE,

因为直三棱柱平面A5CL平面A344,平面ABC平面AB44=AB,CE，AB,

所以CE_L平面

所以。尸，平面4844，

又DFU平面AB.D，所以平面ABXD1平面ABB^.

方法二（向量法）:因为AC=2,3。=3,A5=Ji与，

所以=22+32=（正>=4^2,所以AC_L5C,

由题知CG工平面ABC,又AC,8Cu平面ABC,

所以AC,BC,CC1两两垂直，

以点C为原点，以CA,CB,Cq所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角

设CQ=a（a>0）,则A（2,0,0）,A（2,0,a），4（0,3,a）,。[0,0,石

所以做=（—2,3,a）,AD=1—2,0,^|],A4,=（0,0,a）,

设平面AB。的法向量为m=6,%,zj,

m-ABX-一2%+3M+叼=0

则

4az=

m-AD=-2xx+—i0

令4=13，得平面ABtD的一个法向量为m=（2a,-3a,131

设平面ABB]A的法向量为〃

n*AB=-2X+3%+az?-0

则X2

n-AAj=az2=0

令々=3得平面4的一个法向量为〃=（3,2,0）,

因为机•〃=6a-6a+0=0，

所以加，平面AB\D-L平面A34A-

（2）因为直三棱柱ABC-A4G的体积为弓，所以gx2x3xCG=深，解得CG

所以CD=2,。]。="I，

由题知CG，平面ABC,又AC,3Cu平面ABC,

所以AC,BC,CG两两垂直，

以点C为原点，以C4,CBCA,C3,CG所在直线分别为％轴轴、z轴建立如图所示的空

设平面AB。的法向量为〃=（七,%*3），

13

u,——2%3+3%----Z3=0

则2

u-AD=-2x3+2Z3=0

令Z3=2，得平面AB｝D的一个法向量为〃=（2,-3,2）,

易知平面3耳。的一个法向量为v=（1,0,0）

(2,-3,2)-(1,0,0)2^/17

设二面角A-BXD-B的大小为，，则cos6=书

\u\\v\V17xl17

易