空间直线、平面的垂直 高频考点-精讲（解析版）2024年高考数学一轮复习（艺考生基础版）

空间直线、平面的垂直（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：直线、平面垂直的判定与性质

题型二：平面与平面垂直的判定与性质

题型三：平行、垂直关系的综合应用

题型四：几何法求线面角

题型五：几何法求二面角

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：直线与平面垂直

1、直线和平面垂直的定义

如果一条直线/与平面。内的任意一条直线都垂直，那么直线/垂直于平面a,记为1

l-La.直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面，垂线与平面的交点尸叫垂/

足.

符号语言：对于任意aua,都有

2、直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直./-------;

简记：线线垂直n线面垂直

符号语言：/_La,l±b,aua,bua,ab=P=>I±a

3、直线和平面垂直的性质定理，

3.1定义转化性质：如果一条直线/与平面a垂直，那么直线/垂直于平面a内所有直线.

符合语言：/La,buanlLb./、j/

3.2性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.ab

符合语言：aLa,b±ab------------

知识点二：直线与平面所成角与―|―p

1、直线与平面所成角定义

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a

如图，一条直线Q4和一个平面a相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜

线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线P。，过垂足。

和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影

所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

说明：①/为斜线

②I与a的交点A为斜足

③直线Q4为在平面a上的射影

④直线/与射影Q4所成角ZPAO=8（角8）为直线/与平面a上所成角

⑤当直线AP与平面a垂直时：8=90；当直线AP与平面戊平行或在平面

a内时：8=0

⑥直线与平面所成角。取值范围：o<e«9o.

2、直线与平面所成角的求解步骤

①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；

②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的

定义；

③算：一般借助三角形的相关知识计算.

知识点三：二面角

1、二面角定义

（1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,

每个半平面叫做二面角的面.

（2）符号语言：

①二面角a—A5—月.

②在a,夕内分别取两点P，Q（P走AB,。2A3）,可记作二面角P—AB—。；

③当棱记作/时，可记作二面角a-1-p或者二面角P-1-Q.

（1）定义：在二面角a-/-/的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在半平面a和厂内分别

作垂直与直线/的射线OA,OB,则射线Q4和OB构成的NAC出叫做二面角的平面角.平

面角是直角的二面角叫做直二面角.

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B

(2)说明：

①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面

角是多少度；

②二面角的大小与垂足。在/上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相

等的；

③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必

须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一

不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面

与棱垂直；

④二面角的平面角。的范围是0<6><180，当两个半平面重合时，8=0；当两个半平面

合成一个平面时，8=180

⑤当两个半平面垂直时，8=90，此时的二面角称为直二面角.

3、二面角的平面角。的取值范围：uwew兀

4,二面角平面角求法

(1)定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(一般取特殊点)，过

该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一

种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.

(2)三垂线定理及其逆定理

①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么

它也和这条斜线垂直.

②三垂线定理(逆定理)法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它

在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.

(3)找(作)公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂

面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.

⑷转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角(或其补角).

⑸向量法：用空间向量求平面间夹角的方法

知识点四：平面与平面垂直

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1、平面与平面垂直的定义

(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相

垂直.

(2)符号语言

(3)图形语言

(1)定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面

面垂直)

(2)符号(图形)语言：auBnaL/3

3、平面与平面垂直的性质定理

(1)定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

(2)符号(图形)语言：a工B，aB=l，autz,a_L/0a1.

第二部分：典型例题剖析

题型一：直线、平面垂直的判定与性质

典型例题

例题1.(多选)(2022•全国•高一课时练习)下列条件中能推出/La的有()

A.直线/与平面a内一个三角形的两边垂直B.直线/与平面a内一个梯形的两边垂直

C.直线/与平面a内无数条直线垂直D.直线/与平面a内任意一条直线垂直

【答案】AD

【详解】由线面垂直的判定定理知AD正确，

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对于B,当梯形的两边平行时，不能推出/La,

对于C,当无数条直线相互平行时，不能推出/La,

故选：AD

例题2.（2022•全国•高一课时练习）如图，在三棱锥尸-ABC中，D,E分别为AB,PB

的中点，EB=EA,且上4_LAC,PC±BC.求证：3C_L平面PAC.

【答案】证明见解析.

【详解】1.在△AEB中，。是的中点，EB=EA,

..ED1.AB,

・•.E是尸2的中点，。是A2的中点，

ED//PA,

二PA.LAB,

又PA_LAC,AB^AC=A,ABI平面A3C,ACu平面ABC,

PA_L平面43C,

BCu平面ABC,

PA1BC,

又PC_L8C,PAPC=P,Blu平面PAC,PCu平面PAC,

BC,平面PAC.

例题3.（2022哈国•高一课时练习）在正三棱柱ABC-ABC中，如图所示，\A=AB=a,

G,E,尸分别是AG，AB,的中点，求证：直线4，直线GB.

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【答案】证明见解析

【详解】证明：连接与G.在三角形A用G中，G是AG的中点，所以瓦G，AG.

因为瓦B_L平面AAG，AGU平面AB]G，

所以与2_LAG，

因为21GlB}B=BX,耳G,B|Bu平面耳8G,

所以AG_L平面耳8G,

因为8Gu平面4BG,

所以AG_L8G,

又因为E,尸分别是AB,BC的中点，所以成〃AC,所以E歹〃AG

所以直线直线GB.

例题4.（2022•四川遂宁•高二期末（文））如图，在四棱锥尸-ABCD中，PC,底面

ABCD,ABCD是直角梯形，ADYDC,AB//DC,AB=2AD=2CD=2,点E在线段尸3上且

PE=-EB.

2

⑴证明直线PD//平面AEC-,

⑵证明直线BC±平面PAC.

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【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

(1)证明：连接3。交AC于点。，连接OE,

VAB//DC,AB^ICD,

„DODC1

DOC-△BOA，即a——=—=-,

OBAB2

又PE=-EB,

2

.DOPE

一~OB~~EB~2

：.PD//OE

又•.・OEu面AEC、PD<Z®AEC

PD//面AEC

(2)

VPC_L平面ABC。，3Cu平面ABC。，

PC±BC,

又：AB=2,AD=CD=l,AD±DC,且ABC。是直角梯形，

:.AC=BC=BWAC2+BC2=AB2,

：.AC±BC,

文：PCcAC=C,且PC,ACu平面PAC,

3CL平面PAC.

例题5.(2022•山西•大同一中高一阶段练习)如图，在四面体Bl血中，AD_L平面上43,

PB±PA

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D

（1）求证：尸5,平面AP。；

⑵若AGLPD,G为垂足，求证：AGVBD.

【答案】⑴证明见解析；

⑵证明见解析.

①由AOJ_平面E48,25<=面上钻，则AO_LP3,

XPBrPA,PAoAD^A,则PB_L平面API）；

（2）由（1）及PBu面PBD,则面尸8。_1面4尸。，

又面PBD^APD=PD,AGrPD,AGu面AP£）,

所以47_1_面尸巫）,而BDu面「3D,

所以AG_L8D.

例题6.（2022•宁夏•青铜峡市宁朔中学高二期末（文））如图，已知四棱锥P-ABCD的

底面ABC。是菱形，出，平面A3CD,点E为PC的中点.

（1）求证：PA//平面BDE;

（2）求证：PCLBD.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】（1）证：连接AC交3。于。点，连接E。

底面A8CD是菱形

。为AC的中点

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•••点E为尸C的中点

PA//EO

EOu平面3DE,且PAU平面BDE

R4//平面3DE

(2)证：

•••底面A8CO是菱形

/.ACLBD

■■■PA_L平面A8CD

PA±BD

ACr\PA=A,：.BO_L平面PAC

PCu平面PAC,

BDVPC

题型归类练

1.（2022•全国•高一课时练习）如图，拿一张矩形纸片对折后略微展开，竖立在桌面上，折

痕与桌面的关系是.

【详解】令桌面所在的平面为a,折痕所在直线为/,纸片与桌面公共部分所在直线为。泊,

如图,

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依题意有。b=A,因/a,bua,所以/_L&,

所以折痕与桌面垂直.

故答案为：垂直

2.（2022・全国•高一单元测试）如图所示，M是菱形A8CD所在平面外一点，〃A=MC.求

证：AC垂直于平面BDM.

【答案】证明见解析.

【详解】设AC交于点。，连接MO,

因为ABCD是菱形，所以ACL8D,

因为朋A=MC,且AO=CO,

所以MOLAC,

因为MO、BD是平面BDM上的两条相交直线，

所以AC垂直于平面BDM.

3.（2022•湖南•高一课时练习）如图，在正方体ABCO-44G2中，E,尸分别是棱用0,

的中点，求证：b_L平面

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【答案】见解析

E,歹分别是棱BG，与B的中点，

在RtABB.E和RtACBF中，BB=BC,B}E=BF,

所以RtABBXE=RtACBF,所以△NB[BE=NBCF,

因为NABE+NEBC=90,所以ZBCF+NEBC=90,

所以N8OC=90,即CFJ_3E,

又因为正方体ABCO-ABG2中，AB，平面BCG瓦,CPu平面BCG百，

所以ABLCF,AB和BE平面E4B内的两条相交直线，

所以CP_L平面E4?.

4.（2022・全国•高二课时练习）所有棱长均相等的三棱锥称为正四面体，如图，在正四面体

A-8C。中，求证：AB±CD.

【答案】见解析

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【详解】

D

B

'--------_

c

取8的中点为“，连接AM,13M,

因为四面体A-BCD为正四面体,故为等边三角形,

故AM_LCD,同理BAf_LCD,

而=故CD_L平面ABM,

因为ABi平面ABM,故CD_LAB.

5.(2022•河南宋基信阳实验中学高二阶段练习(文)已知正方体ABCD-AAG，的棱长

为2.

4B

(1)求三棱锥4-。田。的体积；

(2)证明：AC,1BD.

……,14

3

(2)证明见解析

⑴在正方体中，易知平面

ABCD-A4GACXC_LABD,

-1x2x2|x2=-

匕l-qBZ)=^C,-ABD=耳X

23

(2)证明：在正方体ABCO-ABIGA中，易知B£)_LAC,

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GC_L平面AB。，BDu平面43D,二CtC±BD.

又rGCcACuC,qC、ACu平面ACC」2。，平面AC£.

又A£<=平面ACC,,ACI±BD.

6.(2022•江西省铜鼓中学高二开学考试)如图，在三棱柱A3C-A片G中,

8C，AC,8C，CG，点。是A3的中点.

---------/周

⑴求证:AG〃平面C。旦;

⑵若侧面AAGC为菱形，求证：AG，平面ABC.

【答案】①证明见解析；

⑵证明见解析.

(1)连接BG交C4于E,连接即，

由A8C-a4G为三棱柱，则BCQB,为平行四边形，

所以E是8G中点，又。是A3的中点，

故在△BAG中DE//AC],DEu面CDB1,(Z面CDB1，

所以AC"/平面CD81.

(2)

由5。_14(7,8。_1(?。],而ACCQ=C,AC,CGu面ACGA,

所以3CL面ACGA，又AQU面ACGA,则BCLAG，

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由侧面为菱形，故

又BC\C=C,BC，ACu面ABC,故AC1，平面ABC.

7.（2022•山东德州•高一期末）如图，在圆锥PO中，AB是底面的一条直径，C为底面圆

周上一点.

⑴若。为AC的中点，求证：3c〃平面PO。；

（2）若/C=5C,求证：PCYAB.

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

（1）因为。，D为AB,AC的中点，所以。D〃BC.

又因为。。＜=平面POD,平面POD所以8c〃平面POD-,

⑵连接OC.

p

因为A3是底面的一条直径，所以。是42的中点，

又因为AC=BC,所以。C_L/A因为PO_L圆面。，且ABu圆面。，所以PO_LNA

因为尸O「OC=。，PO,OCu平面POC,所以4B_L平面尸OC.因为PCu平面尸OC,

所以尸C_L/A

题型二：平面与平面垂直的判定与性质

典型例题

例题1.（2022•山东•高密三中高二阶段练习）如图，垂直于矩形ABC。所在的平

面，则图中与平面PC。垂直的平面是（）

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p

A.平面ABC。B.平面PBC

C.平面PAOD.平面PC。

【答案】C

【详解】因为上4,平面ABCQ,CDu平面ABC。，

所以K4_LCD,

由四边形ABCD为矩形得CDVAD,

因为丛cAD=A,

所以CD_L平面PAD.

又CDu平面PCD,

所以平面PCD1•平面PAD.

故选：C

例题2.(2022•全国•高一单元测试)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为

平行四边形/CDA=45,AD=AC=\,。为AC中点，PO_L平面ABC。，PO=2,M为

尸。中点.

(1)证明：PB//平面ACM；

(2)证明：平面R4Z5_L平面PAC.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

⑴证明：连接3£＞、MO,在平行四边形ABCD中，。为AC、3D的中点,

V”为PD中点，,PBHMO,

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1:平面ACM,MOu平面ACM,

尸8〃平面ACM；

(2)证明：ZCDA=45,且AD=AC=1,

ZDAC=90,即D4J_AC,

PO_L平面ABCD,AT>u平面ABCD,「.PO1,AD,

---ACPO=O,AC,尸Ou平面PAC,；.AD_L平面PAC,

又「ADu平面PAD,.,.平面R4£>_L平面PAC.

例题3.（2022•全国•高三专题练习）如图，正三棱柱ABC-A4G中，AB=4,A4,=372,

M,N分别是棱AG，AC的中点，E在侧棱AA上，且AE=2£A,求证：平面MEB_L平

【答案】证明见解析

【详解】在正三棱柱ABC-AqG中，44,，平面ABC,BNu平面A5C,则A4,，BN.

N是棱AC的中点，ABC为正三角形，则BNJ_AC.

MAC=A,BN_L平面AACC，MEu平面MGC,BNLME.

又AB=4,的=30，AiE=2EA,EA=^2,9=2及，

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,则△AjEN和A7VE相似，故ANE,

AE

Z^EM+ZAEN=ZANE+ZAEN=90°,则有ZMEV=90。，板ENLME.

ENcBN=N,ME_L平面3£N,且MEu平面ME®,平面ME®_L平面BEN.

例题4.（2022•江苏•无锡市第一中学高一阶段练习）在四棱锥尸-A5CE＞中，锐角三

角形PAD所在平面垂直于平面R4B,AB±AD,ABLBC.

（1）求证：5cl平面PAO；

（2）平面PAD_L平面ABC。.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【详解】（1）四边形ABCD中，因为AB_LAD,AB±BC,

所以，BCIIAD,BC在平面PAD外，

所以，BCII平面PAD

（2）作DE_LPA于E,

因为平面PAD_L平面PAB,而平面PADC平面PAB=PA,

所以，DEJ_平面PAB,

所以，DE±AB,又AD_LAB,DEcAD=D

所以，AB_L平面PAD,

AB在平面ABCD内

所以，平面PAD_L平面ABCD.

例题5.（2022•浙江•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PD,底面

ABC。是矩形，侧面K4O,底面ABCD,E是AD的中点.

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(1)求证：AD平面PBC；

(2)求证：AB，平面PAO

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【详解】(1)证明：在四棱锥尸-ABC。中，,底面ABC。是矩形，

ADWBC,

又AOO平面P8C,BCu平面P8C,

ADW平面PBC-

(2)证明：1,底面ABCD是矩形，

ABJ.AD,

文:侧面PA£)_L底面ABCD,侧面PAD、平面ABCD=AD,A5u平面ABCD,

A2_L平面PAD.

例题6.(2022•滨海学校高一阶段练习)如图，在棱长都相等的正三棱柱

A3C—431G中，D,E分别为A4,耳。的中点.

(1)求证：DE平面ABC；

(2)求证：5。，平面3QE.

【答案】⑴证明过程见解析；

(2)证明过程见解析.

⑴设G是CG的中点，连接EG,OG,

因为E为B/C的中点，所以EG//BG，而BC//BC，所以EG〃台C,

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因为EGu平面ABC,BCu平面ABC,所以EG//平面ABC,

同理可证£）G//平面ABC,因为EG,DGu平面D£G,且EGDG=G,

所以面DEG〃平面ABC,而DEu平面。EG,所以DE〃平面ABC；

（2）设。是BC的中点，连接AO,EO,

因为E为B/C的中点，所以E0//M8,而AO/ABH，所以EO//AD,

由（1）可知：面DEG〃平面ABC,平面AOEZ）[平面Z>EG=£>E,平面AOEO平面

ABC=AO,因此QV/DE,

在正三棱柱ABC-A/SG中，平面BCG反，平面A8C,而平面BCGB1平面ABC=BC,

因为ABC是正三角形，。是8C的中点，所以AOJL8C,因此47,平面BCC^,

而CB|U平面BCG瓦，因止匕A。人C4，而。4//DE,所以DELC瓦，

因为正三棱柱ABC—4SQ中棱长都相等，所以BB[=BC,而E分别为SC的中点，

所以BE_LC8i，而平面瓦汨，BEcDE=E,所以2/CJ•平面

题型归类练

1.（2022・全国•高一课时练习）空间四边形ABC。中，若ACBC,AD,3D,那么有（）

A.平面ABC1平面AOCB.平面ABC_L平面

C.平面ABCJ_平面OBCD.平面AOC_L平面。BC

【答案】D

【详解】•'AD1BD,BCBD=B,u平面BDC,

•AD_L平面BDC.

又A£）u平面A。。，

•••平面ADC_L平面DBC.

故选：D

2.（2022・四川•宁南中学高二开学考试（文））如图，ABCD是正方形，。是正方形的中心,

第19页共51页

尸。，底面ABCD,E是PC的中点.

⑵求证：面以。_1面尸8£).

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

①连接AC,交BD于0,连接0E,

：.PA//EO,

又「尸40平面BDE,EOu平面8£)E,.［上4II平面8DE；

(2)-.'PO_L底面ABCD,则PO±BD,

又・.,ABC。是正方形，则AC_L8D,且ACPO=O,=平面PAC.

,「BDu平面尸8£),.,.平面PAC_L平面P2D

3.(2022•江苏省镇江中学高二开学考试)如图，在三棱锥尸-ABC中，PA=AB,M,N分

别为棱的中点，平面必平面P3C.求证:

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（1）BCII平面AAW；

（2）平面平面PBC.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】（1）别为棱的中点，

MWIIBC

又3C<Z平面AAW,

BCII平面AAW.

（2）=点M为棱尸B的中点，

AM±PB,

又平面B4B_L平面BBC,平面平面依C=PB,

.­.41/，平面尸3。.

AMu平面AAW,

平面4VWJ_平面P3C.

4.（2022・江苏•高一课时练习）如图，在四棱锥P4BC。中，底面ABC。是矩形，平面尸

平面ABCD.

求证：AO_L平面PCD

【答案】证明见解析

【详解】证明：在矩形ABCD中，AD±CD,

又•；平面PCDJ_平面ABCD,平面PCDc平面ABCD=CD,AOu平面ABCD,

根据面面垂直的性质定理得：AZ）J-平面PCD

5.（2022•全国•高一）三棱柱ABC-A#G，侧棱A4,，底面A3c

⑴若求证平面ABC,平面AABg

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(2)若平面ABC_L平面AAB瓦，求证AB_L3c

【答案】①证明见解析；

⑵证明见解析.

(1)A4,，平面ABCBCu平面ABC,

又；AB1,BC,MAB=A,

.•.8。，平面4442,又：BCu平面ABC,

平面ABC,平面胡耳及

(2)过A作AO_LAB于。，

•.■平面ABC,平面又平面43c平面A414g=$2,5^^平面叫8出，

;.AD_L平面ABC,又BCu平面ABC,

/.AD±BC,

又,.,A4]_L8C,ADu平面朋与招，相＜=平面A4tBiB,朋AD=A,

：.BC_L平面44由2,ABI平面44由2,

AB1BC.

6.(2022•全国•高一)如图1,在直角梯形A8CZ)中，AB//CD,AB±AD,且

A3=AO=gcD=1.现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF

翻折，使平面AD£F与平面A3CD垂直，M为£D的中点，如图2.

第22页共51页

EMDC

(1)求证：AM//平面BEC；

(2)求证：3C_L平面BDE.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【详解】证明：取EC中点N,连结MN,BN.

在^即。中，Af,N分别为E£>,EC的中点，

所以肱V〃CD,且MN=LCO.

2

由己知AB〃CD,AB=-CD,所以且ACV=AB,

2

因此四边形MN3A是平行四边形，所以有3N〃A",

又因为BNu平面3EC,且A0O平面BEC,所以AM〃平面BEC；

(2)证明：在正方形ADEF中，ED±AD.

又因为平面ADEF_L平面ABCD中，且平面ADEF「1平面ABCD=AD,

所以。E_L平面ABC。，又BCu平面ABC。，所以£D_L3c.

在直角梯形ABC。中，AB=AD^CD=\,可得8C=VL

在△BCD中，BD=BC=yf2,CD=2,所以十=CD?.

所以BD_LBC,BDcDE=D，BD,DEu平面3£>E,

BC工平面BDE.

题型三：平行、垂直关系的综合应用

典型例题

第23页共51页

例题1.(2022•宁夏•平罗中学高二阶段练习(理))如图，正方形ABCD和直角梯形回跖

不在同一个平面内，AF//BE,ZABE=90°,AB=AF=1,BE=2,CE=45,P是BE的

中点.

(1)证明：平面。防//平面PAC；

⑵证明：AC_L平面&DE.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

(1)

设ACBD=O,连接。尸，

E

因为。，尸分别为8。，郎的中点，所以OP//DE.

因为DE.平面PAC,OPu平面PAC,

所以DE〃平面PAC.

因为P是BE的中点，BE=2,所以理=AF=1,.

因为AFV/3E,所以四边形APEF是平行四边形.

所以AP//跖，

因为EFO平面PAC,APu平面PAC,所以EF〃平面PAC.

因为DEu平面。EFu平面DE广，DEEF=E

所以平面DEF//平面PAC.

(2)

因为BE?+BC?=3,BE1BC,

因为ABI平面ABC。，ABCD,ABcBC=B,

第24页共51页

所以BE1平面ABC。

因为ACu平面ABCD,所以BELAC,

因为四边形ABCD是正方形，所以BDLAC,

因为3Eu平面3DE,BDu平面BDE,BEcBD=B

所以AC_L平面3£>E.

例题2.(2022•江苏苏州•高一期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD为正方

形，尸/)，平面45。£>,尸£>=9，V为线段PC上的动点，N为线段BC的中点.

(1)若M为线段PC的中点，证明：平面P3CL平面MVD；

(2)若PA平面肱VD,试确定点知的位置，并说明理由.

【答案】⑴证明见解析

⑵点M为线段PC的三等分点，且靠近点C处，理由见解析

(1)

因为底面ABCD为正方形，PD=AD,所以尸O=C，2C_LCD.

因为M为线段PC中点，所以在平面PCD中，DMLPC.

因为尸D_L底面ABCDBCu底面ABCD,所以P£)_L3c.

又BCLCD,P。cCO=O,POu平面PC£>,COu平面PCD,

所以3C_L平面尸CD

因为ZWu平面PCD,所以BC_LDM.

又DMLPC,PCcBC=C,PCu平面PBC,3Cu平面PBC,

所以mf_L平面BBC.

因为DMu平面"ND,所以平面PBC_L平面MND.

(2)

如图，连接AC,交。N于点。，连接ON.

因为在正方形ABC。中，N为线段3c中点，

COCN1

AD//BC,所以一=—=一，即AO=2CO.

AOAD2

因为R1，平面MN。,PAu平面PAC,平面PAC「|平面ACVD=QW,

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所以

所以点M为线段PC的三等分点，且靠近点C处.

Pa

例题3.(2022•福建•莆田一中高一期末)如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2,AB=1,

上4_L平面ABC。，PA=1,E为8c的中点.

(1)求证：PE±DE；

(2)若点G为R4上的中点，证明EG//平面PCD.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

(1)证明：连接AE,,：E为BC的中点，EC=CD=L.OCE为等腰直角三角形，由此

可得NDEC=45。，同理/AEB=45。，/.ZAED=180°-(^DEC+ZAEB)=90°,DELAE,

又：R4_L平面ABCD,且£＞Eu平面ABCD,，PALDE,文:AEPA=A,AE,PAcz

平面P4E,二DE_L平面PAE1,文:PEu平面R4E,二PE±DE.

(2)证明：取B4、PL)的中点G、H,连接EG、GH、CH.G、H是PA,尸£＞的中

点，△2ND中，可得G"〃"＞且GH=(A。，又「E是BC的中点，且四边形ABCD为矩形，

ECHAD§LEC=^AD,EC,GH平行且相等，可得四边形ECHO是平行四边形.二

第26页共51页

EG//CH,又：CHu平面PCD,EG平面PCD,：.EG//平面

PCD.

例题4.(2022•北京亦庄实验中学高一期末)如图，已知正方体AB8-ABC2，点E

为棱CG的中点.

(1)证明：AG〃平面

(2)证明：AQA.BD.

(3)在图中作出平面BE，截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并

说明位置)，并说明理由.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

⑶图形见解析，证明见解析.

(1)

证明：连接AC,交BD于点O,连接OE,

因为ABC。是正方形，所以。为AC的中点，又E为棱CG的中点，

所以。E//&G，OEu平面BDE,AG<z平面应见，

所以AC1〃平面

第27页共51页

(2)

证明：在正方体ABCD-AiB[ClD[中，A4t_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以441±BD,

又ACAA4j=A,AC,惧u平面ACQA,

所以平面ACGA，

又AGu平面ACGA,

所以AC1，BO.

(3)

解：如图取AA1的中点M,连接BAf、M/,则AffiEp为平面BER截正方体所得的截面，

证明：取。A的中点N,连接A®、AN,因为E为棱CC,的中点

所以且AB=CD,NEHCD旦NE=CD,

所以AB〃NE且AB=NE,

所以四边形ABEN为平行四边形，

所以AN//BE,

又AMHND｝且AM=NR,

所以四边形ANRM为平行四边形，

所以AN〃RM,

所以MR//BE,即8、E、2、M四点共面，即加出肛为平面BER截正方体所得的截面;

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题型归类练

1.(2022・四川•绵阳中学高二开学考试(文))如图，已知平面ABC,BBJ/AA,,

ABAC=90°,AB=AC=3,BB、=币,E和尸分别为BC和的中点.

⑴求证：跖〃平面4瓦84；

⑵求证：平面平面BC与；

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

(1)

连接A/由于瓦尸分别是BC，4C的中点，所以所〃4氏跖=；43,

由于跖仁平面A与姑，ABU平面4瓦54,

所以防〃平面a片8A.

(2)

由于44]J_平面ABC,BBJ/AA^,所以3与_1,平面ABC,

由于A£u平面ABC,所以881AAE,

由于AB=AC,E是BC的中点，所以AEL8C,

由于B与cBC=民B瓦,BCu平面BC耳，所以平面BCB一

由于AEu平面AEF,所以平面AER_L平面BCB一

第29页共51页

Bi

2.(2022•云南昭通•高一期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABJGD中，E为。2中

点，。为AC与的交点.

⑴求三棱锥E-ADC的体积；

⑵证明：BD、平面AEC；

(3)证明：用。，平面AEC.

【答案】⑴弓

⑵证明见解析

⑶证明见解析

(1)

在正方体ABC。-AgGA中，ED_L平面ADC且0=1

1112

则％Q"/11c.ZV=—3出=w。•即=3-x—x2x2xl=—3

(2)

证明：连接EO,在中，点瓦。分别为。，的中点,

所以EO//BR

又：EOu平面AECBR①平面AEC

第30页共51页

，皿加平面血;

(3)

证明：连接用C,在正方体ABCZ)-A4GA中，

51c=2仓OC=&

在Rt.gS。中，BQ=^BB；+BO2="

222

B}O+OC=B}C

BQ1OC,

Rt片2E中，B1E=J(2®+F=3,

又OE=3BD1=6,B.O2+OE2=B.E2

BQ1OE

OC,OEu平面AEC且交于点O

,耳。，平面AEC.

3.(2022•辽宁・鞍山市第二十四中学高二开学考试)如图，在四棱锥尸-ABCD中，PD，平

面ABCD,底面ABCD是正方形，AC与M交于点。，£为PB的中点.

(1)求证：EO,平面PZ9C；

(2)求证：平面PAC_L平面PBD.

【答案】⑴证明见解析

第31页共51页

(2)证明见解析

(2)

证明：四边形ABCD为正方形，，AC1BD,

-：PD_L平面ABCD,且ACu平面ABCD,所以尸D_LAC,

又丫PD,BOu平面PBD,且PDcBD=D,；.AC_L平面PBD,

又「ACu平面PAC,.•.平面PAC_L平面尸£>3.

4.(2022•山东荷泽・高一期末)如图，在四棱锥尸-A5CD中，底面A8CD是梯形，AD//BC,

且AD=23C,PA±PD,AB=PB.

(1)若尸为尸4的中点，求证跖〃平面尸CD

⑵求证平面PCD.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

⑴

取P。中点E,连接EGEC,如图所示

因为E、尸分别为P。、尸4中点，

所以族//AD，且跖=：4£)，

又因为AD〃3C,且AD=23C,

所以EF//BC且EF=BC,

所以四边形EFBC为平行四边形,

所以BP//EC,

第32页共51页

因为班平面PCD,ECu平面PCD,

所以所〃平面PCD

（2）

因为AB=PB,尸为PA中点，

所以加'_LAP,则EC_LAP,

因为B4_LPD,EC,PDu平面PC。，

所以平面PCD

题型四：几何法求线面角

典型例题

例题1.（2022•全国•高一课时练习）如图所示，在正方体ABCZ）-ABCR中，直线4方

与平面ABC。所成的角是（）

A.45°B.30°C.60°D.90°

【答案】A

【详解】因为在正方体ABCD-A耳G2中，抽_L平面ABCD,

所以幺而为AtB与平面ABCD所成的角，

因为△4网为等腰直角三角形，

所以/4助=45°,

所以直线A8与平面ABCD所成的角为45。，

故选：A

例题2.（2022•吉林•东北师大附中高二阶段练习）设二面角戊-8-月的大小为45。，A

点在平面a内，8点在8上，且/ABC=45。，则A3与平面△所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【详解】过A作AN_LCD于N,作AM_L尸于连接MN,BM,是AB与平面£

所成角，

由C£>u»得A"_LCD,又AMAN=A,AM,ANu平面AMN,

所以CD_L平面40N,而MNu平面AMN,所以CD_LMN,

第33页共51页

所以NAW是二面角a-CZ)-分的平面角，所以NA7VM=45。，

AML/3,MNu/3,则A〃_LMV,同理AA/_LW,

设AN=。，又ZABC=45。，则8N=a,MN=AM=^a,AB=^a，

sinZABM--=-,/AB”是锐角，所以/BM=30。.

AB2

故选：A.

例题3.(2022•上海•复旦附中高三阶段练习)四棱锥P-ABCD中，PALnABCD,

四边形ABC。为菱形，ZADC=60°,尸A=AD=2,E为的中点.

(1)求证：平面尸CE_L平面PAD；

(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；

【答案】⑴证明见解析

(2)半

(1)

,•・四边形为菱形，,DA=D